考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷2（共179題）

考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷2（共6套）（共179題）考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、n階方陣A有n個互不相同特征值是A與對角矩陣相似的A、充分必要條件．B、充分而非必要的條件．C、必要而非充分條件．D、既非充分也非必要條件．標準答案：B知識點解析：當An×n有n個互不相同特征值時．A必相似于對角矩陣，但與對角矩陣相似的矩陣也可能存在重特征值．例如單位矩陣En的特征值為λ1=λ2=…=λn=1，而對任何n階可逆方陣P，有P4EP=E為對角矩陣．所以(B)正確．2、設A、B都是n階矩陣，則A與B相似的一個充分條件是A、r(A)=r(B)．B、｜A｜=｜B｜．C、A與B有相同的特征多項式．D、A、B有相同的特征值λ1，…，λn，且λ1，…，λn互不相同．標準答案：D知識點解析：當N階方陣有N個互不相同特征值時，它必相似于對角矩陣．故在選項(D)的條件下．存在適當?shù)目赡婢仃嘝、Q，使P-1AP=D，Q-1BQ=D，其中D=diag(λ1，λ2，…，λn)為對角矩陣．故有P-1AP=Q-1BQ，QP-1APQ-1=B，→(PQ)-1A(PQ-1)=B，記矩陣M=PQ-1，則M可逆，且使M-1AM=B，所以在選項(D)的條件下，A與B必相似．3、設n階矩陣A與B相似，則A、λE-A=λE-B．B、A與B有相同的特征值和特征向量．C、A和B都相似于同一個對角矩陣．D、對任意常數(shù)t，tE-A與tE-B都相似．標準答案：D知識點解析：當A與B相似時，有可逆矩陣P，使P-1AP=B，故P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，即tE-A與tE-B相似，故選項(D)正確．實際上，若A與B相似，則對任何多項式f，f(A)與f(B)必相似．4、與矩陣D=相似的矩陣是A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：A與對角矩陣D相似A的特征值為λ1=λ2=1，λ4=2，且A的對應于2重特征值1的線性無關特征向量的個數(shù)為2．后一條件即方程組(E-A)x=0的基礎解系含2個向量，即3-r(E-A)=2．或r(E-A)=1，經(jīng)驗證，只有備選項(C)中的矩陣滿足上述要求．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)5、設α1=(1，0，-2)T和α2=(2，3，8)T都是A的屬于特征值2的特征向量，又向量β=(0，-3，-10)T，則Aβ=_______.標準答案：(0，-6，-20)T知識點解析：因β=2α1-α2，故β也是A的屬于特征值2的特征向量，所以，Aβ=2β=(0，-6，-20)T．6、設4階矩陣A與B相似，A的特征值為，則行列式｜B-1-E｜=_______．標準答案：24知識點解析：B的特征值為，B-1的特征值為2，3，4，5，B-1-E的特征值為1，2，3，4，由特征值的性質(zhì)得｜B-1-E｜=1.2.3.4=24．7、設向量α=(1，0，-1)T，矩陣A=ααT，a為常數(shù)，n為正整數(shù)，則行列式｜aE-An｜=_______．標準答案：a2(a-2n)知識點解析：An=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)…(αTα)αT=2n-1ααT=，aE-An=｜aE-A｜=a[(a-2n-1)2-22(n-1)]=a2(a-2n)8、設可逆方陣A有一個特征值為2，則(A2)-1必有一個特征值為_______．標準答案：知識點解析：A2有特征值有特征值.9、設可逆方陣A有特征值λ，則(A*)2+E必有一個特征值為_______．標準答案：知識點解析：+1，A*有特征值，故(A*)2+E有特征值+1.三、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)10、設λ為可逆方陣A的特征值，且x為對應的特征向量，證明：(1)λ≠0；(2)為A-1的特征值，且x為對應的特征向量；(3)為A*的特征值，且x為對應的特征向量．標準答案：若λ=0，則有｜0E-A｜=0，即(-1)n｜A｜=0，｜A｜=0，這與A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx兩端右乘A-1，得λA-1x=x，兩端同乘，得A-1x=x，故為A-1的一個特征值，且c為對應的特征向量；因A-1=｜A｜A*，代入A*x=x，得A*x=為A*的一個特征值．且x為對應的特征向量．知識點解析：暫無解析11、設3階方陣A的特征值為2，-1，0，對應的特征向量分別為α1，α2，α3，若B=A3-2A2+4E，試求B-1的特征值與特征向量．標準答案：B=f(A)，其中f(x)=x3-2x2+4．由Aα1=2α1，兩端左乘A，得A2α1=2Aα1，將Aα1=2α1代入，得A2α1=22α1=4α1，類似可得A2α1=23α1=8α1，Bα1=(A3-2A2+4E)α1=A3α1-2A2α1+4α1=23α1-2.22α1+4α1=(23-2.22+4)α1=f(2)α1=4α1，類似可得Bα2=f(-1)α2=α2，Bα3=f(0)α3=4α3，所以，B的特征值為4，1，4，對應特征向量分別為α1，α2，α3．因為α1，α2，α3線性無關，所以矩陣P=[α1，α2，α3]可逆，且有P-1BP=為對角矩陣，兩端取逆矩陣，得P-1B-1P=，由此知B-1的特征值為，對應特征向量分別為α1，α2，α3．知識點解析：暫無解析12、已知向量α=(1，k，1)T是A=的伴隨矩陣A*的一個特征向量，試求k的值及與α對應的特征值λ．標準答案：已知A*α=λα，兩端左乘A，并利用AA*=｜A｜E=4E，得λAα=4α，即，對比兩端對應分量得由此解得k=1，λ=1，或k=-2，λ=4．知識點解析：暫無解析13、設3階矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，對應的特征向量依次為ξ1=，ξ2，ξ3=，又向量β=(1)將β用ξ1，ξ2，ξ3線性表出；(2)求Anβ(n為正整數(shù))．標準答案：(1)設β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，得線性方程組，解此方程組得x1=2，x2=-2，x3=1，故β=2ξ1-2ξ2+ξ3．(2)Anβ=An(2ξ1-2ξ2+ξ3)=2Anξ1-2Anξ2+Anξ3，由于Aξi=λiξi，Anξi=λinξinξi，i=1，2，3故Anβ=2λ1nξ1-2λ2nξ2+λ3nξ3知識點解析：暫無解析14、設矩陣A=，｜A｜=-1，A的伴隨矩陣A*有一個特征值為λ0，屬于λ0的一個特征向量為α=(-1，-1，1)T．求a，b，c和λ0的值．標準答案：已知A*α=λ0α，兩端左乘A．并利用AA*=｜A｜E=-E，得-α=λ0Aα，即由此解得λ0=1，b=-3，a=c．再由｜A｜=-1和a=c，有=a-3=-1，a=c=2．因此a=2，b=-3，c=2，λ0=1．知識點解析：暫無解析15、已知ξ=是矩陣A=的一個特征向量．(1)試確定a，b的值及特征向量ξ所對應的特征值；(2)問A能否相似于對角陣?說明理由．標準答案：(1)由(λE-A)ξ==0．即，解得a=-3，b=0，λ=-1．(2)A=的特征值為λ1=λ2=λ3=-1，但矩陣-E-A=的秩為2，從而與λ=-1對應的線性無關特征向量(即A的線性無關特征向量)只有1個，故A不能相似于對角陣．或用反證法：若A與對角陣D相似，則D的主對線元素就是A的全部特征值，即D=-E，于是若存在可逆矩陣P，使P-1AP=D=-E，則A=P(-E)P-1=-E，這與A≠-E發(fā)生矛盾．知識點解析：暫無解析16、設λ1，λ2是n階矩陣A的兩個不同特征值，x1，x2分別是屬于λ1，λ2的特征向量．證明：x1+x2不是A的特征向量．標準答案：用反證法：若x1+x2是A的屬于特征值λ0的特征向量．則有A(x1+x2)=λ0(x1+x2)，即Ax1+Ax2=λ0x1+λ0x2，因Axi=Aλixi(i=1，2)，得(λ1-λ0)x1+(λ2-λ0)x2=0，由于屬于不同特征值的特征向量x1與x2線性無關，得λ1-λ0=0=λ2，λ0，λ1-λ2，這與λ1≠λ2發(fā)生矛盾．知識點解析：暫無解析17、設A=有3個線性無關的特征向量，求x與y滿足的關系．標準答案：A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，由題設條件A有3個線性無關特征向量，知A的屬于特征值λ1=λ2=1的線性無關特征向量有2個齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系含2個向量3-r(E-A)=2r(E-A)=x+y=0．知識點解析：暫無解析18、設3階矩陣A的特征值為-1，1，1，對應的特征向量分別為α1=(1，-1，1)T，α2=(1，0，-1)T，α3=(1，2，-4)T，求A100．標準答案：因α1，α2，α3線性無關，故A相似于對角陣，令P=[α1，α2，α3]，則有P-1AP=P-1=PEP-1=E．知識點解析：暫無解析19、設3階矩陣A與對角陣D=相似，證明：矩陣C=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)=O．標準答案：由條件知，存在可逆矩陣P，使A=P-1，故同理有知識點解析：暫無解析20、設矩陣A=相似．(1)求a，b的值；(2)求一個可逆矩陣P，使P-1AP=B．標準答案：(1)由條件有｜λE-A｜=｜λE-B｜，即(λ-2)[λ2-(3+a)λ+3a-3]=(λ-a)2(λ-6)得a=5，b=6．亦可直接利用特征值的性質(zhì)，得，解得a=5，b=6．(2)知識點解析：暫無解析21、設A=，問當k取何值時，存在可逆矩陣P，使得P-1AP成為對角矩陣?并求出P和相應的對角矩陣．標準答案：由｜λE-A｜==(λ+1)2(λ-1)=0，得A的全部特征值為λ1=λ2=-1，λ3=1．故A可對角化A的屬于2重特征值λ1=λ2=-1的線性無關特征向量有2個方程組(-E-A)x=0的基礎解系含2個向量3-r(-E-A)=2=0．當k=0時，可求出A的對應于特征值-1，-1；1的線性無關特征向量分別可取為α1=(-1，2，0)T，α2=(1，0，2)T，α3=(1，0，1)T，故令P=[α1，α2，α3]=，則有P-1AP=diag(-1，-1，1)．知識點解析：暫無解析22、已知矩陣A=有3個線性無關的特征向量，λ=2是A的2重特征值．試求可逆矩陣P，使P-1AP成為對角矩陣．標準答案：由r(2E-A)=1，x=2，y=-2；A的特征值為2，2，6．P=，P-1AP=.知識點解析：暫無解析23、下列矩陣是否相似于對角矩陣?為什么?標準答案：(1)是，因該方陣的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3互不相同；(2)因A的特征值為λ1=λ2=λ3=λ4=1，但r(E-A)=2，A的線性無關特征向量只有2個(或用反證法)．知識點解析：暫無解析24、設n階矩陣A≠0，存在某正整數(shù)m，使Am=O，證明：A必不相似于對角矩陣．標準答案：可用反證法：設λ為A的任一特征值，x為對應的特征向量，則有Ax=λx，A2x=λAx=λ2x，…，Amx=λmx，困Am=O，x≠0，得λ=0．故A的特征值都是零，因此，若A可相似對角化，即存在可逆矩陣P，使P-1AP=diag(0，0，…，0)=O，則A=POP-1=O，這與A≠0矛盾．知識點解析：暫無解析25、設A為3階矩陣，3維列向量α，Aα，A2α線性無關，且滿足3Aα-2A2α-A3α=0，令矩陣P=[α，Aα，A2α]，(1)求矩陣B，使AP=PB；(2)證明A相似于對角矩陣．標準答案：(1)AP=A[α，Aα，A2α]=[Aα，A2α，A3α]=[Aα，A2α，3Aα-2A2α]=[α，Aα，A2α]=PB，其中B=.(2)由(1)有AP=PB，因P可逆，得P-1AP=B，即A與B相似，易求出B的特征值為0，1，-3，故A的特征值亦為0，1，-3，A2×3有3個互不相同特征值，因此A相似于對角陣．知識點解析：暫無解析26、設A為3階矩陣，｜A｜=6，｜A+E｜=｜A-2E｜=｜A+3E｜=0，試判斷矩陣(2A)*是否相似于對角矩陣，其中(2A)*是(2A)的伴隨矩陣．標準答案：由條件有，｜-E-A｜=(-1)3｜E+A｜=0，｜2E-A｜=(-1)3×｜-2E+A｜=0，｜-3E-A｜=(-1)3｜3E+A｜=0，A有特征值-1，2，-3，從而是A的全部特征值，A-1的全部特征值為而(2A)*=｜2A｜(2A)-1=23｜A｜A-1=24A-1，(2A)*=24A-1的全部特征值為-24，12，-8，因3階方陣(2A)*有3個互不相同特征值，故(2A)*可相似對角化．知識點解析：暫無解析27、設A、B均為n階矩陣，且AB=A-B，A有n個互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，證明：(1)λi≠-1(i=1，2，…，n)；(2)AB=BA；(3)A的特征向量都是B的特征向量；(4)B可相似對角化．標準答案：(1)即證｜-E-A｜≠0，或｜E+A｜≠0或E+A可逆，這可由AB=A-B(A+E)(E-B)=E，A+E可逆，且(A+E)-1=E-B．(2)由(1)的(A+E)-1=E-B，(A+E)(E-B)=(E-B)(A+E)，即A-AB+E-B=A+E-BA-B，AB=BA．(3)設x為A的屬于特征值λi的特征向量，則Ax=λix，兩端左乘B，并利用BA=AB，得A(Bx)=λi(Bx)，若Bx≠0，則Bx亦為A的屬于λi的特征向量，因?qū)儆讦薸的特征子空間是一維的，故存在常數(shù)μ，使Bx=μx，因此x也是B的特征向量；若Bx=0，則Bx=0x，x也是B的屬于特征值0的特征向量．(4)由條件知A有n個線性無關的特征向量，于是由(3)知B也有n個線性無關的特征向量，故B相似于對角矩陣．知識點解析：暫無解析28、設A=已知線性方程組Ax=β有解但解不唯一．試求：(1)a的值；(2)正交矩陣Q．使QTAQ為對角矩陣．標準答案：a=-2，Q=，Q-1AQ=Q-1AQ=知識點解析：暫無解析29、設矩陣A=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣．標準答案：A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=7，A的對應于特征值1的線性無關特征向量可取為η1=(-1，1，0)T，η2=(-1，0，1)T；對應于特征值7的特征向量可取為η3=(1，1，1)T．由A的特征值得A*的特征值為7，7，1，B的特征值為7，7，1，B+2E的特征值為9，9，3，且對應特征向量分別可取為P-1η1=(1，-1，9)T，P-1η2=(-1，-1，1)T，P-1η3=(0，1，1)T，故對應于特征值9的全部特征向量為k1(1，-1，0)T+k2(-1，-1，1)T，對應于特征值3的全部特征向量為k3(0．1，1)T．知識點解析：暫無解析30、設矩陣A=的特征值之和為1，特征值之積為-12(b＞0)．(1)求a、b的值；(2)求一個可逆矩陣P，使P-1AP=A為對角矩陣．標準答案：由λ1+λ2+λ3=a+2+(-2)=1，λ1λ2λ3=｜A｜=2(-2a-b2)=-12，解得a=1，b=2．P=，可使P-1AP=.知識點解析：暫無解析31、設矩陣A=可逆，向量α=是矩陣A*的一個特征向量，λ是α對應的特征值．其中A*是A的伴隨矩陣．試求a、b和λ的值．標準答案：由A可逆知A*可逆，于是有λ≠0，｜A｜≠0．由題設，有A*α=λα，兩端左乘A并利用AA*=｜A｜E，得｜A｜α=λAα，或Aα=，解得a=2，b=1或b=-2，將a=2代人矩陣A得｜A｜=4，于是得，所以，a=2，b=1，λ=1；或a=2，b=-2，λ=4．知識點解析：暫無解析32、設α=(a1，2，…，an)T是Rn中的非零向量，方陣A=ααT．(1)證明：對正整數(shù)m．存在常數(shù)t．使Am=tm-1A，并求出t；(2)求一個可逆矩陣P，使P-1AP=A為對角矩陣．標準答案：(1)Am=(ααT)(ααT)…(ααT)=α(αTα)m-1αT=(αTα)m-1(ααT)=(ai2)m-1A=tm-1A，其中t=ai2．(2)A≠O，≤秩(A)=秩(ααT)≤秩(α)=1，秩(A)=1，因?qū)崒ΨQ矩陣A的非零特征值的個數(shù)等于它的秩，故A只有一個非零特征值，而有n-1重特征值λ1=λ2=…=λn-1=0．設a1≠0，由0E-A→A=，得屬于特征值0的特征值可取為：ξ1=．由特征值之和等于A的主對角線元素之和，即0+0+…+0+λn=a12，得λn=ai2=αTα，由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα及α≠0，得與λn對應特征向量為α，令P=[ξ1，ξ2，…，ξn-1，α]，則有P-1AP=diag(0，0，…，0，ai2)為對角陣．知識點解析：暫無解析33、設n階矩陣(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩陣P，使P-1AP為對角矩陣．標準答案：(1)1°當b≠0時，｜λE-A｜==[λ-1-(n-1)b][λ-(1-b)]n-1．故A的特征值為λ1=1+(n-1)n，λ2=…=λn=1-b．對于λ1=1+(n-1)b，設對應的一個特征向量為ξ1，則ξ1=[1+(n-1)b]ξ1解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，屬于λ1的全部特征向量為kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k為任意非零常數(shù)．對于λ2=…=λn=1-b，解齊次線性方程組[(1-b)E-A]x=0，由解得基礎解系為ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T．故屬于λ2=…=λn的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k1，k2，…，kn為不全為零的任意常數(shù)．2°當b=0時，A=E，A的特征值為λ1=λ2=…=λn=1，任意n維非零列向量均是特征向量．(2)1°當b≠0時，A有n個線性無關的特征向量，令矩陣P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，則有P-1AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)．2°當b=0時，A=E，對任意n階可逆矩陣P，均有P-1AP=E．知識點解析：暫無解析34、設三階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的屬于特征值6的特征向量．(1)求A的另一特征值和對應的特征向量；(2)求矩陣A．標準答案：(1)因為λ1=λ2=6是A的二重特征值，故A的屬于特征值6的線性無關的特征向量有2個，有題設可得α1，α2，α3一個極大無關組為α1，α2，故α1，α2為A的屬于特征值6的線性無關的特征向量．由r(A)=2知｜A｜=0，所以A的另一特征值為λ3=0．設λ3=0對應的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，則有αiTα=0(i=1，2)，即解得此方程組的基礎解系為α=(-1，1，1)T，即A的屬于特征值λ3=0的特征向量為kα=k(-1，1，1)T(k為任意非零常數(shù))．(2)令矩陣P=[α1，α2，α]，則有P-1AP=，所以A=PP-1，計算可得知識點解析：暫無解析35、設A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，α3=2α2+3α3(Ⅰ)求矩陣B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩陣A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．標準答案：(Ⅰ)由題設條件，有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)所以，B=.(Ⅱ)因為α1，α2，α3是線性無關的三維列向量．可知矩陣C=(α1，α2，α3)可逆，所以由AC=CB，得C-1AC=B，即矩陣A與B相似．由此可得矩陣A與B有相同的特征值．由｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)=0得矩陣B的特征值，也即矩陣A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=4．(Ⅲ)對應于λ1=λ2=1，解齊次線性方程組(E-B)X=0，得基礎解系ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-2，0，1)T；對應于λ3=4，解齊次線性方程組(4E-B)x=0，得基礎解系ξ3=(0，1，1)T．令矩陣Q=(ξ1，ξ2，ξ3)=則有Q-1BQ=因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ)，記矩陣P=CQ=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)則有P-1AP=Q-1BQ=diag(1，1，4)，為對角矩陣，故P為所求的可逆矩陣．知識點解析：暫無解析36、設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解，求出矩陣A及(A-E)6．標準答案：A=QAQT=E)QT，從而有(A-E)6=Q(A-E)6QT=()6E．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設三階矩陣A的特征值是0，1，一1，則下列選項中不正確的是()A、矩陣A—E是不可逆矩陣。B、矩陣A+E和對角矩陣相似。C、矩陣A屬于1與一1的特征向量相互正交。D、方程組Ax=0的基礎解系由一個向量構成。標準答案：C知識點解析：因為矩陣A的特征值是0，1，一1，所以矩陣A—E的特征值是一1，0，一2。由于λ=0是矩陣A—E的特征值，所以A—E不可逆。故選A。因為矩陣A+E的特征值是1，2，0，矩陣A+E有三個不同的特征值，所以A+E可以相似對角化。(或由而知A+E可相似對角化)。由矩陣A有一個特征值等于0可知r(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎解系由n—r(A)=3-2=1個解向量構成。選項C的錯誤在于，若A是實對稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交，而一般n階矩陣，不同特征值的特征向量僅僅線性無關并不一定正交。2、已知A是n階可逆矩陣，那么與A有相同特征值的矩陣是()A、AT。B、A2。C、A－1。D、A—E。標準答案：A知識點解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A與AT有相同的特征多項式，所以A與AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A－1α=λ－1α，(A—E)α=(λ—1)α，說明A2、A－1、A—E與A的特征值是不一樣的(但A的特征向量也是它們的特征向量)。所以應選A。3、三階矩陣A的特征值全為零，則必有()A、秩r(A)=0。B、秩r(A)=1。C、秩r(A)=2。D、條件不足，不能確定。標準答案：D知識點解析：考查下列矩陣它們的特征值全是零，而秩分別為0，1，2。所以僅由特征值全是零是不能確定矩陣的秩的。所以應選D。4、已知α=(1，一2，3)T是矩陣A=的特征向量，則()A、a=一2，b=6。B、a=2，b=一6。C、a=2，b=6。D、a=一2，b=一6。標準答案：A知識點解析：設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，按定義有即有所以λ=一4，a=一2，b=6，故應選A。5、設A是n階矩陣，P是n階可逆矩陣，n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，那么在下列矩陣中①A2；②P－1AP；③AT；④E一A。α肯定是其特征向量的矩陣個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：B知識點解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。又知α必是矩陣E一A屬于特征值1一λ的特征向量。關于②和③則不一定成立。這是因為(P－1AP)(P－1α)=P－1Aα=λP－1α，按定義，矩陣P－1AP的特征向量是P－1α。因為P－1α與α不一定共線，因此α不一定是P－1AP的特征向量，即相似矩陣的特征向量是不一樣的。線性方程組(λE—A)x=0與(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二個方程組的解，即α不一定是AT的特征向量。所以應選B。6、n階矩陣A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要條件。B、必要而非充分條件。C、充分而非必要條件。D、既非充分也非必要條件。標準答案：B知識點解析：由A～B，即存在可逆矩陣P，使P－1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P－1AP｜=｜P－1(λE—A)P｜=｜P－1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A與B有相同的特征值。但當A，B有相同特征值時，A與B不一定相似。例如雖然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要條件是A，B有相同的特征值。所以應選B。7、設A，B均為n階矩陣，A可逆，且A～B，則下列命題中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A－1～B－1。正確的個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：因A～B，可知存在可逆矩陣P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，故A2～B2，AT～BT，A－1～B－1。又由于A可逆，可知A－1(AB)A=BA，即AB～BA。故正確的命題有四個，所以選D。8、已知P－1AP=，α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，一α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1一α2，α3)。標準答案：D知識點解析：若P－1AP=，P=(α1，α2，α3)，則有AP=PA，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可見αi是矩陣A屬于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無關的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關，故選項B正確。對于選項C，因為α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。故選項C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故選項D錯誤。所以應選D。9、設A為n階實對稱矩陣，則()A、A的n個特征向量兩兩正交。B、A的n個特征向量組成單位正交向量組。C、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n一k。D、對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=k。標準答案：C知識點解析：實對稱矩陣A必可相似對角化，A的屬于k重特征值λ0的線性無關的特征向量必有k個，故r(λ0E—A)=n一k。選項C正確。需要注意的是：實對稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交，但屬于不同特征值的特征向量一定正交；n個特征向量不一定是單位正交向量組。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設矩陣A=的一個特征值為λ1=一3，且A的三個特征值之積為一12，則a=_________；b=________；A的其他特征值為_________。標準答案：1；2或一2；λ2=λ3=2知識點解析：由題意可得｜A｜=一4a—2b2=一12，所以2a＋b2=6。又A的特征多項式為｜λE—A｜==(λ一2)[λ2一(a一2)λ一6]，而A有特征值一3，所以λ1=一3必是方程λ2一(a—2)λ一6=0的根，故a=1，b=2或一2。由｜λE一A｜=(λ一2)(λ2+λ一6)=(λ一2)2(λ+3)可得矩陣A的另外兩個特征值為λ2=λ3=2。11、已知矩陣A=的特征值的和為3，特征值的乘積是一24，則b=_________。標準答案：一3知識點解析：矩陣的所有特征值的和等于該矩陣對角線元素的和，即a+3+(一1)=3，所以a=1。又因為矩陣所有特征值的乘積等于矩陣對應行列式的值，因此有=5b—9=一24，所以b=一3。12、設α=(1，一1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是_________。標準答案：k(1，一1，1)T。k≠0知識點解析：令B=αβT，則矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。因為λ=3是矩陣A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是βα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，一1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，也是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。13、設α=(1，一1，a)T是A=的伴隨矩陣A*的特征向量，其中r(A*)=3，則a=_________。標準答案：一1知識點解析：α是A*的特征向量，設對應于α的特征值為λ0，則有A*α=λ0α，該等式兩端同時左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展開成方程組的形式為因為r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根據(jù)方程組中的前兩個等式，解得a=一1。14、設A是三階可逆矩陣，A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m，則｜A｜=_________。標準答案：km知識點解析：由A的各行元素之和為k，A*的各行元素之和為m可知A(1，1，1)T=k(1，1，1)T，A*(1，1，1)T=m(1，1，1)T，在A(1，1，1)T=k(1，1，1)T兩邊同時左乘A*可得A*A(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T，即｜A｜(1，1，1)T=kA*(1，1，1)T=km(1，1，1)T，故｜A｜=km。15、若矩陣A=只有一個線性無關的特征向量，則這個線性無關的特征向量是_________。標準答案：k(1，0，1)T，其中k≠0知識點解析：因A只有一個線性無關的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE—A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是3E—A=，顯然a≠1。再由(3E—A)x=0的解得特征值λ=3對應的特征向量為(1，0，1)T。故線性無關的特征向量是k(1，0，1)T，其中k≠0。16、已知A=有三個線性無關的特征向量，則x=________。標準答案：0知識點解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2一1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因為A有三個線性無關的特征向量，所以λ=1必有兩個線性無關的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根據(jù)17、已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中αi=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，則A=_________。標準答案：知識點解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值為1，2，3。令P=(α1，α2，α3)=，則P－1AP=，所以三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)18、n階矩陣A=，求A的特征值和特征向量。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE—A｜==[λ—1一(n—1)b][λ一(1—b)]n－1，則A的特征值為1+(n一1)b和1—b(n—1重)。①當b=0時，A的特征值是1(n重)，任意n維非零列向量均為A的特征向量。②當b≠0時，對方程組[(1+n一1)bE—A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎解系為ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的屬于λ=1+(n一1)b的全部特征向量為kξ1=k(1，1，1，…，1)T，其中k≠0。對方程組[(1—b)E—A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得解得上述方程組的基礎解系為ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，所以A的屬于λ=1一b的全部特征向量為k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全為零的常數(shù)。知識點解析：暫無解析19、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相應的特征向量且線性無關。證明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，則λ1=λ2=λ3。標準答案：若α1+α2+α3是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ—λ1)α1+(λ一λ2)α2+(λ一λ3)α3=0。因為α1，α2，α3線性無關，故λ－λ1=0，λ一λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知識點解析：暫無解析20、已知A=是n階矩陣，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩陣P使P－1AP=A。標準答案：A的特征多項式為=(λ一2n+1)(λ一n+1)n－1，則A的特征值為λ1=2n一1，λ2=n—1，其中λ2=n一1為n一1重根。當λ1=2n—1時，解齊次方程組(λ1E一A)x=0，對系數(shù)矩陣作初等變換，有得到基礎解系α1=(1，1，…，1)T。當λ2=n一1時，齊次方程組(λ2E一A)x=0等價于x1+x2+…+xn=0，得到基礎解系α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T，則A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同時為零。知識點解析：暫無解析已知矩陣相似。21、求x與y；標準答案：相似矩陣有相同的特征值，由矩陣B的特征值為2，y，一1可知矩陣A的特征值也為2，y，一1，故｜A｜=2×y×(一1)=一2，且tr(A)=2+0+x=2+y+(一1)，解得y=1，x=0。知識點解析：暫無解析22、求一個滿足P－1AP=B的可逆矩陣P。標準答案：A的特征值為λ1=2，λ2=1，λ3=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得矩陣A的屬于特征值λ1=2，λi=1，λ3=一1的特征向量分別為α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，一1，1)T，令可逆矩陣P=(α1，α2，α3)=，則P－1AP=B。知識點解析：暫無解析23、設矩陣相似，求x，y；并求一個正交矩陣P，使P－1AP=A。標準答案：A與相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因為λ=一4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x一4)=0，解得x=4。又因為相似矩陣的行列式相同，｜A｜==一100，=一20y，所以y=5。當λ=5時，解方程(A一5E)x=0，得兩個線性無關的特征向量，將它們正交化、單位化得：當λ=一4時，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，單位化得：知識點解析：暫無解析某試驗性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工。設第n年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量。24、求的關系式并寫成矩陣形式：；標準答案：由題意得化成矩陣形式為知識點解析：暫無解析25、驗證是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值；標準答案：因為行列式｜η1，η2｜==5≠0，所以η1，η2線性無關。又Aη1==η1，故η1為A的特征向量，且相應的特征值λ1=1。Aη2=，故η2為A的特征向量，且相應的特征值λ2=。知識點解析：暫無解析26、當。標準答案：知識點解析：暫無解析A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且27、求A的所有特征值與特征向量；標準答案：由，得即特征值λ1=一1，λ2=1對應的特征向量為又由r(A)=2＜3可知，A有一個特征值為0。設λ3=0對應的特征向量為是特征值0對應的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次對應于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3為任意非零常數(shù)。知識點解析：暫無解析28、求矩陣A。標準答案：令知識點解析：暫無解析29、設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=一1，λ3=0；對應λ1，λ2的特征向量依次為P1=(1，2，2)T，P2=(2，1，一2)T，求A。標準答案：因為A為實對稱矩陣，故必存在正交矩陣Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q－1AQ=。將對應于特征值λ1、λ2的特征向量單位化，得知識點解析：暫無解析設三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為三階單位矩陣。30、驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；標準答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。由關系式B=A5一4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三個特征值為μ1=一2，μ2=l，μ3=1。設α1，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣，因此α1與α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解，即得其基礎解系為：。B的全部特征向量為：，其中k1≠0，k2，k3不同時為零。知識點解析：暫無解析31、求矩陣B。標準答案：知識點解析：暫無解析32、29．設A=，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。標準答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設特征值是λ1，那么知矩陣A的特征值是2，5，一4。對λ=5，由(5E—A)x=0得基礎解系α2=(1，一1，1)T。對λ=一4，由(一4E一A)x=0得基礎解系α3=(一l，0，1)T。因為A是實對稱矩陣，對應于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設A是三階矩陣，其特征值是1，3，—2，相應的特征向量依次為α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，則P—1AP=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題意得，Aα2=3α2，因此有A(—α2)=3(—α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，—α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=—2的特征向量。當P—1AP=Λ時，P由A的特征向量所構成，Λ由A的特征值所構成，且P的列向量與Λ對角線上的元素的位置是一一對應的。因為已知矩陣A的特征值是1，3，—2，故對角矩陣Λ對角線上元素應當由1，3，—2構成，因此排除選項B、C。由于2α3是屬于λ=—2的特征向量，所以—2在對角矩陣Λ中應當是第2列第2行的元素，排除D，故選A。2、設λ1，λ2是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α1+α2)線性無關的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標準答案：B知識點解析：方法一：設k1α1+k2A(α1+α2)=0，由題設條件得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是屬于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2線性無關，從而所以，α1，A(α1+α2)線性無關k1=k2=0行列式≠0，故選B。方法二：由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)，故α1，A(α1+α2)線性無關，即(α1，A(α1+α2))的秩為2的充要條件為≠0，即λ2≠0，故選B。3、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量是()A、αB、Aα+2αC、A2α—AαD、A2α+2Aα—3α標準答案：C知識點解析：由已知A3α+2A2α—3Aα=0，即有(A+3E)(A2α—Aα)=0=O(A2α—Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，那么必有A2α—Aα≠0，所以，A2α—Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，也是矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量，故選C。4、已知矩陣A=，則與A相似的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設B選項中的矩陣為B，有E—B=，因此R(E—B)=1，所以矩陣B對應λ=1有兩個線性無關的特征向量，B相似于A，故選B。5、已知α1=(—1，1，t，4)T，α2=(—2，1，5，t)T，α3=(t，2，10，1)T分別是四階方陣A的三個不同的特征值對應的特征向量，則()A、t≠5。B、t≠—4。C、t≠—3。D、t≠—3且t≠—4。標準答案：A知識點解析：因為矩陣的不同特征值對應的特征向量必線性無關，所以R(α1，α2，α3)=3。對矩陣(α1，α2，α3)作初等行變換，即當t≠5時，R(α1，α2，α3)=3，故選A。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、設A為n階實對稱矩陣，且A2=A，R(A)=r，則A的全部特征值為_______，行列式｜2E—3A｜=_______。標準答案：λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0；(—1)r2n—r知識點解析：設λ是矩陣A的任意一個特征值，α是屬于λ的特征向量，即Aα=λα。在等式A2=A兩邊右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2—λ)α=0。因α≠0，故有λ2—λ=0，可得A的特征值λ=0或1。又已知A為實對稱矩陣，則必可相似對角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值為λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0，進而可知矩陣2E—3A的特征值為μ1=…=μr=2—3×1=—1，μr+1=…=μn=2—3×0=2，故｜2E—3A｜=(—1)r2n—r。7、設3階矩陣A的特征值分別為1，2，2，E為3階單位矩陣，則｜4A—1—E｜=________。標準答案：3知識點解析：由已知條件可得，A—1的特征值為1，，于是4A—1—E的特征值為3，1，1，因此｜4A—1—E｜=3×1×1=3。8、設4階矩陣A和B相似，如果B*的特征值是1，—1，2，4，則｜A*｜=________。標準答案：—8知識點解析：已知B*的特征值，所以｜B*｜=1×(—1)×2×4=—8，又｜B*｜=｜｜B｜B—1｜=｜B｜4｜B—1｜=｜B｜3=—8，所以｜B｜=—2。又A和B相似，所以｜A｜=｜B｜=—2，于是｜A*｜=｜｜A｜A—1｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3=—8。9、設3階矩陣A=只有一個線性無關的特征向量，則t=________。標準答案：—2知識點解析：由于矩陣A只有一個線性無關的特征向量，所以可知矩陣A有3重特征值，設λ是A的特征值。由矩陣的跡的性質(zhì)，有3λ=4—2+1，因此得λ=1。于是有解得t=—2。10、已知矩陣A=和對角矩陣相似，則a=________。標準答案：—2知識點解析：因為｜λE—A｜==(λ—2)(λ—3)2，所以矩陣A的特征值為2，3，3。因為矩陣A的特征值有重根，所以有A～Λλ=3有兩個線性無關的特征向量(3E—A)x=0有兩個線性無關的解(3E—A)=1。那么3E—A=，可見a=—2。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)11、設A=。求A的特征值與特征向量。標準答案：由｜λE—A｜==(λ+2)2(λ—4)=0，得λ1=λ2=—2，λ3=4。當λ1=λ2=—2時，由(—2E—A)x=0，得λ=—2對應的兩個線性無關的特征向量為ξ1=(1，1，0)T，ξ2=(—1，0，1)T，所以A的屬于特征值—2的特征向量為k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2不全為0；當λ3=4時，由(4E—A)x=0，得λ=4對應的特征向量為ξ3=(1，1，2)T，所以A的屬于特征值4的特征向量為k3ξ3，其中k3不為0。知識點解析：暫無解析12、設α1，α2是矩陣A屬于不同特征值的特征向量，證明α1+α2不是矩陣A的特征向量。標準答案：設Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，且λ1≠λ2，假設α1+α2是矩陣A屬于特征值μ的特征向量，即A(α1+α2)=μ(α1+α2)。再由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2得(μ—λ1)α1+(μ—λ2)α2=0。因為屬于不同特征值的特征向量線性無關，所以μ—λ1=0，μ—λ2=0μ=λ1=λ2，這與λ1≠λ2相矛盾。所以假設不成立，即α1+α2不是A的特征向量。知識點解析：暫無解析13、設三階矩陣A滿足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，—2，1)T，α3=(—2，—1，2)T，試求矩陣A。標準答案：由題設條件可得，Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，所以α1，α2，α3是矩陣A不同特征值的特征向量，故它們線性無關。利用分塊矩陣，則有A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)，因為矩陣(α1，α2，α3)可逆，故A=(α1，2α2，3α3)(α1，α2，α3)—1=知識點解析：本題主要考查的是已知矩陣的特征值和特征向量，反求矩陣。可直接利用概念求解。當然本題還可以利用相似對角化求解，解法如下：因為矩陣A有3個不同的特征值，所以A可相似對角化，即存在一個三階可逆矩陣P，使得P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，那么A=PΛP—1，進一步求解可得A。設A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的3維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。14、求矩陣B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B。標準答案：根據(jù)題設有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)。于是B=知識點解析：暫無解析15、求矩陣A的特征值。標準答案：令P1=(α1，α2，α3)，因為α1，α2，α3線性無關，所以P1可逆，且由結論P1—1AP1=B，可知A～B。由B的特征方程｜λE—B｜==(λ—1)2(λ—4)=0得矩陣B的特征值為1，1，4，由相似矩陣的性質(zhì)可知矩陣A的特征值也是1，1，4。知識點解析：暫無解析16、求可逆矩陣P使得P—1AP為對角矩陣。標準答案：已得知B的特征值分別是1，1，4，于是解(E—B)x=0，得矩陣B屬于特征值1的線性無關的特征向量β1=(—1，1，0)T，β2=(—2，0，1)T；解(4E—B)x=0，得矩陣B屬于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)，則有P2—1BP2=，將P1—1AP1=B代入可得P2—1P1—1AP1P2=令P=P1P2=(α1，α2，α3)=(—α1+α2，—2α1+α3，α2+α3)，則P—1AP=知識點解析：暫無解析某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由新招收的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓及實踐至年終考核有成為熟練工。設第n年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成αn=17、求αn+1與αn的關系式，并寫成矩陣形式：αn+1=Aαn。標準答案：依題意有知識點解析：暫無解析18、求矩陣A的特征值與特征向量。標準答案：令特征多項式因此，得矩陣A的特征值λ1=1，λ2=當λ=1時，由(E—A)x=0，得基礎解系η1=，因此矩陣A屬于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)。當λ==0，得基礎解系η2=，因此矩陣A屬于λ=的特征向量是k2η2(k2≠0)。知識點解析：暫無解析19、若α0=，求Anα0。標準答案：設x1η1+x2η2=α0，即于是α0=，那么Aα0=。故知識點解析：暫無解析20、設A為3階實對稱矩陣，A的秩為2，且求矩陣A。標準答案：設A=，有易得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，于是再由R(A)=2，得d=0，因此A=。知識點解析：暫無解析21、設A為三階矩陣，且Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，3)T，α2=(0，1，2)T，α3=(0，0，1)T，求A。標準答案：令P=(α1，α2，α3)=，因為Aαi=iαi(i=1，2，3)，所以知識點解析：暫無解析22、設A=，問a為何值時A能對角化。標準答案：矩陣A的特征多項式｜λE—A｜==(λ—1)(λ—2)[λ—(2a—1)]。(1)當2a—1≠1，2，即a≠1，時，A有3個不同的特征值，故A可對角化；(2)當2a—1=1，即a=1時，A有特征值1(二重)，2。λ=1時，λE—A=E—A=，R(E—A)=2。因此二重特征值1只有一個線性無關的特征向量，故A不可對角化；(3)當2a—1=2，即a=時，A有特征值1，2(二重)，且可知R(2E—A)=2，從而A也不可對角化。故當a≠1，時，A可對角化。知識點解析：暫無解析在某國，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設該國總?cè)丝跀?shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。23、求關系式中的矩陣A。標準答案：由題意，人口遷移的規(guī)律不變，所以xn+1=xn+qyn—pxn=(1—p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn—qyn=pxn+(1—q)yn，用矩陣表示為知識點解析：暫無解析24、設目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即。標準答案：得A的特征值為λ1=1，λ2=r，其中r=1—P—q。當λ1=1時，解方程(A—E)x=0，得特征向量p1=(q，p)T；當λ2=r時，解方程(A—rE)x=0，得特征向量p2=(—1，1)T。令P=(p1，p2)=，則P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1，于是知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設三階矩陣A的特征值為－1，1，2，其對應的特征向量為α1，α2，α3，令P＝(3α2，－α3，2α1)，則P-1AP等于()．A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：顯然3α2，－α3，2α1也是特征值1，2，－1的特征向量，所以P-1AP＝，選C．2、設A，B為n階矩陣，且A，B的特征值相同，則()．A、A，B相似于同一個對角矩陣B、存在正交陣Q，使得QTAQ＝BC、r(A)＝r(B)D、以上都不對標準答案：D知識點解析：顯然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以選項A，B，C都不對，選D．3、設A是n階矩陣，下列命題錯誤的是()．A、若A2＝E，則－1一定是矩陣A的特征值B、若r(E＋A)＜n，則－1一定是矩陣A的特征值C、若矩陣A的各行元素之和為－1，則－1一定是矩陣A的特征值D、若A是正交矩陣，且A的特征值之積小于零，則－1一定是A的特征值標準答案：A知識點解析：若r(E＋A)＜n．剛｜E＋A｜＝0，于是－1為A的特征值；若A的短行元素之和為－1，則根據(jù)特征值特征向量的定義，－1為A的特征值；若A是正交矩陣，則ATA＝E，令AX＝λX(其中X≠0)，則XTAT＝λXT，于是XTATAX＝λ2XTX，即(λ2－1)XTX＝0，而XTX＞0，故λ2＝1，再由特征值之積為負得－1為A的特征值，選A．4、與矩陣A＝相似的矩陣為()．A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：A的特征值為1，2，0，因為特征值都是單值，所以A可以對角化，又因為給定的四個矩陣中只有選項D中的矩陣特征值與A相同且可以對角化，所以選D．5、設A為n階矩陣，下列結論正確的是()．A、矩陣A的秩與矩陣A的非零特征值的個數(shù)相等B、若A～B，則矩陣A與矩陣B相似于同一對角陣C、若r(A)＝r＜n，則A經(jīng)過有限次初等行變換可化為D、若矩陣A可對角化，則A的秩與其非零特征值的個數(shù)相等標準答案：D知識點解析：暫無解析6、設A，B為n階可逆矩陣，則()．A、存在可逆矩陣P，使得P-1AP＝BB、存在正交矩陣Q，使得QTAQ＝BC、A，B與同一個對角矩陣相似D、存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B標準答案：D知識點解析：因為A，B都是可逆矩陣，所以A，B等價，即存在可逆矩陣P，Q，使得PAQ＝B，選D．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)7、設A＝，｜A｜＞0且A*的特征值為－1，－2，2，則a11＋22a＋a33＝_______．標準答案：－2知識點解析：因為｜A*｜＝｜A｜2＝4，且｜A｜＞0，所以｜A｜＝2，又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A-1＝A*，從而A-1的特征值為－，－1，1，根據(jù)逆矩陣之間特征值的倒數(shù)關系，則A的特征值為－2，－1，1，于是a11＋a22＋a33＝－2－1＋1＝－2．8、設三階矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝－，λ3＝，其對應的特征向量為α1，α2，α3，令P＝(2α3，－3α1，－α2)，則P-1(A-1＋2E)P＝_______．標準答案：知識點解析：P-1(A-1＋2E)P＝P-1A-1P＋2E．而P-1A-1P＝，所以P-1(A-1＋2E)P＝9、設λ1，λ2，λ3是三階矩陣A的三個不同特征值，α1，α2，α3分別是屬于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1＋α2)，A2(α1＋α2＋α3)線性無關，則λ1，λ2，λ3滿足_______．標準答案：λ2λ3≠0知識點解析：令χ1α1＋χ2A(α1＋α2)＋χ3A2(α1＋α2＋α3)＝0，即(χ1＋λ1χ2＋λ12χ3)α1＋(λ2χ2＋λ22χ3)α2＋λ32χ3α3＝0，則有χ1＋λ1χ2＋λ12χ3＝0，λ2χ2＋λ22χ3＝0，λ32χ3＝0，因為χ1，χ2，χ3只能全為零，所以10、若α1，α2，α3是三維線性無關的列向量，A是三階方陣，且Aα1＝α1＋α2，Aα2＝α2＋α3，Aα3＝α3＋α1，則｜A｜＝_______．標準答案：2知識點解析：令P＝(α1，α2，α3)，因為α1，α2，α3線性無關，所以P可逆，由AP＝(Aα1，Aα2，Aα3)＝(α1，α2，α3)得11、設A為三階實對稱矩陣，α1＝(a，－a，1)T是方程組AX＝0的解，α2＝(a，1，1－a)T是方程組(A＋E)X＝0的解，則a＝_______．標準答案：1知識點解析：因為A為實對稱矩陣，所以不同特征值對應的特征向量正交，因為AX＝0及(A＋E)X＝0有非零解，所以λ1＝0，λ2＝－1為矩陣A的特征值，α1＝(a，－a，1)T，a2＝(a，1，1－a)T是它們對應的特征向量，所以有α1Tα2＝a2－a＋1－a＝0，解得a＝1．12、設A＝有三個線性無關的特征向量，則a＝_______．標準答案：4知識點解析：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)(λ－1)2＝0得λ1＝1，λ2＝λ3＝1．因為A有三個線性無關的特征向量，所以r(E－A)＝1，解得a＝4．13、設A＝有三個線性無關的特征向量，則a＝_______．標準答案：0知識點解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值為λ1＝－2，λ2＝λ3＝6．因為A有三個線性無關的特征向量，所以A可以對角化，從而r(6E－A)＝1，解得a＝0．三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)14、設A為n階非零矩陣，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．標準答案：因為A2＝AA(E－A)＝Or(A)＋r(E－A)＝nA可以對角化．由A2＝A，得｜A｜.｜E－A｜＝0，所以矩陣A的特征值為λ＝0或1．因為r(A)＝r且0＜r＜n，所以0和1都為A的特征值，且λ＝1為r重特征值，λ＝0為n－λ重特征值，所以5E＋A的特征值為λ＝6(r重)，λ＝5(n－r重)，故｜5E＋A｜＝5n-r×6r．知識點解析：暫無解析15、設A＝相似于對角陣．求：(1)a及可逆陣P，使得P-1AP＝A，其中A為對角陣；(2)A100．標準答案：(1)｜λE－A｜＝0λ1＝λ2＝1，λ3＝－1．因為A相似于對角陣，所以r(E－A)＝1(E－A)X＝0基礎解系為ξ1＝(0，1，0)T，ξ2＝(1，0，1)T，(－E－A)X＝0基礎解系為ξ3＝(1，2，－1)T，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP＝diag(1，1，－1)．(2)-1A100＝EA100＝PP-1＝E．知識點解析：暫無解析16、設A＝有三個線性無關的特征向量，且λ＝2為A的二重特征值，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．標準答案：因為A有三個線性無關的特征向量，所以λ＝2的線性無關的特征向量有兩個，故r(2E－A)＝1，而2E－A＝所以χ＝2，y＝－2．由｜λE－A｜＝＝(λ－2)2(λ－6)＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝6由(2E－A)X＝0得λ＝2對應的線性無關的特征向量為由(6E－A)X＝0得λ＝6對應的線性無關的特征向量為α3＝令P＝，則有P-1AP＝知識點解析：暫無解析17、設A＝有四個線性無關的特征向量，求A的特征值與特征向量，并求A2010．標準答案：因為A為上三角矩陣，所以A的特征值λ1＝λ2＝1，λ3＝λ4＝－1．因為A有四個線性無關的特征向量，即A可以對角化，所以有于是a＝0，b＝0．當λ＝1時，(E－A)X＝0得當λ＝－1時，由(－E－A)X＝0得所以P-1A2010P＝E，從而A2010＝E．知識點解析：暫無解析18、設方程組AX＝β有解但不唯一．(1)求a；(2)求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角陣；(3)求正交陣Q，使得QTAQ為對角陣．標準答案：(1)因為方程組AX＝β有解但不唯一，所以｜A｜＝0，從而a＝－2或a＝1．當a＝－2時，r(A)＝r()＝2＜3，方程組有無窮多解；當a＝1時，r(A)＝1＜r()，方程組無解，故a＝－2．(2)由｜λE－A｜＝λ(λ＋3)(λ－3)＝0得λ1＝0，λ2＝3，λ3＝－3．由(0E－A)X＝0得λ1＝0對應的線性無關的特征向量為ξ1＝；由(3E－A)X＝0得λ2＝3對應的線性無關的特征向量為ξ2＝；由(－3E－A)X＝0得λ3＝－3對應的線性無關的特征向量為知識點解析：暫無解析19、設矩陣A＝(1)若A有一個特征值為3，求a；(2)求可逆矩陣P，使得PTA2P為對角矩陣．標準答案：(1)｜λE－A｜＝(λ2－1)[λ2－(a＋2)λ＋2a－1]，把λ＝3代入上式得a＝2，于是(2)由｜λE－A2｜＝0得A*的特征值為λ1＝λ2＝λ3＝1，λ4＝9．當λ＝1時，由(E－A2)X＝0得α1＝(1，0，0，0)T，α2＝(0，1，0，0)T，α3＝(0，0，－1，1)T；當λ＝9時，由(9E－A2)X＝0得α4＝(0，0，1，1)T．將α1，α2，α3正交規(guī)范化得β1＝(1，0，0，0)T，β2(0，1，0，0)T，β3＝，將α4規(guī)范化得β4＝．令P＝(β1，β2，β3，β4)＝，則PTA2P＝知識點解析：暫無解析20、設矩陣A＝可逆，α＝為A*對應的特征向量．(1)求a，b及α對應的A*的特征值；(2)判斷A可否對角化．標準答案：(1)顯然a也是矩陣A的特征向量，令Aα＝λ1α則有｜A｜＝12，設A的另外兩個特征值為λ2，λ3，由得λ2＝λ3＝2．α對應的A*的特征值為＝4．(2)2E－A＝，因為r(2E－A)＝2，所以λ2＝λ3＝2只有一個線性無關的特征向量，故A不可以對角化．知識點解析：暫無解析21、設A為三階矩陣，ξ1，ξ2，ξ3是三維線性無關的列向量，且Aξ1＝－ξ1＋2ξ2＋2ξ3，Aξ2＝2ξ1－ξ2－2ξ3，Aξ3＝2ξ1－2ξ2－ξ3．(1)求矩陣A的全部特征值；(2)求｜A*＋2E｜．標準答案：(1)A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)，因為ξ1，ξ2，ξ3線性無關，所以(ξ1，ξ2，ξ3)可逆，故A～＝B．由｜λE－A｜＝｜λE－B｜＝(λ＋5)(λ－1)2＝0，得A的特征值為－5，1，1．(2)因為｜A｜＝－5，所以A*的特征值為1，－5，－5，故A*＋2E的特征值為3，－3，－3．從而｜A*＋2E｜＝27．知識點解析：暫無解析22、設A為三階矩陣，且有三個互異的正的特征值，設矩陣B＝(A*)2－4E的特征值為0，5，32．求A-1的特征值并判斷A-1是否可對角化．標準答案：設A的三個特征值為λ1，λ2，λ3，因為B＝(A*)2－4E的三個特征值為0，5，32，所以(A*)2的三個特征值為4．9．36，于是的三個特征值為2．3．6．又因為｜A*｜＝36＝｜A｜3-1，所以｜A｜＝6．由，得λ1＝3，λ2＝2，λ3＝1，由于一對逆矩陣的特征值互為倒數(shù)，所以A-1的特征值為1，．因為A-1的特征值都是單值，所以A-1可以相似對角化．知識點解析：暫無解析23、設A＝的一個特征值為λ1＝2，其對應的特征向量為ξ1＝(1)求常數(shù)a，b，c；(2)判斷A是否可對角化，若可對角化，求可逆矩陣P，使得P-1AP為對角矩陣．若不可對角化，說明理由．標準答案：(1)由Aξ1＝2ξ1，(2)由｜λE－A＝＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝－1．由(2E－A)X＝0，得由(－E－A)X＝0，得α3＝顯然A可對角化，令P＝則P-1AP＝知識點解析：暫無解析24、設二維非零向量口不是二階方陣A的特征向量．(1)證明α，Aα線性無關；(2)若A2α＋Aα－6α＝0，求A的特征值，討論A可否對角化．標準答案：(1)若α，Aα線性相關，則存在不全為零的數(shù)k1，k2，使得k1α＋k2Aα＝0，可設k2≠0，所以Aα＝－α，矛盾，所以α，Aα線性無關．(2)由A3α＋Aα－6α＝0，得(A2＋A－6E)α＝0，因為α≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，從而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜.｜2E－A｜＝0，則｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．若｜3E＋A｜≠0，則3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)α＝0，得(2E－A)α＝0，即Aα＝2α，矛盾；若｜2E－A｜≠0，則2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)α＝0，得(3E＋A)α＝0，即Aα＝－3α，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二階矩陣A有兩個特征值－3，2，故A可對角化．知識點解析：暫無解析25、設A是三階矩陣，α1，α2，α3為三個三維線性無關的列向量，且滿足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．(1)求矩陣A的特征值；(2)判斷矩陣A可否對角化．標準答案：(1)因為α1，α2，α3線性無關，所以α1＋α2＋α3≠0，由A(α1＋α2＋α3)＝2(α1＋α2＋α3)，得A的一個特征值為λ1＝2；又由A(α1－α2)＝－(α1－α2)，A(α2－α3)＝－(α2－α3)，得A的另一個特征值為λ2＝－1．因為α1，α2，α3線性無關，所以α1～α2與α2－α3也線性無關，所以λ2＝－1為矩陣A的二重特征值，即A的特征值為2，－1，－1．(2)因為α1－α2，α2－α3為屬于二重特征值－1的兩個線性無關的特征向量，所以A一定可以對角化．知識點解析：暫無解析26、設A，B為三階矩陣，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3為A的三個不同的特征值，證明：(1)AB＝BA；(2)存在可逆矩陣P，使得P-1AP，P-1BP同時為對角矩陣．標準答案：(1)由AB＝A－B得A－B－AB＋E＝E，(E＋A)(E－B)＝E，即E－B與E＋A互為逆矩陣，于是(E－B)(E＋A)＝E＝(E＋A)(E－B)，故AB＝BA．(2)因為A有三個不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以對角化，設A的三個線性無關的特征向量為ξ1，ξ2，ξ3，則有A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，BA(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，AB(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi＝λiβξi＝1，2，3．若Bξi≠0，則Bξi是A的屬于特征值λi的特征向量，又λi為單根，所以有Bξi＝μiξi；若Bξi＝0，則ξi是B的屬于特征值。的特征向量．無論哪種情況，B都可以對角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，則P-1AP，P-1BP同為對角陣．知識點解析