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文檔簡介
2024-2025學年遼寧省營口市重點中學秋學期高三年級(4月)第五次檢測試題數(shù)學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.3.雙曲線的左右焦點為,一條漸近線方程為,過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于,滿足,則該雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.24.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則5.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.7.已知直線與圓有公共點,則的最大值為()A.4 B. C. D.8.已知分別為圓與的直徑,則的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.410.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.已知類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件類產(chǎn)品或者檢測出3件類產(chǎn)品時,檢測結(jié)束,則第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為,若,,則的值為__________.14.已知下列命題:①命題“?x0∈R,”的否定是“?x∈R,x2+1<3x”;②已知p,q為兩個命題,若“p∨q”為假命題,則“”為真命題;③“a>2”是“a>5”的充分不必要條件;④“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題.其中所有真命題的序號是________.15.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點,,若線段EF上存在一點M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)16.已知向量,,且,則實數(shù)m的值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.18.(12分)已知曲線,直線:(為參數(shù)).(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.19.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)若過點的直線與交于,兩點,與交于,兩點,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有兩個實數(shù)根,且,證明:.21.(12分)已知動圓E與圓外切,并與直線相切,記動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過點的直線l交曲線C于A,B兩點,若曲線C上存在點P使得,求直線l的斜率k的取值范圍.22.(10分)已知與有兩個不同的交點,其橫坐標分別為().(1)求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設(shè),則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.2.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算,代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算與化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
設(shè),直線的方程為,聯(lián)立方程得到,,根據(jù)向量關(guān)系化簡到,得到離心率.【詳解】設(shè),直線的方程為.聯(lián)立整理得,則.因為,所以為線段的中點,所以,,整理得,故該雙曲線的離心率.故選:.本題考查了雙曲線的離心率,意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.4.C【解析】
在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯誤;在B中,若,,則或,故B錯誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯誤.故選C.本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,是中檔題.5.B【解析】
延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.本題考查余弦定理的應(yīng)用,考查三角形面積公式的應(yīng)用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵,是中檔題.6.A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解?!驹斀狻亢瘮?shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。7.C【解析】
根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點,得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓,所以,解得,因為直線與圓有公共點,所以圓心到直線的距離,即,解得,此時,因為,在遞增,所以的最大值.故選:C本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.8.A【解析】
由題先畫出基本圖形,結(jié)合向量加法和點乘運算化簡可得,結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖,其中,所以.故選:A本題考查向量的線性運算在幾何中的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題9.B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當直線經(jīng)過點時,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.10.B【解析】
畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計算得到答案.【詳解】,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.本題考查了函數(shù)零點問題,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.11.B【解析】
由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12.D【解析】
根據(jù)分步計數(shù)原理,由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產(chǎn)品的概率,不放回情況下第二次檢測出類產(chǎn)品的概率,即可得解.【詳解】類產(chǎn)品共兩件,類產(chǎn)品共三件,則第一次檢測出類產(chǎn)品的概率為;不放回情況下,剩余4件產(chǎn)品,則第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故第一次檢測出類產(chǎn)品,第二次檢測出類產(chǎn)品的概率為;故選:D.本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用,古典概型概率計算公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項和公比,再代入等比數(shù)列的通項公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.本題考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.14.②【解析】命題“?x∈R,x2+1>3x”的否定是“?x∈R,x2+1≤3x”,故①錯誤;“p∨q”為假命題說明p假q假,則(p)∧(q)為真命題,故②正確;a>5?a>2,但a>2?/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件,故③錯誤;因為“若xy=0,則x=0或y=0”,所以原命題為假命題,故其逆否命題也為假命題,故④錯誤.15.【解析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.16.1【解析】
根據(jù)即可得出,從而求出m的值.【詳解】解:∵;∴;∴m=1.故答案為:1.本題考查向量垂直的充要條件,向量數(shù)量積的坐標運算.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)1.【解析】
(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=,結(jié)合范圍A∈(0,π),可求A=.(2)利用三角形的面積公式可求bc=8,由余弦定理解得b+c=7,即可得解△ABC的周長的值.【詳解】(1)由題意,在中,因為,由正弦定理,可得sinAsinB=sinBcosA,又因為,可得sinB≠0,所以sinA=cosA,即:tanA=,因為A∈(0,π),所以A=;(2)由(1)可知A=,且a=5,又由△ABC的面積2=bcsinA=bc,解得bc=8,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得:25=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-24,整理得(b+c)2=49,解得:b+c=7,所以△ABC的周長a+b+c=5+7=1.本題主要考查了正弦定理,三角形的面積公式,余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.18.(I);(II)最大值為,最小值為.【解析】試題分析:(I)由橢圓的標準方程設(shè),得橢圓的參數(shù)方程為,消去參數(shù)即得直線的普通方程為;(II)關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系.過點作與垂直的直線,垂足為,則在中,,故將的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點,到定直線的最大值與最小值問題處理.試題解析:(I)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線的普通方程為.(II)曲線C上任意一點到的距離為.則.其中為銳角,且.當時,取到最大值,最大值為.當時,取到最小值,最小值為.【考點定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程;2、點到直線的距離公式;3、解直角三角形.19.(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)利用平方法消去參數(shù),即可得到的普通方程,兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析:(1)曲線的普通方程為,曲線的直角坐標方程為;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))又直線與曲線:存在兩個交點,因此.聯(lián)立直線與曲線:可得則聯(lián)立直線與曲線:可得,則即20.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(Ⅱ)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】(Ⅰ)由題,故.且.故在點處的切線方程為.(Ⅱ)設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時,此時,且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意;當時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;當時,此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因為,,故設(shè)的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結(jié)合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.設(shè)的解為,則;設(shè)的解為,則.故,.故,得證.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.21.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合已知條件,即可容易求得結(jié)果;(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,根據(jù)直線與拋物線相交則,結(jié)合由得到的斜率關(guān)系,即可求得斜率的范圍.【詳解】(1)因為動圓與圓外切,并與直線相切,所以點到點的距離比點到直線的距離大.因為圓的半徑為,所以點到點的距離等于點到直線的距離,所以圓心的軌跡為拋物線,且焦點坐標為.所以曲線的方程.(2)設(shè),,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范圍為.本題考查由拋物線定義求拋物線方程,涉及直線與拋物線相交結(jié)合垂直關(guān)系求斜率的范圍,屬綜合中檔題.2
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