高考數(shù)學一輪復習 8.1 空間幾何體及其表面積、體積 理 蘇教版

8.1空間幾何體及其表面積、體積一、填空題1．下面是關(guān)于四棱柱的四個命題：①若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；②若有兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱．其中，真命題的編號是________(寫出所有真命題的編號)．答案②④2．在三棱錐S-ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，則三棱錐S-ABC的表面積是________．解析設(shè)側(cè)棱長為a，則eq\r(2)a＝2，a＝eq\r(2)，側(cè)面積為3×eq\f(1,2)×a2＝3，底面積為eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，表面積為3＋eq\r(3).答案3＋eq\r(3)3．給出下列四個命題：①各個面都是三角形的幾何體是三棱錐②以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐③棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐④圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線其中正確命題的個數(shù)為________個．解析①錯誤，如圖(1)，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．②錯誤，如圖(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．③錯誤，若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．④正確．答案14．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________．解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為eq\f(\r(3),2)，連接頂點和底面中心即為高，可求得高為eq\f(\r(2),2)，所以體積V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),6).答案eq\f(\r(2),6)5．四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的喜好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半，設(shè)剩余的酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關(guān)系有下列四種表述：eq\a\vs4\al(①h2＞h1＞h4,②h1＞h2＞h4,③h3＞h2＞h4,④h2＞h4＞h1)其中表述一定正確的是________．解析本題若用公式推導將費時費力，只要把握住所剩酒為原來的一半以及酒杯的形狀，h4為原來高度的一半應最小，第二個杯子為圓錐形，液面高度應該最高，故只有①正確．答案①6．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40mm，滿盤時直徑120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，則滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是________m(π取3.14，精確到1m)．解析衛(wèi)生紙總長度為eq\f(π602－202,0.1)≈3.14×32000＝100480(mm)≈100(m)．答案1007．如圖，一個四棱錐和一個三棱錐恰好可以拼接成一個三棱柱，這個四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1、h2、h，則h1∶h2∶h＝________.解析如圖，設(shè)三棱錐P-ABE的各棱長為a，則四棱錐P-ABCD的各棱長也為a，于是h1＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，h2＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(6),3)a＝h，∴h1∶h2∶h＝eq\r(3)∶2∶2.答案eq\r(3)∶2∶28．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分，則可知所求最短路線的長為eq\r(52＋122)＝13cm.答案139．長方體的全面積為11，十二條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為________．解析設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則4(x＋y＋z)＝24，且2xy＋2yz＋2xz＝11.則x2＋y2＋z2＝(x＋y＋z)2－2xy－2yz－2xz＝36－11＝25，從而對角線長為5.答案510．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝eq\r(5)，AA1＝3，M為線段B1B上的一動點，則當AM＋MC1最小時，△AMC1的面積為________．解析如圖，當AM＋MC1最小時，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，ACeq\o\al(2,1)＝14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝eq\f(AM2＋MC\o\al(2,1)－AC\o\al(2,1),2AM·MC1)＝－eq\f(1,2)，所以sin∠AMC1＝eq\f(\r(3),2)，S△AMC1＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).答案eq\r(3)11．如圖是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對接形成的軸對稱平面圖形，若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個組合體，下面說法不正確的是________(填序號)．①該組合體可以分割成圓臺、圓柱、圓錐和兩個球體；②該組合體仍然關(guān)于軸l對稱；③該組合體中的圓錐和球只有一個公共點；④該組合體中的球和半球只有一個公共點．解析半圓繞l旋轉(zhuǎn)后，可得半球，故組合體中只有一個球，所以①不正確，其余都正確．答案①12．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點M是BC的中點，點P是平面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足PM＝2，P到直線A1D1的距離為eq\r(5)，則點P的軌跡是________．解析由PM＝2，知點P在以M為圓心，2為半徑的圓上．又由P到直線A1D1的距離為eq\r(5)，知點P在與BC平行且過AB中點的直線上，故點P的軌跡是它們的交點，即為兩點．答案兩個點13．如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE＋BF是定值．其中所有正確的命題的序號是________．解析觀察圖形并試驗可知①正確，②不正確；③正確．④中AE＝B1F，BF＝A1E，所以AE＋BF＝AA1為定值，故正確命題是①③④答案①③④二、解答題14．直平行六面體的底面是菱形，過不相鄰的兩對側(cè)棱的截面的面積是Q1和Q2，求它的側(cè)面積．解析如圖，設(shè)直平行六面體A1C的底面菱形邊長為a，側(cè)棱長為l，A1六面體?A1ACC1、B1BDD1是矩形，∴Q1＝l·AC?AC＝eq\f(Q1,l).同理BD＝eq\f(Q2,l)，又底面是菱形?a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))2＝eq\f(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2),4l2)?2a·l＝eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2))，S側(cè)＝4al＝2eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).15．給出一塊邊長為2的正三角形紙片，把它折成一個側(cè)棱長與底面邊長都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設(shè)計一種折疊方法，用虛線標在圖中，并求該三棱錐的體積．解析取等邊三角形三邊的中點A、B、C，連結(jié)AB、BC、CA得正三角形的三條中位線，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點重合，則得側(cè)棱長與底面邊長都等于1的三棱錐S-ABC，作SO⊥平面ABC，連結(jié)并延長CO交AB于E，則E是AB的中點，連結(jié)SE.因為O是△ABC的內(nèi)心，所以O(shè)C＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)在Rt△SOC中，SC＝1，SO＝eq\r(SC2－OC2)＝eq\r(1－\f(1,3))＝eq\f(\r(6),3)，故VS-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC×SO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)CE×AB×SO＝eq\f(1,6)×eq\f(\r(3),2)×1×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12).16．在四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.(1)求該四面體的體積的最大值；(2)當四面體的體積最大時，求其表面積．解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設(shè)AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中點為P，BC的中點為E，連接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VABCD＝VABPC＋VDBPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3)S△BPC·PD＝eq\f(1,3)·S△BPC·AD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·aeq\r(a2－\f(x2,4)－\f(a2,4))·x＝eq\f(a,12)eq\r(3a2－x2x2)≤eq\f(a,12)·eq\f(3a2,2)＝eq\f(1,8)a3(當且僅當x＝eq\f(\r(6),2)a時取等號)．∴該四面體的體積的最大值為eq\f(1,8)a3.(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰長為a，底邊長為eq\f(\r(6),2)a，∴S表＝2×eq\f(\r(3),4)a2＋2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)a×eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)a))2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(6),2)a×eq\f(\r(10)a,4)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(\r(15)a2,4)＝eq\f(2\r(3)＋\r(15),4)a2.17．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解析利用三角形相似比，由底面積之比為1∶16.可設(shè)圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得eq\f