【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【易錯(cuò)點(diǎn)歸納總結(jié)】【專題06】不等式（教師版）

第1頁【專題06】不等式1、不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加，異向不等式可以相減．若，，則（若，，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減．（2）左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，，則（若，，則）．（3）左右同正不等式，兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若，則或．（4）若，，則；若，，則．例1、對(duì)于實(shí)數(shù)、、中，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，則；⑥若，則；⑦若，則；⑧若，，則，．其中正確的命題是______________．【答案】②③⑥⑦⑧例2、已知，，則的取值范圍是________．【答案】例3、已知，且，則的取值范圍是________．【答案】2、不等式大小比較的常用方法：（1）作差（作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果）；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法；其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．3、利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針．例4、設(shè)且，，比較和的大?。敬鸢浮慨?dāng)時(shí)，，時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，時(shí)取等號(hào)例5、設(shè)，，，試比較、的大?。敬鸢浮坷?、比較與（且）的大?。敬鸢浮慨?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例7、下列命題中正確的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．（）的最大值是D．（）的最小值是【答案】C例8、若，則的最小值是________．【答案】例9、正數(shù)、滿足，則的最小值為________．【答案】4、常用的重要不等式有：（1）（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；（2）、、，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，，則（糖水的濃度問題）．例10、如果正數(shù)、滿足，則的取值范圍是________．【答案】5、證明不等式的方法：比較法（比較法的步驟是：作差（商）后，通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論）、分析法、綜合法和放縮法，常用的放縮技巧有：；；．例11、已知，求證：．例12、已知、、，求證：．例13、已知、、、，且，，求證：．例14、若、、是不全相等的正數(shù)，求證：．例15、若，求證：．例16、已知，求證：．例17、求證：．6、簡單的一元高次不等式的解法：（標(biāo)根法）其步驟是：①分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；②將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；③根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集．例18、解不等式．【答案】或例19、不等式的解集是________．【答案】或例20、設(shè)函數(shù)、的定義域都是，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為________．【答案】例21、要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式和中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】7、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解．解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母．例22、解不等式．【答案】例23、關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為________．【答案】8、絕對(duì)值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）；（2）利用絕對(duì)值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；（4）兩邊平方．例24、解不等式．【答案】例25、解不等式．【答案】例26、若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】9、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫上“綜上，原不等式的解集是”．注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集．特別提醒：①解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；②不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值．例27、若，則的取值范圍是________．【答案】或例28、解不等式（）．【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，例29、關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為________．【答案】10、含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：、同號(hào)或有0；、異號(hào)或有0．例30、設(shè)，實(shí)數(shù)滿足，求證：．11、不等式的恒成立、能成立、恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法．（1）恒成立問題：若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上；若不等式在區(qū)間上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上．（2）能成立問題：若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立，則等價(jià)于在區(qū)間上．（3）恰成立問題：若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立，則等價(jià)于不等式的解集為．例31、設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是________．【答案】例32、不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍________．【答案】例33、若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍________．【