第二章 解析函數(shù)

第二章解析函數(shù)

復(fù)變函數(shù)是自變量與因變量都取復(fù)數(shù)值的函數(shù)，而解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類(lèi)具有特殊

性質(zhì)的可導(dǎo)函數(shù)，它在理論研究和實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本章首先介紹復(fù)變函數(shù)的概

念、極限與連續(xù)性，然后討論函數(shù)解析的概念和判別方法，最后把我們所熟知的初等函數(shù)推

廣到復(fù)數(shù)域上來(lái)，并說(shuō)明它們的解析性.

§2.1復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

1.復(fù)變函數(shù)的概念

定義2.1設(shè)E為一復(fù)數(shù)集.若對(duì)E中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+(y,按照某種法則/有確定的

一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)卬=“+是與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù))，

記作

w=/(z).

通常也稱(chēng)w』z)為定義在E上的復(fù)變函數(shù)，其中E稱(chēng)為定義域，E中所有的z對(duì)應(yīng)的一切w

值構(gòu)成的集合稱(chēng)為_(kāi)/(z)的值域，記作AE)或G.

若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值，則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)負(fù)z)是單值的；若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w

的兩個(gè)或兩個(gè)以上的值，則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)人z)是多值的.例如卬=|z|,w=z是單值的；

w=Argz(z^O),w=y[z(z^O,n>2)是多值的.

為了敘述簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在不引起混淆的情況下，我們將復(fù)變函數(shù)Kz)簡(jiǎn)稱(chēng)為函數(shù)Ez),

而將微積分中的函數(shù)稱(chēng)為實(shí)函數(shù).

由于復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)和(M,V),那么對(duì)于函數(shù)“、v

為x、y的二元實(shí)函數(shù)〃(x,y)和v(x,y),所以>可⑵又常寫(xiě)成vv="(x,y)+iv(x,y),從而對(duì)復(fù)變函

數(shù)4z)的討論可相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)實(shí)函數(shù)〃(x,y)和v(x,y)的討論.

考察函數(shù)w=z2+l.令w=u+iv,那么

w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,

從而w=z2+l對(duì)應(yīng)于兩個(gè)實(shí)函數(shù)u-x2-y2+\和v^lxy.

又如函數(shù)卬=中,〃為正整數(shù)，令z=re?,w^u+iv,那么

w-u+iv-(re'")"—r"cosnd+ir"sinnd,

此時(shí)w-z!'對(duì)應(yīng)于兩個(gè)實(shí)函數(shù)M=/'cos”。和u=r"sinnd.

在微積分中，一元實(shí)函數(shù)可以理解成數(shù)軸上兩點(diǎn)集之間的映射，二元實(shí)函數(shù)則可以看成

是平面上的點(diǎn)集與數(shù)軸上的點(diǎn)集之間的映射.那么，對(duì)于復(fù)變函數(shù)w=/(z)即"+iv』x+iy),則

可以理解為兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的映射，具體地說(shuō)，復(fù)變函數(shù)卬=/(z)給出了z平面上的

點(diǎn)集E到w平面上的點(diǎn)集汽￡)(或G)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

VzeE-卬w/(z)eG,

其中W稱(chēng)為Z的象，Z稱(chēng)為W的原像.

例如函數(shù)W=z2將Z平面上的點(diǎn)八I+i分別映射到W平面上的一點(diǎn)-1、2i,將區(qū)域

TI

0<argz<5?映射成卬平面上的區(qū)域0<argG〈兀.

例2.1函數(shù)卬=,將2平面上的直線(xiàn)尸1變成W平面上的何種曲線(xiàn)？

解：設(shè)2=工+8,卬=〃+加=—=-----=------

zx-\-iyr+y

則

xy

V=

u=-2522

x+y

Z平面上的直線(xiàn)對(duì)應(yīng)于W平面上的曲線(xiàn):

]_y

i+r'"i+y2

又

22

W+V

(0一：)2+V2=；

24

所以W=L將Z平面上的直線(xiàn)x=l變成了卬平面上的一個(gè)以(L,0)為中心，上為半徑的圓

z22

周.

與實(shí)函數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)也有反函數(shù)的概念.

設(shè)函數(shù)g(z)定義在E上，值域?yàn)镚.若對(duì)于G中的任一點(diǎn)卬,在E中存在一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)

z與之對(duì)應(yīng)，則在G上確定了一個(gè)單值或多值函數(shù)，記作2=尸(卬)，它就稱(chēng)為函數(shù)卬=/(z)的反

函數(shù).需要注意的是單值函數(shù)的反函數(shù)不一定是單值函數(shù)，例如的反函數(shù)就是一個(gè)多值

函數(shù).

如果函數(shù)W=/(Z)與它的反函數(shù)2=尸(卬)都是單值的，那么稱(chēng)函數(shù)W=/(Z)是一一對(duì)應(yīng)的.

2.復(fù)變函數(shù)的極限

定義2.2設(shè)函數(shù)E(z)定義在Z0的去心鄰域o<|z-zo|<r內(nèi)，若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給

定的￡〉0,都存在一正數(shù)J(0<r)，使得當(dāng)O<|z-zo|<5時(shí)，有

\f(z)-A\<￡,

則稱(chēng)函數(shù)4z)當(dāng)z->z0時(shí)的極限存在，常數(shù)A為其極限值.記作

lim/(z)=A

ZfZo

或/(z)->A(z->z(>).

該定義的幾何意義是：當(dāng)變點(diǎn)Z進(jìn)入20的充分小的去心b鄰域時(shí)，它的象點(diǎn)Kz)就落

入4的一個(gè)預(yù)先給定的￡鄰域內(nèi).

圖2.3

復(fù)變函數(shù)極限的定義與微積分中二元實(shí)函數(shù)極限的定義在形式上十分相似，因而可以類(lèi)

似證明得到結(jié)論：若極限存在則必唯一.

值得注意的是定義中Z-Z0的方式是任意的，也就是說(shuō)，Z在Z0的去心鄰域內(nèi)沿任何曲

線(xiàn)以任何方式趨于Z0時(shí)，y(z)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)A.而對(duì)于一元實(shí)函數(shù)y(x)的極限

lim/(x),其中xf與指在x軸上x(chóng)只沿xo的左右兩個(gè)方向趨于xo.顯然復(fù)變函數(shù)極限存在

1聞

的要求要苛刻得多.

關(guān)于極限的計(jì)算，有下面的兩個(gè)定理.

+

定理2.1^fiz)=u(x9y)+iv(x,y)9zo=xo+iyoA=^ibf則

lim/(z)=Aolimu(x,y)=a,(2.1)

z->2b*，y)f(N)，)b)

limv(x,y)=b.(2.2)

證明：先證必要性.已知

lim/(z)=A,

ZTZo

那么根據(jù)定義2.2,即對(duì)Ve>0,必m6>0,當(dāng)

O<|z-zo|=|(%+z?-(xo+i%)|=正-/了+⑶一姬<8

時(shí)，有

注意到

-a|<\l(u—a)2+(v—b)2,|v—Z?|<yl(u—a)2+(v—Z?)2.

所以，當(dāng)0<J(x_/)2+(y_%)2v3時(shí),有

\u-a\<\v-t\<￡

成立.即

limw(x,y)=a.limv(x,y)=b.

(x,y)f*o，yo)a,y)->(%,)b)

再證充分性.已知(2.1)、(2.2)式成立，即當(dāng)0<J(x—x())2+(y—%)2<3時(shí),有

因此

|/(z)-A|=|(“一a)+i(u_切區(qū)1〃_a|+1y_4<￡.

所以，當(dāng)

2

0<|z-z0|=^x-x^+(y-y^)<3

時(shí)，有|f(z)-A|<￡,即

limf(z)=A.

ZTZo

定理2.1將求復(fù)變函數(shù)〃)=依,)，)+認(rèn)和)的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)〃(xj)和

u(xj)的極限問(wèn)題.

定理2.2(極限運(yùn)算法則)若

lim/(z)=A,limg(z)=B,

Zf4z->q

則

⑴lim(/(z)±g(z))=A±8;

Zf4)

(2)lim〃z)?g(z)=AB;

ZTZ()

⑶lim=4(B#O).

zfeg(z)B

定理2.2說(shuō)明若兩個(gè)函數(shù)y(z)和g(z)在點(diǎn)ZO處有極限，則其和、差、積、商(要求分母不

為零)在點(diǎn)Z0處的極限仍存在，并且極限值等于y(z)、g⑵在點(diǎn)ZO處的極限值的和、差、積、

商.

⑴%)=當(dāng)詈

\z\

Re(z-)

(2)/(z)=.

\z\

判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)處的極限是否存在，若存在，試求出極限值.

解：(1)方法一.因?yàn)?Xz)=|z|四24|z|，所以V￡>0,取3=￡,當(dāng)0<|z|<5時(shí),

Z

總有

|/(z)-O|=|/(z)|<|z|<^

根據(jù)極限定義，lim/"(z)：。.

z->0

方法二.設(shè)z=x+iy,則

/)=棄空x2

+y2

可得

"(3)=/J2

㈠+y5號(hào)

又

2

X

limlim=0.

(x,y)->(0,0)(x,y)f(0,0)1^2+),2

根據(jù)定理2.1,有Hmf(z)=0.

z->0

(2)方法一.設(shè)—Q則

z2=x2-y2+2xyi,|z|2=x2+y2.

從而,⑶=竽=..于是可得

X2—y2

W(x,y)=~~r,v(x,y)=0.

廠(chǎng)+y

讓z沿直線(xiàn)產(chǎn)區(qū)趨向于0,有

lim=

(居y)->(0,0)XTOX-+k~X~1+k~

顯然它隨"值的不同而不同，所以&不存在，雖然」亶產(chǎn)，加。.根據(jù)

定理2.1,lim，(z)不存在.

方法二.設(shè)z=2'=r(cos0+zsin&),則

“、/cos26一萬(wàn)

f(z)-----；---=cos23.

r

讓z沿不同射線(xiàn)argz=6趨向于。時(shí)，/(z)趨向于不同的值.例如，當(dāng)6=0時(shí)，/(z)-l；

7T

當(dāng)。=一時(shí)，y(z)f0.所以lim/(z)不存在.

4ZT0

3.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

定義2.3若lim/(z)=/(Zo),則我們就說(shuō)函數(shù)火z)在點(diǎn)zo處連續(xù).如果函數(shù)y(z)

在區(qū)域。內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱(chēng)函數(shù);(Z)在區(qū)域。內(nèi)連續(xù).

復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的定義與微積分中二元實(shí)函數(shù)連續(xù)性的定義相似,我們可以類(lèi)似得到如

下兩個(gè)定理.

定理2.3若火z)、g(z)在點(diǎn)zo連續(xù)，則其和、差、積、商(要求分母不為零)在點(diǎn)zo

處連續(xù).

定理2.4若函數(shù)〃=g(z)在點(diǎn)zo連續(xù)，函數(shù)Q=/(〃)在〃o=g(zo)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)

(P=.f(g(z))在zo處連續(xù).

根據(jù)函數(shù)連續(xù)性定義及定理2.1,有下面的定理成立.

定理2.5設(shè)函數(shù)/(z)="(x,y)+iv(x,y),z()=%+認(rèn),則?穴z)在點(diǎn)zo連續(xù)的充分必要

條件是u(x,y)>v(x,y)均在點(diǎn)(刖,阿連續(xù).

由于連續(xù)性是在極限概念的基礎(chǔ)上定義的，只要注意到定理2.1中的a、b分別為這里

的〃(沏,刈)、v(xo,yo)，即可得到證明.

定理2.5說(shuō)明復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)的連續(xù)性來(lái)討論.

由定理2.3可以得到如下結(jié)論：

(1)多項(xiàng)式w=&z"+4z"T+…+a,-z+an在整個(gè)復(fù)平面上連續(xù)；

(2)任何一個(gè)有理分式函數(shù)a1'+qz”:+…+”"T二+以"在復(fù)平面上除去使分母

的…+■，+勾

為零的點(diǎn)外處處連續(xù).

例2.3討論函數(shù)argz的連續(xù)性.

解：當(dāng)z=0時(shí)，argz無(wú)定義，因而不連續(xù).

當(dāng)zo為負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)時(shí)，即zo=xo<O,則

y

limargz=lim(arctan——兀)=一兀，

..y

limargz-lim(arctan—+兀)=兀，

+

y->0,z-?z0X

所以argz在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).

若zo=xo+iyo不是原點(diǎn)也不是負(fù)實(shí)軸及虛軸上的點(diǎn)時(shí)，這時(shí)有

arctan（^/x）,

argz-\

arctan（y/x）±K,

因?yàn)閤（）wO,所以

[arctan（y/x）,[arctan（y/x）,

limargz=lim<=<

—*,））-（.%%）[arctan（y/x）±兀，[arctan（y0/%）±兀，

即

limargz=argz0.

ZTZ（）

故argz在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸及虛軸的復(fù)平面上連續(xù).

當(dāng)zo為正、負(fù)虛軸上的點(diǎn)zo=iyo（yo#0）時(shí)，有

「,兀

limargz=±—=argz0.

ZT飛2

即argz在虛軸上也連續(xù).

因此argz在復(fù)平面上除了原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外連續(xù).

設(shè)方為復(fù)平面上的有界閉區(qū)域，函數(shù)卜1段）在方上連續(xù)，則函數(shù)Xz）在方上有界，即

存在常數(shù)M使對(duì)于X/ZE），都有

在閉曲線(xiàn)或包含曲線(xiàn)端點(diǎn)在內(nèi)的曲線(xiàn)段上連續(xù)的函數(shù)Hz）在曲線(xiàn)上有界，即|/（z）|WM.

§2.2解析函數(shù)的概念

1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義2.4（導(dǎo)數(shù)的定義）設(shè)函數(shù)Fz）定義在z平面上區(qū)域。內(nèi)，點(diǎn)zo、zo+Azw。,

AwG=/（z0+Az）-/（z0）,若極限

lim竺lim/G+M7(z。)

4->oAZAZ

存在，則稱(chēng)函數(shù)4z）在zo可導(dǎo)，這個(gè)極限值稱(chēng)為y（z）在力的導(dǎo)數(shù)，記作

業(yè)|=lim/G+Az)-/(Zo)

(2.3)

dz°Az

定義2.4與一元實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式相同，但是（2.3）式中的比值/屹。+'二）二/（Z。）

Az

作為變量上的函數(shù)，當(dāng)z0+Az在區(qū)域。內(nèi)沿任何曲線(xiàn)以任何方式趨于zo（即Az-0）時(shí)，函

數(shù)都趨向于同一個(gè)常數(shù)/（zo）.由此可見(jiàn)，復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)比一元實(shí)函數(shù)可導(dǎo)要求更高.

若函數(shù)Xz）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)/z）在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).

例2.4求函數(shù)式2）=/（〃為正整數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

解：因?yàn)?/p>

也=Hm/⑶=Hm(z+Az1

dzif。Az垓―。Az

=lim(C'z'-'+C；Z,,-2AZ+…+CrzAz"-2+C；；Az,,-1)

Az->0

=C!,zn-'=nz"-',

所以

拄)=應(yīng)吐

這說(shuō)明z"(n為正整數(shù))在整個(gè)z平面上處處可導(dǎo).

例2.5考察函數(shù)4z)=」在整個(gè)z平面上的可導(dǎo)性.

z

解：顯然z=0沒(méi)有意義.當(dāng)才0時(shí)，因?yàn)?/p>

11

-

r/(Z+Az)-/(Z)..ZTAZ!r11

M—OAZM—OAZ^-?OZ~+(Az)zz

所以

r(z)=—4(zw).

z

即J_在整個(gè)z平面上除去原點(diǎn)外處處可導(dǎo).

Z

例2.6研究函數(shù)/(z)=2在整個(gè)Z平面上的可導(dǎo)性.

解：令z=x+iy,Az=Ax+zAy,因?yàn)?/p>

f(z+Az)-f(z)z+Az-zz+Az-z

lim----------=lim--------------=lim---------

Az->oAzAzfOAzAzfOAz

..AzAr-zAy

=lim—=lim--------,

ADAzA"oAr+z'Ay

讓z+Az沿著平行于x軸的直線(xiàn)趨于z,此時(shí)八丁二。，極限

Ax-zAyAx.

hm------—=hm——=1.

Ax+z'AyA'l。Ar

讓z+Az沿著平行于y軸的直線(xiàn)趨于z,此時(shí)孤=0,極限

..Ar-zAv..-zAy,

hm--------=hm——-=-l.

A=TOAr+iAyAVTO壯丫

所以乞在整個(gè)z平面上處處不可導(dǎo).

從例2.6可以看出，函數(shù)負(fù)z)=5=x-b在整個(gè)Z平面上處處連續(xù)但處處不可導(dǎo).這說(shuō)明函

數(shù)1z)在某點(diǎn)連續(xù)并不能保證在該點(diǎn)可導(dǎo).

但是反過(guò)來(lái)，函數(shù)/(z)在某點(diǎn)可導(dǎo)則一定在該點(diǎn)連續(xù).

事實(shí)上，若函數(shù)Xz)在點(diǎn)20可導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，用極限語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，即:對(duì)于V￡>0,

必定三5>0,使得當(dāng)0<|Az|<S時(shí)，有

—二△更一一%)<￡,

Az

令

=①)-------;---------J(z。),

Az

于是|a(Az)|<￡

則有

lima(Az)=0.

Az->0

又因?yàn)?/p>

/(Zo+Az)-/(Zo)=/'(Zo)Az+<z(Az)Az,(2.4)

所以

lim/(z0+Az)=/(z0).

Az->0

即式z)在zo連續(xù).

由于復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上和一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極

限運(yùn)算法則與實(shí)函數(shù)中一樣，所以微積分中幾乎所有的關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則都可以不加

更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái).現(xiàn)將幾個(gè)常用的求導(dǎo)公式與法則列舉如下：

(i)(cy=o其中c為復(fù)常數(shù)；

(2)(z7="z?其中〃為正整數(shù);

(3)伽)土g⑵)可⑵土g'⑵；

(4)々z)g(z))寸(z)g(z)切>)g'(z);

(6)(Ag(z)))7(w)g'⑵，其中w=g(z);

⑺若兩個(gè)單值函數(shù)呼比z)與z=6(w)互為反函數(shù)，且"(w)#0,則有

1

h\w)

2.解析函數(shù)的概念

定義2.6若函數(shù)y(z)在點(diǎn)zo及zo的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)人z)在點(diǎn)為解析.若函數(shù)

式z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)函數(shù),/(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，或稱(chēng)人z)是D內(nèi)的解析函數(shù).

若4z)在點(diǎn)外不解析，但在zo的任一鄰域內(nèi)總有人z)的解析點(diǎn)，則稱(chēng)zo為4z)的奇點(diǎn).

奇點(diǎn)總是與解析點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)于那些處處不解析的函數(shù)來(lái)說(shuō)，就沒(méi)有奇點(diǎn)的說(shuō)法.例如

/(z)=L在z平面上除去原點(diǎn)外處處解析，這里z=0顯然是奇點(diǎn)；而函數(shù)彳在整個(gè)z平面上

z

處處不解析，那么對(duì)于2,就沒(méi)有奇點(diǎn).也就是說(shuō)，不解析的點(diǎn)不一定是奇點(diǎn).

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析和在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的，但是函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)并

不等價(jià)，函數(shù)在一點(diǎn)解析不僅要求在該點(diǎn)可導(dǎo)，而且還要求在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)也可導(dǎo).

例2.7研究函數(shù)/(z)=zRe(z)的解析性.

解：設(shè)z=x+iy,zo=xo+iyo.當(dāng)z(#0時(shí)，則

「Aw..zRe(z)-zRe(z)

lim——=hm----------0------0-

ZTZ°AzZfz°Z-Zo

.zRe(z)-z0Re(z)+z0Re(z)-z0Re(z0)

()

ZT2Z-Z0

=limzRe(z)-z°Re(z)十5z0Re(z)-々斥?)

ZTZOZTZQ

Z-ZoZ-ZO

XX()

=limfx+z0\

ZTZ°[Z-zJ

令x=xo,yfyo,則

..Aw

lim---=x.

(x,y)-?(與,為)Az0

令產(chǎn)yo,x-\xo,則

「Awc

lim---=2x+zy.

(x,y)f(.“,％)Az00

顯然，當(dāng)z#0時(shí)，兩極限值不相等，這說(shuō)明./(z)=zRe⑵當(dāng)竊弟時(shí)不可導(dǎo).

當(dāng)4=0時(shí)，有.

△卬zRe(z)

lim——=lim-------=0.

2->0AzZfZo2

所以函數(shù)加)=zRe⑵僅在z=0處導(dǎo)數(shù)存在.根據(jù)定義，它在z平面上處處不解析.

例2.8研究分式線(xiàn)性函數(shù)

az+b

w=-----

cz+d

的解析性，式中a,b,c,d為復(fù)常數(shù)，且ad-bc^O.

解：由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，除了使得分母為零的點(diǎn)2=4/外，這個(gè)函數(shù)在復(fù)平面上處處可

導(dǎo).因此，除了點(diǎn)z=-d/c外，它在復(fù)平面上處處解析，且

a(cz+d)-c(az+〃)ad-be

9=7

(cz+d)(cz+d)~

根據(jù)求導(dǎo)法則，顯然有

定理2.6(1)在區(qū)域。內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)y(z)和g⑵，其和、差、積、商(要求分母不

為零)在區(qū)域。內(nèi)解析.

(2)設(shè)函數(shù)依g(z)在z平面上的區(qū)域。內(nèi)解析，函數(shù)在〃平面上的區(qū)域。*內(nèi)解

析.若對(duì)于。內(nèi)每一點(diǎn)z,g(z)的對(duì)應(yīng)值/?落在O*內(nèi)，則復(fù)合函數(shù)夕Xg⑵)在區(qū)域。內(nèi)解析.

§2.3函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件

如果根據(jù)定義來(lái)判斷函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)或在一區(qū)域內(nèi)解析，有時(shí)是很困難的.本節(jié)將介紹

判別函數(shù)可導(dǎo)與解析的簡(jiǎn)便方法.首先我們給出柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程的定義.

定義2.6對(duì)于二元實(shí)函數(shù)〃(x,y)和v(x,y),方程

dudvdudv

—=~~,一=---.(2.5)

dxdydydx

稱(chēng)為柯西?黎曼方程(簡(jiǎn)記為C-R方程).

定理2.7設(shè)函數(shù)12)=〃(?)+，心,)，)在區(qū)域。內(nèi)有定義，則危)在區(qū)域。內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy

可導(dǎo)的充要條件是

(1)二元實(shí)函數(shù)〃阮y)和u(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微；

(2)“(Xj))(xj)在點(diǎn)(x,y)滿(mǎn)足柯西-黎曼方程.

證明：先證必要性.設(shè)貝z)在區(qū)域。內(nèi)一點(diǎn)zr+iy可導(dǎo)，則由(2.4)式，有

Avv=/'(z)Az+a(Az)Az,(2.6)

其中cr(Az)f0(Az—>0).令

Avv=Aw+zAv,Az=Ax+iAy，r(z)=a+i/3.

則(2.6)式為

△〃+zAv=(a+i/?)(Ax+i\y)+a(Az)Az.

令￡]=Re(<z(Az)Az),6,2=Im(6Z(Az)Az),這里馬,？都是關(guān)于+的高階無(wú)窮小

量.對(duì)(2.7)式，由復(fù)數(shù)相等的定義有

Aw=a\x-/3\y+0,

Aw=+弓.

根據(jù)二元實(shí)函數(shù)微分的定義可知，〃(x,y)與u(x,y)在點(diǎn)阮y)可微，并且有\(zhòng)\

dudvdudv

a——=—nI)-----二—

dxdy，dydx

再證充分性.已知"(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，即有

.dudu

△u——AAxH---AAy+與,

dxdy

.dv.dv.

Av=—+—Ay+6*2，

dxdy

其中知?jiǎng)?wù)是關(guān)于向77y的高階無(wú)窮小量.又

Aw=(〃(％+&,y+Ay)-w(x,y))+z(v(x+Ar,y+Ay)-v(x,y))=△〃+zAv,

所以

(du34Al加A)

——Ax+——Ay+2——Ax+——Ay

AwAw+iAv(dxdyJ^dxdy'J

---=---------=------------------------------------F￡、

AzAr+zAyAr+iAy

這里￡=.9+畛，￡是無(wú)窮小量.因?yàn)?/p>

Ax+iAy

1

16*14/=+I=?

7Ax2+Ay2J"+.y2

由于〃(x,y)、Hr,y)滿(mǎn)足柯西-黎曼方程，故有

一△卬du,dv

lim---=---Fi—?(2.8)

AJO2dxdx

這就說(shuō)明了函數(shù),/(z)=〃(尤j)+iv(Xy)在點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo).

(2.8)式給出了計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)的公式，由柯西-黎曼方程，函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式有如下四種形式:

、du,dvdv.dvdu,dudv.dv

t(z)=-------Fi—=----1—=----1—=----1-1—.(2.9)

dxdxdydydxdydydx

由定義2.5及定理2.7,我們有

定理2.8函數(shù)7(z)="(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域。內(nèi)解析的充要條件是

(1)二元實(shí)函數(shù)"(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微；

(2)"(x,y),v(x,y)在D內(nèi)滿(mǎn)足柯西-黎曼方程.

定理2.7與定理2.8將判定函數(shù)_/(z)的可導(dǎo)性與解析性轉(zhuǎn)化為判定兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)〃(x,y)

與v(x,y)是否可微并且滿(mǎn)足柯西-黎曼方程.這兩個(gè)條件如果有一個(gè)不滿(mǎn)足，那么函數(shù),*z)在一

點(diǎn)處不可導(dǎo)或在一區(qū)域內(nèi)不解析.在具體應(yīng)用中，由于a(x,y)與v(x,y)是否可微這一條件不易

判斷，因此常常用"(x?)與v(x,y)的一階偏導(dǎo)是否存在且連續(xù)來(lái)代替.于是得到如下推論.

推論2.1若"(x,y)與v(x,y)的一階偏導(dǎo)在點(diǎn)(x,y)(或區(qū)域。內(nèi))存在而且連續(xù)，并滿(mǎn)足

柯西-黎曼方程，則y(z)在點(diǎn)(x,y)可導(dǎo)(在區(qū)域。內(nèi)解析).

例2.9討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.

(l)/(z)=Im⑵；

(2)/z)=|zFz.

解：(1)設(shè)z=x+iy,則加)=Im(z)=y.顯然u(x,y)=y,v(xj)=O都在復(fù)平面上可微.但是

du_du,dvOu八

—=0,—=1,—=M□,—=U.

dxdydxdy

因此，在復(fù)平面上〃(x,y),v(x,y)不滿(mǎn)足柯西-黎曼方程.所以,/(z)=Im(z)在復(fù)平面上處處不可

導(dǎo),處處不解析.

(2)設(shè)z=x+iy,則

因?yàn)?(x,y)=(/+y2)x,y(x,)，尸(N+y2),都在平面可微，且

du_2,2Su_Cdv2c2

—=3x+y,—=2AT,—=2xy,—=x+3y.

dxdydxdy

顯然，整個(gè)復(fù)平面上僅在(0。)點(diǎn)滿(mǎn)足柯西-黎曼方程，所以式z)=|zFz僅在點(diǎn)(0,0)處可導(dǎo)，處

處不解析.

例2.10試證函數(shù)式z^eYcosy+isiny)在z平面上解析，且一⑵可⑶.

證明：因?yàn)?(x,y)=eAcosy,心,y)=eSiny在平面上可微，而

dudu.dv.dv

—=excosy,—=-exsiny,—=exsmy,—=excosy.

dxdydxdy

〃(％)，)/(元,)，)在平面上每一點(diǎn)都滿(mǎn)足柯西一黎曼方程，所以4Z)在復(fù)平面上解析，由(2.9)式,

得

vA

/(z)=wA4-/vA-=ecosy4-zesiny=y(z).

例2.11證明柯西-黎曼方程的極坐標(biāo)形式(z平面取極坐標(biāo)，W平面取直角坐標(biāo))是

證明：設(shè)x="os6,y=rsin0,〃=〃(%,y)/=u(x,y).根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與直角坐標(biāo)下的

柯西-黎曼方程有

dududxdudy八3〃.八du

—=-----+-=cos0——+sinJ—,

drdxdrdydrdxdy

dududxdudy.ndundu

~80=-------1-------=-rsinc/hrcos”—,(2.11)

dx50dyd0----------dxdy

dvdvdxdvdy八3〃.八du

=-----+----=-cosu—+sin。一,(2.12)

drdxdrdydrdydx

dvdvdxdvdy.ndu八du

茄=--------1------=rsin”---1-rcosc/—.(2.13)

dxd0dyd0dydx

分別比較(2.10)和(2.13)式，(2.11)和(2.12)式,得

du_l_dv_dv_1du

dr~rdO'dr~rde'

§2.4初等函數(shù)

本節(jié)將介紹復(fù)變數(shù)的初等函數(shù)，這些函數(shù)是微積分中通常的初等函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的推

廣，它們既保持了原有的某些基本性質(zhì)，又有一些不同的特殊性質(zhì).下面我們來(lái)研究這些函

數(shù)，并說(shuō)明它們的解析性.

1.指數(shù)函數(shù)

定義2.7對(duì)于復(fù)變數(shù)z=x+iy,定義指數(shù)函數(shù)為：

e2==ex(cosy+isin_y).

ez又用記號(hào)exp(z)表示.

復(fù)指數(shù)函數(shù)e二具有如下性質(zhì)：

;vRe(2>2

(1)|e|=e=e>0,Arg(e)=y+2kn=Im(z)+2E；

(2)在復(fù)平面上e￥0;

(3)當(dāng)Im(z)=)=0時(shí),則ex=ev;

(4)當(dāng)Re(z)=x=0時(shí)，則e;=e,v=cosJH-?sin>,,此為歐拉公式；

(5)哲在z平面上處處解析，且?We。,由2.3節(jié)例題2.10可知；

(6)加法定理成立，即

片以=內(nèi),(2.14)

—=ef(2.15)

e22

下面證明(2.14)式，(2.15)式可以類(lèi)似證明.

證明：令zi=xi+iyi,Z2=X2+(y2.則

A,

e與e二2二e(cosy{+zsiny)e巧(cosy2+zsiny2)

=ex,+A'2(cos(y+必)+isin(y+%))

_e(xl+x2)+i(yl+y2)_

另外，由于eze-2=e°=l，所以。一二二」-.

e"

(7)e二是以2m?為基本周期的周期函數(shù).

因?yàn)閷?duì)于任給的正整數(shù)匕由性質(zhì)(6)有

e2+2fat/=e2?e2A兀'=ez(cos2kn+isin2kjt)=ez.

(8)極限limez不存在，即e°°無(wú)意義.

z-*oo

事實(shí)上，當(dāng)Z沿實(shí)軸趨于+8時(shí),ezf+8；當(dāng)Z沿實(shí)軸趨于一8時(shí)一，3—0.

需要注意的是:盡管在復(fù)平面上有e：=e12加(人為整數(shù))，但(e)=e*o,即不滿(mǎn)足羅爾定

理，所以微積分中的微分中值定理在復(fù)數(shù)域中不再成立.不過(guò)洛必達(dá)法則在復(fù)平面上仍適用.

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

定義2.8規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，即若

eJz-O)

則稱(chēng)函數(shù)w=z)為z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作vv=Lnz.

令忻〃+論則

eM+n—eMe,v=|z|e/Argz.

顯然，〃=ln|z|,v=Argz,從而

vv=M+zv=ln|z|+/ArgzALnz.

注意到Argz是多值函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)w=/(z)也是多值函數(shù).上式中Argz取主值

argz(-兀vargz。)時(shí)對(duì)應(yīng)的卬值稱(chēng)為L(zhǎng)nz的主值,并記作lnz=ln|z|+iargz.這樣對(duì)數(shù)函數(shù)可表示為:

w=\nz=\nz+2k7ti=\n\z\+iargz+2kni,2=0,±1,±2,….

上式中對(duì)于每一個(gè)確定的太對(duì)應(yīng)的w為一單值函數(shù)，稱(chēng)為L(zhǎng)nz的一個(gè)分支.

例2.12In3=ln3+2hii(60,±1,±2,…)；

ln(-l)=lnl+7rz=7uz;

ln(-1)=ln(-1)+2to,=7cr+2A7cz=(2fc+1)TTZ(fc=0,±1,±2,…).

此例說(shuō)明復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的推廣.在實(shí)數(shù)域中“負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)”，這個(gè)

結(jié)論在復(fù)數(shù)域中不成立，并且正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無(wú)窮多值的.

但復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)保持了實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的如下性質(zhì)：

ln(zjZ2)=lnzi+lnZ2,(2.16)

In—=Inz,-lnz0,(2.17)

\Z2)

其中ZI,z#0.這兩個(gè)式子可以這樣理解：對(duì)于等式左邊的多值函數(shù)的任一個(gè)值，等式右邊的

兩個(gè)多值函數(shù)一定各有一個(gè)適當(dāng)?shù)闹蹬c之對(duì)應(yīng)，使等式成立，反之亦然.也就是說(shuō)，等式兩

端可能取值的函數(shù)值的全體是相同的.

下面證明(2.16)式，(2.17)式可類(lèi)似得到證明.

In(Z|Z2)=In|Z|z?|+iarg(4z2)

=ln|z1|+ln|z1|+z(argzl+argz2)

=Inz,+/nz2.

應(yīng)當(dāng)注意的是，等式

Ln/-nLnz,InVz=—Inz

n

不再成立，其中〃22,為正整數(shù).

現(xiàn)以〃=2時(shí)為例進(jìn)行說(shuō)明.令z=代淚，不妨設(shè)-四＜e(乙.則

22

21nz=21nre"=21nr+i(26+5E),后=0,±1,±2,—-.(2.18)

Inz?=In/e'?"=21nr+i(26+2/〃兀)，機(jī)=0,±l,±2,….(2.19)

可見(jiàn)2Lnz與Lnz2的實(shí)部相等，但虛部的取值不完全相同.(2.18)式中兀的系數(shù)為

0,±4,±8,±12,,

而(2.19)式中兀的系數(shù)為0,±2,±4,±6,±8,±10,±12,…，

也就是說(shuō)2Lnz可能取值是Lnz?可能取值的一部分，所以等式Lnz"=〃Lnz不成立.

讀者可以通過(guò)類(lèi)似的方法說(shuō)明另一個(gè)等式不成立.

下面來(lái)討論對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性.

考慮對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz的主值分支lnz=ln|z|+iargz,其實(shí)部ln|z|在復(fù)平面上除去原點(diǎn)外

都是連續(xù)的，虛部argz在負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)不連續(xù)(本章2.1節(jié)例2.3).

因?yàn)榕",在區(qū)域一兀＜argz＜7t內(nèi)的反函數(shù)vv=lnz是單值的，所以由反函數(shù)的求導(dǎo)法

則，有

dInz_dvv_1_1_1_1

dzdzde've'vz

dwdw

因此，Inz在復(fù)平面上除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外處處解析.同理可知，Lnz的各個(gè)分支在復(fù)平

面上除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外也是處處解析的.

3.■函數(shù)

定義2.9函數(shù)“公小八:(存0,“為復(fù)常數(shù))稱(chēng)為z的一般暴函數(shù).

1

當(dāng)a為正整數(shù)n時(shí)jv=z";當(dāng)a為分?jǐn)?shù)一(〃正整數(shù))時(shí)，w=z"=Vz.z"與正即為通常

n

的基函數(shù).

對(duì)于事函數(shù)z",z"=e"S=e"Ln*而，=e〃L)顯然它是復(fù)平面內(nèi)的單值解析函數(shù).

而對(duì)于事函數(shù)=由于對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù)且各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的

復(fù)平面上是解析的，所以事函數(shù)次也是多值函數(shù),

r--(ln|z|+/argz+2*/r<蛆些也

Vz=e"=e""",&=0,1,2,…，〃-1

對(duì)每個(gè)確定