空間向量的應(yīng)用-高二數(shù)學(xué)教材學(xué)案（人教A版）

1.4空間向量的應(yīng)用

圜目標(biāo)導(dǎo)航

1.理解直線的方向向量與平面的法向量，會求一個平面的法向量.

2.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系.

3.熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系.

4.理解點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面距離的公式及其推導(dǎo).

5.了解利用空間向量求點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離的基本思想.

6.會用向量法求線線、線面、面面夾角.

7.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系.

堿蟒讀

贏點(diǎn)”空間中點(diǎn)的位置向量

如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量辦來表示.我們把向量分稱

為點(diǎn)P的.

【答案】基點(diǎn)位置向量

知識點(diǎn)二空間中直線的向量表示式

直線/的方向向量為a,且過點(diǎn)A如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)。，可以得到點(diǎn)P在直線/上的充要條件

是存在實(shí)數(shù)3使

Op=oA+ta,①

把曲=a代入①式得

oP=ok+tAb,②

①式和②式都稱為.

【答案】空間直線的向量表示式

知識點(diǎn)三空間中平面的向量表示式

1.平面ABC的向量表示式

空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,使源=.③

我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式.

2.平面的法向量

如圖，若直線，取直線/的方向向量。，我們稱a為平面a的；過點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定,

可以表不為集合{尸|0#>=0}.

【答案】皿7_La法向量

知識點(diǎn)四線線平行的向量表示

設(shè)的，"2分別是直線/1,72的方向向量，則

/1〃〃"2<=S%GR,使得.

【答案】H1=AW2

知識點(diǎn)五線面平行的向量表示

設(shè)w是直線I的方向向量，”是平面a的法向量，/Ca,貝1J

I//a^U-Ln^

【答案】un—O

知識點(diǎn)六面面平行的向量表示

設(shè)"1,故分別是平面a,4的法向量，則

a///3<^ni//?2<=^使得.

【答案】“尸癡2

知識點(diǎn)七線線垂直的向量表示

設(shè)?1，M2分別是直線/1,h的方向向量，則

/1_L/2Q1-L〃20

【答案】〃1〃2=0

知識點(diǎn)八線面垂直的向量表示

設(shè)〃是直線I的方向向量，〃是平面a的法向量，/0a,則/_Lauw〃/t<=E2￡R,使得.

【答案】u=Xn

知識點(diǎn)九面面垂直的向量表示

設(shè)〃1,故分別是平面a,夕的法向量，貝!J

【答案】〃「〃2=0

知識點(diǎn)十點(diǎn)尸到直線/的距離

已知直線/的單位方向向量為"，A是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，向量力在直線/上的投影向量為

地，設(shè)#=a,則磁=(a-w)u,則點(diǎn)P到直線/的距離為J(G)2—05)2(如圖).

知識點(diǎn)十一點(diǎn)尸到平面a的距離

設(shè)平面a的法向量為"，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到平面a的距離為(如圖).

【答案】嚕1

知識點(diǎn)十二兩個平面的夾角

平面a與平面夕的夾角：平面a與平面夕相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角

稱為平面a與平面/的.

【答案】90。夾角

知識點(diǎn)十三空間角的向量法解法

角的分類向量求法范圍

兩條異面直設(shè)兩異面直線Z1,h所成的角為仇其方向向量

(0,1

線所成的角分別為“，v,則cos8=|cos〈u,v)|=______

設(shè)直線A3與平面a所成的角為仇直線的

直線與平面一八兀一

方向向量為“，平面a的法向量為"，則sin6=0,2

所成的角

|cos(u,n)|=______

設(shè)平面a與平面夕的夾角為仇平面a,6的法

兩個平面的向量分別為胃1，〃2，則C0S<9=|C0S〈"I，血〉1C兀r

0,2

夾角

【答案】

|H||v||u||n||ni||n2|

跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，四棱柱ABC。-的底面A8CZ)是正方形，。為底面中心，A。，平面A3CO,

AB=A4J=JL平面。CB1的法向量專=(%%2)為()

A.(0,1,1)B.(1,-1,1)C.(1,0-1)D.(-1-1,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.

【詳解】???ABCD是正方形，且A3=應(yīng)，

AO=OC=1,

OA1-1,

.?.4(0,TO),30,0,0),C(O,1,O),A(0,0,1),

.-.AB=(1,1,0),反=(0,1,0),

又麗'=通=(1,1,0),

.?.4(1,1,1),西

???平面OCB]的法向量為。=(x,y,z),

fy=0

則｛八，得y=o,x=-z,

[%+y+z=0

結(jié)合選項，可得行=(1,0,-1),

故選：C.

2.已知平面a的法向量為萬=(3,-4,2),通=(-3,4,-2),則直線AB與平面a的位置關(guān)系為()

A.AB//aB.ABVaC.ABuaD.ABua或AB〃&

【答案】B

【分析】求出題=-心即為與而平行，從而求出ABLa

【詳解】因為麗=-為，即萬=3-4,2)與麗=(-3,4,-2)平行，

所以直線A3與平面a垂直.

故選：B

3.已知向量工=(1,2,1),1=分別為直線/方向向量和平面1的法向量，若則實(shí)數(shù)x的值為

()

A.—B.gC.1D.2

22

【答案】C

【分析】由題意得到"http://?，列出方程，求出實(shí)數(shù)％的值.

1Y1

【詳解】由題意得：elIn，所以5=]=j解得：x=l；故選：C

4.將正方形ABCD沿對角線折起，使得平面AB￡>_L平面C3D,則異面直線與所成角的余弦值

為()

A.|B.立C.--D.

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的夾角的余弦值來確定異面直線的夾角.

【詳解】取中點(diǎn)為。，連接AQCO,所以

又面ABZ)_L面C8O且交線為BE),AOu面

所以4。_1面。5。，OCu面C5D,則AOJ.CO.

設(shè)正方形的對角線長度為2,

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，A（O,O,1）,B（1,O,O）,C（O,1,O）,D（-1,O,O）,

ARCO__1_1

所以麗①=（一1,一1,0）,cos-A8,C￡)?二

網(wǎng)西及X夜-2"

所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為1.

故選:A

5.直線/的方向向量為己兩個平面。，夕的法向量分別為萬，m,則下列命題為假命題的是（）.

A.若方，則直線///平面。

B.若日〃為，則直線/_L平面。

1

C.若cos伍萬人不則直線/與平面a所成角的大小為工

26

D.若cos〈玩㈤=岑，則平面A所成銳角的大小為亳

【答案】A

【分析】根據(jù)空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的向量表示，即可判斷各命題的真假.

【詳解】對A,若商工元,則直線〃/平面a或直線/u平面a,A錯誤；

對B,若7〃萬，則直線平面B正確；

對C,設(shè)直線/與平面a所成角的大小為（Ove*＞貝Usin—cos低砌=；,所以6=小C正確；

對D,設(shè)平面a、夕所成銳角的大小為6,貝ijcose^cos〈玩㈤卜咚，所以，。=今,D正確.

故選：A.

6.在三棱錐尸一ABC中，PA,PB、PC兩兩垂直，J.PA=PB=PC,M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面

直線PN和所成角的余弦值為（）

A.立B.立C.亞D.漁

3636

【答案】B

【分析】以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，以向，而，定方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，求出直線PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.

【詳解】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以西，PB，無方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

令上4=2,則P(OQO),*0,2,0),M(1,0,0),N(l,l,0),

則麗=(1,1,0),麗=(1,一2,1),

|麗?加|

設(shè)異面直線PN和所成角為0,則cos。=

\PN\\BM\

故選：B.

7.已知正方體ABCD-A4GR的棱長為2,E,尸分別為上底面4耳C2和側(cè)面CDDC的中心，則點(diǎn)C到

平面A￡F的距離為()

25/11

A.巫B.巫7TT

114IT

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的的法向量，按照距離的向量求法求解即可.

如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,A4,所在直線為羽y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知

4(0,0,0),￡(1,1,2),F(l,2,1),C(2,2,0),

萬?A.E=%+y+2z—0

(無存工+2y+z1。'令，=T'解得口(3，TT)，

H-AC6-24\/TF

故點(diǎn)c到平面但的距離為

故選：A.

8.如圖，在長方體A2CZ)-4月G2中，M,N分別為棱GQ,CG的中點(diǎn)，下列判斷中正確的個數(shù)為()

①直線甲

②AD_L平面CD2G；

③3N〃平面ADM.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算結(jié)合數(shù)量積的含義即可判斷①③，根

據(jù)長方體的性質(zhì)可判斷②.

【詳解】設(shè)長方體棱長為AB=2a,40=26,44,=2c,(。>0,6>0,c>0),

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDt分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B[(2b,2a,2c),M(0,a,2c),B(2b,2a,0),N(0,2a,c)

故麗=(—2〃,—々,0),麗=(—240,c),B^M-BN=(-26,-a,0)?(-2Z?,0,1)=4Z?20,

故直線用5N不成立，①不正確；

在長方體ABC。-A4G，中，24。_1_平面?！闌￡,②正確，

因為由=(—2b,a,2c),DA=(2b,0,0),

設(shè)平面ADM的法向重為〃=3y,z),貝叫一r，

n-DA=2bx=0

令y=c,貝ijz=-^,貝IJ〃=(0,G—"I),

_.--?-n℃

而BN=(-26,0,c),故BN-n=(-26,0,c)?(0,c,-])=一彳二0,

故3N〃平面ADM.不成立，故③錯誤，

故選：B

二、多選題

9.已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),則正確的有()

A.而與XT是共線向量

B.平面ABC的一個法向量是(1,-1,3)

C.而與肥夾角的余弦值是-3

6

D.與通方向相同的單位向量是(1,1,0)

【答案】BC

【分析】A選項直接寫出通與衣，按照共線向量即可判斷；B選項直接計算法向量即可.

C選項通過夾角公式計算即可；D選項由單位向量的求法進(jìn)行判斷；

【詳解】對A,通=(1,1,0),AC=(-1,2,1),因為顯然而與衣不共線，A錯誤；對B,設(shè)平面

—12

ABC的法向量1(x,y,z),貝lj—一'一，令x=l,得3=(1，-1,3),B正確對C,或=(一2,1,1),

AC-n=-x+2y+z=0

/_AB-BC1x（—2）+1x1y/3__、

cos（AB,BC）=|-^||^|==~~67C正確；對D，通方向相同的單位向量

[/一，-「—,]~~]，即，D錯誤；故選：BC

W1+1+0Vl+l+OV1+1+0）（22）

10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）

A.兩條不重合直線4，4的方向向量分別是m=（2,3,-1）,&=（-2,-3,1）,則“〃2

B.兩個不同的平面。，夕的法向量分別是方=（2,2,-1）,戶=（—3,4,2）,則a，。

C.直線/的方向向量&=。,-1,2）,平面a的法向量是沅=（6,4,-1）,貝iJUe

D.直線/的方向向量日=（0,3,0）,平面a的法向量是力=（€）,-5,0）,則〃/a

【答案】AB

【分析】利用方向向量、法向量之間的共線關(guān)系或垂直關(guān)系，判斷線線、線面的位置關(guān)系即可.

【詳解】解：A項，因為M=（2,3,—l）,&=（-2,-3,1）,即工/，且直線乙，4不重合，所以故A項

正確；B項，因為方=（2,2,—1）,v=（—3,4,2）,即““=2x（—3）+2x4+（—l）x2=0,所以“_Lv，所以

故B項正確；C項，因為&=（1,—1,2）,M=（6,4,—1）,BPa-u=lx6+（—1）x4+2x（—1）=0,所以a_l_a，所以

—3—

〃/a或/ua,故C項錯誤；D項，因為7=（0,3,0）,?=（0,-5,0）,即a=-1a,所以￡//「，所以/J_e,

故D項錯誤.故選：AB.

11.如圖，棱長為1的正方體中，P為線段AB上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），下列結(jié)論中正確的

是（）

A.三棱錐的體積為定值

B.平面2。尸與平面GC尸所成銳二面角為凡則cosde]；,#）

c.直線2尸與AC所成的角可能是?

D.平面APR截正方體所得的截面可能是直角三角形

【答案】AC

【分析】對于A選項，利用等體積法求解即可判斷；對于B選項，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角的余

弦值公式及正方體的對稱性求解；對于C選項，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量線線角余弦公式求解;

對于D選項，分別討論所成的截面圖形即可判斷.

【詳解】對于A選項，三棱雉乙-8尸的體積/一.=%一5=?%小"（=99卜1X1=I，是定值,

O

故A選項正確;

對于B選項，如圖1,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A（1,O,O）,B（1,1,O），A（1,O,1）,D（0,0,0）,^（0,0,1）,C（0,1,0）,當(dāng)尸為人了的中點(diǎn)時,

z=0

C—G>=（0,0,l）,C—P>=ll,-l設(shè)平面GCP的法向量為n-CQ=0

n=(x,y,z)，則<11八，所

n-CP=Qx——y+—z=0

22

1

x=—

2—

以y=l,九二I,同理可得平面RDP的法向量根=-加,

z=0

,cos6=，^,同理當(dāng)尸為3重合時，cos。

22

由對稱性知cos。e,故B選項錯誤;

對于c選項,

—>—>—>—>

AC=(-1,1,0),Z)^=+2=(1,0,0)+2(0,1,-1)=(1,2,-2),2e(0,1))

1-2/(1-<

所以cos(AC,D^P。-4)’

6?也萬+/4萬+2令“#=Ae(O,l)-

422+2

8矛-42-44(22+1)(2-1)

0,2e(0,1),

(422+2)2(422+2)2

所以“刈二七月,2《0,1）在區(qū)間（。，1）上單調(diào)遞減，

由于〃0）=彳，/⑴=。，

所以#<cos（Ab,6<0,即直線，尸與AC所成的角。滿足0<cos0<F，

又因為0e0段,故可卞曰，故直線"與AC所成的角可能是3，故C選項正確;

對于D選項，設(shè)48的中點(diǎn)為。，當(dāng)p點(diǎn)在線段。3（不包含端點(diǎn)）上時，此時平面4尸2截正方體所得的

截面為AEFR梯形，如圖2；當(dāng)P點(diǎn)在。點(diǎn)時，此時平面AP2截正方體所得的截面正三角形當(dāng)P點(diǎn)

在線段。4（不包含端點(diǎn)）上時，此時平面AP2截正方體所得的截面為等腰三角形A^G,該三角形不可

能為直角三角形，故D選項錯誤；

故選：AC.

12.如圖，在多面體ABCDES中，SA_L平面ABC。，四邊形A3CD是正方形，豆DEIISA,SA=AB=2DE,

分別是線段3C,S3的中點(diǎn)，Q是線段0c上的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)，C）,則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)。，使得NQLS3

B.存在點(diǎn)Q,使得異面直線NQ與9所成的角為60。

C.三棱錐Q-AAW體積的最大值是:

D.當(dāng)點(diǎn)。自。向C處運(yùn)動時，二面角N-MQ-A的平面角先變小后變大

【答案】AD

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。（私2,0）（0<m<2）,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和異

面直線所成角的向量求法可確定加是否有解，從而知AB正誤；利用體積橋可知%-AMN=^N-AMQ，設(shè)

DQ=m（O<m<2）,可求得的最大值，由此可求得體積的最大值，知C錯誤；利用向量法求二面角余

弦關(guān)于參數(shù)機(jī)的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷二面角的變化情況，判斷D.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，通，而，通正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DE=1,則&4=AB=2；

.■.A（0,0,0）,3（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,￡（0,2,1）,5（0,0,2）,N（l,0』）,M（2,l,0）；

對于A,假設(shè)存在點(diǎn)。（北2,O）（OWm<2）,使得NQLS3,

則迎=（加一又豆=（2,0,-2）,

:.NQ-SB=2（m-l）+2=0,解得：m=Q,

即點(diǎn)。與。重合時，NQLSB,A正確；

對于B,假設(shè)存在點(diǎn)。（m,2,0）（04/42）,使得異面直線NQ與弘所成的角為60。，

?.?麗=（租-1,2,-1）,S4=（0,0,-2）,

I——II而?網(wǎng)11

卜同網(wǎng)=新于J、方程無解；

不存在點(diǎn)。，使得異面直線NQ與弘所成的角為60。，B錯誤；

對于C,連接A。,AMAN；

設(shè)DQ=m(0<m<i),

??q_q_q_q_q=,___

?0AAMQ~°aABCDa^ABM^QCM^ADQ~?9

當(dāng)m=0,即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時，S.AM2取得最大值2；

又點(diǎn)N到平面AMQ的距離d=gSA=1,

(丫…L=(V…L=產(chǎn)x1="C錯誤；

對于D,由上分析知：NQ=(m-l,2,-l),7VM=(1,1,-1),

若機(jī)=(無,y,z)是面NMQ的法向量，則一上'，

m-NM=x+y—z=0

令x=1,則m=(1,2—m,3—機(jī)),

而面AMQ的法向量7=(0,0,1),

-fm-n3—m

所以COS<根,〃>=一一?=/=令，=3-m￡口,3],

\m\\n\Jl+(2-m)2+(3一㈤2

1

cos<m,n>=而IE?/]，

則+產(chǎn)"j(l一》23

+-t3

4

由。從。到C的過程，m由小變大，則，由大變小,叫由小變大,

所以COS<加先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角,

故二面角先變小后變大，D正確.故選：AD.

三、填空題

13.已知7=(1,-1,1)是平面。的一個法向量，點(diǎn)A(LLO)在平面。內(nèi)，則點(diǎn)尸(2,2,2)到平面。的距離為

【答案】|V3

【分析】利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離即可.

【詳解】由題可得而=（1,1,2）,又〃=（1,-1,1）是平面。的一個法向量,

AP-n\』-活

二則點(diǎn)尸到平面a的距離為悶cos（正研=1+2|2

同―J1+1+1-3

故答案為：—.

14.如圖，在正三棱柱ABC-A片G中，AB=AA1=2.E,尸分別是BC、AC的中點(diǎn).設(shè)。是線段耳G上的

（包括兩個端點(diǎn)）動點(diǎn)，當(dāng)直線與E產(chǎn)所成角的余弦值為色，則線段3。的長為.

.................4

【答案】2也

【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D（OJ,2）（-1VY1）,利用空間向量法計算異面直線所成角的

余弦值，即可得到方程，解得乙從而得解.

【詳解】解：如圖以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：

（/?1、

則￡（0,0,0）,歹^-,-,2,8（0,-1,0）,設(shè)。（0,/,2）（-1<區(qū)1）,

則而=--,^,2,BD=(0,/+1,2),設(shè)直線8。與斯所成角為。

(22)

t+1.

——+4

所以cos0EFBD2即23?+14r-37=0,

\EF\\BD\石,J(，+1)2+44

解得"1或f=g（舍去），所以畫卜府+2?+22=2夜,

故答案為：2?.

15.正四棱柱ABC。-A用G2中，M=4,AB=B點(diǎn)N為側(cè)面BCC4上一動點(diǎn)（不含邊界），且滿足

D.N±CN.記直線D、N與平面BCC/i所成的角為0,則tan0的取值范圍為.

【答案】性卻性+8

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)“卜，囪,/）,由RNLCN,得到f=_22+4Z，根據(jù)0<X<6,得

到0<z<l或3<z<4,然后利用線面角的向量求法求解.

【詳解】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則4（0,0,4）,C（0,60）,設(shè)“卜,73,z）,

所以麗=卜，囪,Z-4),而=(x,0,Z),

因為AN_LCN,

所以瓦K麗=f+22_4z=0,

則了2——z'2+4z，因為0<x<百，則0<—/2+4N<3,

解得0<z<l或3<z<4,

易知平面3。。內(nèi)的一個法向量為3=(0」,0),

回,4J3

所以sin。=尸二?~=/=

"斗卜|次+(2一4『+3V—4z+19

n?八2J—z+4^3

貝!Jcos0=]=,tan0=-/,

。一4z+192y1-z+4

、

所以tan0可，+8,

2)

故答案為:立,+00.

14'12u（e2

16.如圖，棱長為1的正方體A3C。-44GR中，P為線段A3上的動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列所有正確結(jié)

論的序號是.

①直線RP與AC所成的角可能是2;②平面D^P1平面AAP；

6

③三棱錐R-CAP的體積為定值；④平面&尸2截正方體所得的截面可能是等腰梯形.

【答案】②③④

【分析】對于①，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為y軸，。。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

求出直線D.P與AC所成的角為I?,]]

對于②，由AiDiLAB,得A/D△平面A/AP,從而平面54尸1平面A/AP；

對于③，三棱錐Di-CDP的體積5.皿>=K.c皿=:為定值；

對于④，當(dāng)AP延長線交的中點(diǎn)時，可以得到等腰梯形的截面.

【詳解】對于①，以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

（0,0,1）,A（l,0,0）,C（0,1,0）,設(shè)P（l,a,b）（0<a<l,0<b<l）

當(dāng)q=l時，（方=]

當(dāng)a=0,〃=1時,

a-\1近

,.,0<?<l,0<Z?<1,.,.—--------〉---------------

/+/+色-1丫Xe02

71

—<

2

717T

直線。/尸與AC所成的角為

故①錯誤;

對于②，正方體ABCO-A/B/GQ中，AiDiLAAi,AiDiLAB,

'：AAi^\AB=A,二4。/_1平面A/AP,

,.N/D/u平面64尸，.?.平面QA/尸，平面A/AP,故②正確；

對于③，；S.CDR=|xlxl=1,P到平面CDDi的距離BC=1,

三棱錐Di-CDP的體積：

=%:/?,=〈x；xl=：為定值，故③正確；

326

對于④，當(dāng)AP延長線交88/的中點(diǎn)E時，設(shè)平面4尸2與直線B/G交于點(diǎn)￡

因為平面ADD也〃平面5。。向，平面APD]A平面ADD小尸AD/,平面AP2A平面區(qū)CG3尸ER所以

口〃的）/,.才為3/。的中點(diǎn)，，截面4）/號為等腰梯形的截面，故④正確;

故答案為：②③④

四、解答題

17.如圖，正方形AD￡F與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB〃CD,ADA.CD,AB=AD=^CD.

⑴求證：3尸〃平面CDE.

⑵求平面BDF與平面CDE夾角的余弦值

（3）線段EC上是否存在點(diǎn)使平面平面雙加？若存在，求出工的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析;

⑵半;

EM￡

⑶存在,

EC2

【分析】（1）根據(jù)線面平行、面面平行的判定定理，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式進(jìn)行求解即可;

（3）根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因為AB//CD，平面CDE,CDu平面CDE,

所以AB//平面CDE,同理，AF〃平面CDE,

XABC|AF=A,所以平面AB尸〃平面CDE,

因為3尸u平面AB尸，

所以BF〃平面CDE；

（2）因為平面ADEF_L平面ABCD,

平面平面ABCD=AZ）,CD±AD,

CDu平面A3CD,所以CD_L平面ADEF,

又DKu平面ADEF,故CD_LED.

而四邊形⑷DEF時正方形，所以ADLZJE又CD_LAD,

以。為原點(diǎn)，DA,DC,DE所在直線分別為無軸，》軸，z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系。一盯z.設(shè)">=1,則0（0,0,0）,5（1,1,0）,F（1,0,1）,

C（0,2,0）,E（0,0,l）,取平面CDE的一個法向量次=（1,0,0）,設(shè)

n―■一,即x+y=0

n?DF-0x+z=0

令x=l,則y=z=-l,所以；=（1,-1,一1）.設(shè)平面2D尸與平面CDE

所成銳二面角的大小為9,則cos。=|cos（Mn）|=-^=^.

所以平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值是也.

3

⑶若M與C重合，則平面BDM（C）的一個法向量"=（0,0,1）,

由（2）知平面瓦加的一個法向量：=（1,T,T），則而工=一1/0,

則此時平面BDF與平面BDM不垂直.若“與C不重合，

如圖設(shè)整=2（?！?lt;1），則M（0,241T）,

EC

m?DB=0

設(shè)平面的一個法向量根=5，%/（））,則,

m?DM=0

x0+y0=022

即2丁(3)z。4令…則…，

9;

所以羽=（1,-1,——若平面BDM，平面BDF等價于m-n=O,

1—/L

即1+1-士=0,

1-2

所以2=所以，線段EC上存在點(diǎn)〃使平面由小，平面且黑=g

18.如圖，直三棱柱ABC-A3]G中，ABC是邊長為2的正三角形，。為AB的中點(diǎn).

（1）證明：CO,平面ABBiA；

（2）若直線8c與平面AB4A所成的角的正切值為半，求平面ABG與平面ABG夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）連接。片，由（1）知CO,平面耳4,又直線與C與平面A8用A所成的角的正切值為反，可得

5

2月=2,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用二面角的坐標(biāo)公式計算大小可得

答案.

【詳解】（1）?.?ABC是正三角形，。為的中點(diǎn),

:.CO±AB.

又?.?ABC-A耳G是直三棱柱,

A4,_L平面ABC,

A^ICO.

又ABcA4,=A,

.,.CO_L平面ABBlAl.

(2)連接。用，由(1)知CO,平面48瓦4,

直線B（與平面ABB^所成的角為/CB0,

J15

.?向/。耳0二天-

,.?△ABC是邊長為2的正三角形，貝iJCO=VL

OB]=y/5.

在直角中，<9B=1,OB、=#>,

BBX=2.

建立如圖所示坐標(biāo)系，則3（1,0,0）,A（T,0,0）,4H2,0）,40,2,0）,G（0,2,g）.

比上=0,即

二嗣=(-2,2,0),BQ=2網(wǎng),設(shè)平面ABG的法向量為扇=（無,y,z）,則

m-BCx=0

-2x+2y=0、

-%+2y+^z-0,解得平面43a的法向量為加=（石，石,-1八

fi-AB=02.x=0

。=（2,0,0）,苑'=（1,2,3）,設(shè)平面ABG的法向量為E=（x,y,z）,則一，即元+2y+3z=0'解

n-ACj=0

得平面ABC,的法向量為1（0,-62）.

設(shè)平面ABG與平面ABG夾角為凡則

m-n

5

cos?=

mn7

平面ABQ與平面ABG夾角的余弦值為1.

19.如圖，在四棱錐尸—ABCZ)中，PA±^ABCD,AB±AD,BC//AD,PA=AB=BC=^AD,￡、P分別

為棱PO、PC的中點(diǎn)

（1）作出平面ACE與平面BPE的交線，并說明理由.

（2）求一面角C-尸的余弦值.

?

【答案】（1）答案見解析；（2）（

【分析】（1）根據(jù)證明平行四邊形可得平行線，進(jìn)而可得四點(diǎn)共面，進(jìn)而根據(jù)交點(diǎn)可找交線.

（2）根據(jù)空間坐標(biāo)法，利用法向量的夾角求二面角大小.

【詳解】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)G,連接BG交AC于

連接E3,則平面ACEC平面BFE=￡H

以下為證明過程

AB±AD,BC//AD,AB=BC=-AD,則四邊形ABCG為正方

2

形，四邊形BCDG為平行四邊形，.?.3G=CJD=23H,又CD=2EF,故BHI/EF,BH=EF

為平行四邊形，，班

則，3、尺aH四點(diǎn)共面，平面詆，

又He平面ACEH為平面ACE與平面BEF的公共點(diǎn)，又:.E為平面ACE與平面BEF的公共點(diǎn)

.?.平面ACE口平面毋E

(2)因為PAJ_底面ABCD,AB,ADu平面ABC￡>,所以E4_LAB,

R4_LAO.由題意可知，AB,AD,AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系。-孫z,不妨令上4=2,則4(0,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),

所以恁=(2,2,0),旗=(0,2,1),

設(shè)平面ACE的一個法向量為蔡=(尤,y,z).

AC-m=02x+2y=0,

由“__得z不妨令無=1得玩=(1,—1,2).

AE-m=02y+z=0.

故平面ACE的一個法向量方=(1,-1,2)