新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第2章　§2.12　函數(shù)模型的應(yīng)用（原卷版）

§2.12函數(shù)模型的應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．知識梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值的變化而各有不同2．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)某商品進(jìn)價為每件100元，按進(jìn)價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若九折出售，則每件還能獲利．()(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．()(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．()教材改編題1．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是()A．y＝5x B．y＝log5xC．y＝x5 D．y＝5x2．在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00則對x，y最適合的函數(shù)模型是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x3．某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當(dāng)日售價x(單位：元)之間的關(guān)系為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當(dāng)日售價為________元．題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1(1)(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說法中，正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒(2)根據(jù)一組試驗數(shù)據(jù)畫出的散點圖如圖所示．現(xiàn)有如下5個函數(shù)模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1.84.請從中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________．(填序號)思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．跟蹤訓(xùn)練1如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當(dāng)P沿A－B－C－M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是下圖中的()題型二已知函數(shù)模型的實際問題例2(1)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈1.259)()A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6(2)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關(guān)系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數(shù)．如果2h后還剩下90%的污染物，5h后還剩下30%的污染物，那么8h后還剩下________%的污染物．思維升華已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù)．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0，1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱為接種率))，那么1個感染者傳染人數(shù)為eq\f(R0,N)(N－V)．已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率不可能為()A．45%B．55%C．65%D．75%(2)牛頓曾經(jīng)提出了在常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時間，單位：分鐘，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水溫度θ1＝100℃，環(huán)境溫度θ0＝20℃，常數(shù)k＝0.2，大約經(jīng)過________分鐘水溫降為40℃(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7)()A．10B．9C．8D．7題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題例3智能輔助駕駛已開始得到初步應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與障礙物之間的距離，并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間，當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間t0與人的反應(yīng)時間t1，系統(tǒng)反應(yīng)時間t2，制動時間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當(dāng)車速為v(米/秒)，且0<v≤33.3時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表給出的數(shù)據(jù)(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且1≤k≤2)．階段準(zhǔn)備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動時間t0t1＝0.8秒t2＝0.2秒t3距離d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)k＝2時，當(dāng)汽車達(dá)到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；(2)若要求汽車在k＝1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下(單位：米/秒)?思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．跟蹤訓(xùn)練3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7(2)網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式．根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足函數(shù)關(guān)系式x＝3－eq\f(2,t＋1).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件的進(jìn)貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進(jìn)貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是________萬元．課時精練1．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．y＝2x＋1－1 B．y＝x3C．y＝2log2x D．y＝x2－12．某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準(zhǔn)進(jìn)校園，某學(xué)生早上上學(xué)騎自行車從家里出發(fā)，離開家不久，發(fā)現(xiàn)出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的速度趕往學(xué)校，令x(單位：分鐘)表示離開家的時間，y(單位：千米)表示離開家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是()3．農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布2022年農(nóng)區(qū)蝗蟲防控技術(shù)方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應(yīng)急預(yù)案演練，專家假設(shè)蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達(dá)到最初的1200倍大約經(jīng)過(參考數(shù)據(jù)：ln1.06≈0.0583，ln1200≈7.0901)()A．122天B．124天C．130天D．136天4．“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強m與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)m0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m0約為10－12，單位：\f(W,m2)))之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作L(貝爾)，即L＝lg

eq\f(m,m0)，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x，現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當(dāng)于100個B同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為()A．0.7米B．7米C．50米D．60米5．大氣壓強p＝eq\f(壓力,受力面積)，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大氣壓強p(Pa)隨海拔高度h(m)的變化規(guī)律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大氣壓強．已知在某高山A1，A2兩處測得的大氣壓強分別為p1，p2，eq\f(p1,p2)＝eq\f(1,3)，那么A1，A2兩處的海拔高度的差約為()(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099)A．660m B．2340mC．6600m D．8722m6．(多選)目前部分城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某城市從2018年到2021年產(chǎn)生的包裝垃圾量如下表：年份x2018201920202021包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)46913.5有下列函數(shù)模型：①y＝a·bx－2018；②y＝sin

eq\f(πx－2018,2018)＋b.(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)則以下說法正確的是()A．選擇模型①，函數(shù)模型解析式為y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2018，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關(guān)系B．選擇模型②，函數(shù)模型解析式為y＝sin

eq\f(πx－2018,2018)＋4，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關(guān)系C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2023年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過7．“百日沖刺”是各個學(xué)校針對高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度地激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lgt＋1)，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為________．(保留到個位)(lg61≈1.79)8．里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．9．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時，v是x的一次函數(shù)，當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．(1)當(dāng)0<x≤20時，求v關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值．10．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為k)，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(單位：月)的關(guān)系有兩個函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝SKIPIF1<0＋k(p>0，k>0)可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；lg3≈0.4771)11．生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為P＝SKIPIF1<0(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的75%，則可推斷該文物屬于()參考數(shù)據(jù)：log20.75≈－0.4參考時間軸：A．宋B．唐C．漢