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文檔簡介
2024-2025學(xué)年福建省連城縣一中高三高考數(shù)學(xué)試題系列模擬卷(9)考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為82.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是,則的最小值為A. B. C. D.3.已知定義在上的函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù),不等式對(duì)于恒成立,則的取值范圍是A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i5.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.6.一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.7.已知當(dāng),,時(shí),,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定8.已知為圓:上任意一點(diǎn),,若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C.() D.()9.已知,滿足,且的最大值是最小值的4倍,則的值是()A.4 B. C. D.10.已知函數(shù)在上都存在導(dǎo)函數(shù),對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有,當(dāng)時(shí),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知集合,集合,則A. B.或C. D.12.木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件,則該木件的體積()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在三棱錐P-ABC中,,,,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.14.實(shí)數(shù),滿足,如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則的最小值為_______.15.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)若求證:.18.(12分)如圖1,四邊形是邊長為2的菱形,,為的中點(diǎn),以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.(1)證明:平面平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn)且,,,.求證:平面平面以;求二面角的大小.20.(12分)如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,底面,且,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線與直線所成的角最小時(shí),求三棱錐的體積.21.(12分)已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點(diǎn).證明:;設(shè),點(diǎn)M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.2.C【解析】
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是,所以,即,所以,又,所以的最小值為.故選C.3.A【解析】
根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù),由此可將不等式化為;利用分離變量法可得,求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù),即對(duì)于恒成立在上恒成立,即的取值范圍為:本題正確選項(xiàng):本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題,涉及到恒成立問題的求解;解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系,從而利用分離變量法來處理恒成立問題.4.B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.6.D【解析】
設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時(shí),根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.8.B【解析】
如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.9.D【解析】試題分析:先畫出可行域如圖:由,得,由,得,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,最大值為3;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,最小值為3a;由條件得,所以,故選D.考點(diǎn):線性規(guī)劃.10.B【解析】
先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】令,則當(dāng)時(shí),,又,所以為偶函數(shù),從而等價(jià)于,因此選B.本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性求解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.11.C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.12.C【解析】
由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來的錐體,圓錐底面半徑為,圓錐的高,截去的底面劣弧的圓心角為,底面剩余部分的面積為,利用錐體的體積公式即可求得.【詳解】由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為,圓錐的高,圓錐母線,截去的底面弧的圓心角為120°,底面剩余部分的面積為,故幾何體的體積為:.故選C.本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題,考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,難度一般.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先確定頂點(diǎn)在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高,利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑.三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,,,的高,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,∴,內(nèi)切球表面積.故答案為:.本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題,考查學(xué)生空間想象能力,本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑,是一道中檔題.14.【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為,確定出的值,進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義,從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi),由得可知,直線的截距最大時(shí),取得最小值,此時(shí)直線為,作出直線,交于A點(diǎn),由圖象可知,目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值,所以直線也過A點(diǎn),由,得,代入,得,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí),取得最小值,最小值為,故答案為:.該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題,在解題的過程中,注意正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,根據(jù)最值求出參數(shù),結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解,屬于中檔題目.15.【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.16.【解析】
由在上恒成立可求解.【詳解】,令,∵,∴,又,,從而,令,問題等價(jià)于在時(shí)恒成立,∴,解得.故答案為:.本題考查函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化為恒成立,利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)易求解.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得的最大值,進(jìn)而求得的值.(2)利用(1)的結(jié)論,將轉(zhuǎn)化為,求得的取值范圍,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,證得,由此證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),取得最大值.(2)證明:由(1)得,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,令,則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),.本小題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法,考查利用基本不等式進(jìn)行證明,屬于中檔題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由題意可證得,,所以平面,則平面平面可證;(2)解法一:利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離;解法二:由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,過點(diǎn)作的垂線,垂足,證明平面,計(jì)算出即可.【詳解】解法一:(1)依題意知,因?yàn)?,所?又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等邊三角形,且為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?,所?又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱錐的體積.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離,則三棱錐的體積,得.解法二:(1)同解法一;(2)因?yàn)椋矫?,平面,所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過點(diǎn)作的垂線,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即為點(diǎn)到平面的距離.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離,考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解:①等體積法;②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段,進(jìn)行計(jì)算即可.19.證明見解析;.【解析】
推導(dǎo)出,,從而平面,由此證明平面平面以;以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解:,,為的中點(diǎn),四邊形為平行四邊形,.,,即.又平面平面,且平面平面,平面.平面,平面平面.,為的中點(diǎn),.平面平面,且平面平面,平面.如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個(gè)法向量為,,,,,設(shè),則,,,,,在平面中,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,平面的一個(gè)法向量為,,由圖知二面角為銳角,所以所求二面角大小為.本題考查面面垂直的證明,考查二面角的大小的求法,考查了空間向量的應(yīng)用,屬于中檔題.20.(1)見解析;(2).【解析】
(1)要證明,只需證明平面即可;(2)以C為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求,并求其最大值從而確定出使問題得到解決.【詳解】(1)連結(jié)AC、AE,由已知,四邊形ABCE為正方形,則①,因?yàn)榈酌?,則②,由①②知平面,所以.(2)以C為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,所以,,,設(shè),,則,所以,設(shè),則,所以當(dāng),即時(shí),取最大值,從而取最小值,即直線與直線所成的角最小,此時(shí),則,因?yàn)?,,則平面,從而M到平面的距離,所以.本題考查線面垂直證線線垂直、異面直線直線所成角計(jì)算、換元法求函數(shù)最值以及等體積法求三棱錐的體積,考查的內(nèi)容較多,計(jì)算量較大,解決此類問題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.21.(1);(2).【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可得在點(diǎn)處的切線方程;(2)令,然后利用導(dǎo)數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】(1),,∴,又,∴切線方程為,即.(2)令,,①若,則在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立.②若,令,∴,易知與在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,,當(dāng)即時(shí),在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,當(dāng)即時(shí),使,∴在遞增,此時(shí),∴,∴在遞增,∴,不合題意.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及構(gòu)造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時(shí)求參數(shù)的取值范圍問題,第二問的難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)后二次求導(dǎo)問題,對(duì)分類討論思想及化歸與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想要求較高,難度較大,屬拔高題.22.(1)見解析;(2)【解析】
(1)由平面平面的
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