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2025屆廣東省深圳市樂而思中心高三學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.已知,則()A. B. C. D.23.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.4.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過點(diǎn),,的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個(gè)月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元6.已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.568.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,則的最小值為()A. B. C. D.9.若函數(shù)(其中,圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,,其相鄰一條對(duì)稱軸方程為,該對(duì)稱軸處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,為了得到的圖象,則只要將的圖象()A.向右平移個(gè)單位長度 B.向左平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度10.函數(shù),,的部分圖象如圖所示,則函數(shù)表達(dá)式為()A. B.C. D.11.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“北斗三號(hào)”衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為R,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號(hào)”衛(wèi)星運(yùn)行軌道的離心率為__________.14.已知,滿足約束條件,則的最大值為________.15.已知,滿足約束條件,則的最小值為______.16.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列的公差,且,,成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知,且.(1)請(qǐng)給出的一組值,使得成立;(2)證明不等式恒成立.19.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,已知,.(1)求;(2)若的面積,求.20.(12分)已知凸邊形的面積為1,邊長,,其內(nèi)部一點(diǎn)到邊的距離分別為.求證:.21.(12分)已知矩陣的一個(gè)特征值為4,求矩陣A的逆矩陣.22.(10分)已知函數(shù),函數(shù).(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)若時(shí),對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
選取中間值和,利用對(duì)數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.2.B【解析】
結(jié)合求得的值,由此化簡所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.3.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.4.D【解析】
對(duì)于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對(duì)于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標(biāo)表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對(duì)于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達(dá)定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以過點(diǎn),,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(diǎn)(即圓心)橫坐標(biāo)為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.5.D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.6.A【解析】
設(shè),由得:,由復(fù)數(shù)相等可得的值,進(jìn)而求出,即可得解.【詳解】設(shè),由得:,即,由復(fù)數(shù)相等可得:,解之得:,則,所以,在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,在第一象限.故選:A.本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法,考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn),考查運(yùn)算能力,屬于??碱}.7.A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.8.A【解析】
首先求得平移后的函數(shù),再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意,的圖象向左平移個(gè)單位后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù),所以,所以.又,所以的最小值為.故選:A本題考查三角函數(shù)的圖象變換,誘導(dǎo)公式,意在考查平移變換,屬于基礎(chǔ)題型.9.B【解析】
由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點(diǎn)法作圖求出的值,可得的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式,得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中,的圖象過點(diǎn),,可得,,解得:.再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得,可得:,可得函數(shù)解析式為:故把的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得的圖象,故選B.本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點(diǎn)法作圖求出的值,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10.A【解析】
根據(jù)圖像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊點(diǎn)求出,化簡即得所求.【詳解】由圖像知,,,解得,因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),所以,,即,解得,因?yàn)?,所以?故選:A本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12.B【解析】
由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
畫出圖形,結(jié)合橢圓的定義和題設(shè)條件,求得的值,即可求得橢圓的離心率,得到答案.【詳解】如圖所示,設(shè)橢圓的長半軸為,半焦距為,因?yàn)榈厍虬霃綖镽,若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是,,可得,解得,所以橢圓的離心率為.故答案為:.本題主要考查了橢圓的離心率的求解,其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì),列出方程組,求得的值是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)題意,畫出可行域,將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示,易知當(dāng),時(shí),的最大值為.故答案為:9.本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問題,屬于中檔題.15.2【解析】
作出可行域,平移基準(zhǔn)直線到處,求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時(shí),取得最小值為.故答案為:本小題主要考查線性規(guī)劃求最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】試題分析:根據(jù)題意,記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)?,則一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點(diǎn):古典概型概率三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果;(2)由(1)可得,可知為等比數(shù)列,利用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1)成等比數(shù)列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,.本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問題;關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式證得數(shù)列為等比數(shù)列,進(jìn)而采用分組求和法,結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.18.(1)(答案不唯一)(2)證明見解析【解析】
(1)找到一組符合條件的值即可;(2)由可得,整理可得,兩邊同除可得,再由可得,兩邊同時(shí)加可得,即可得證.【詳解】解析:(1)(答案不唯一)(2)證明:由題意可知,,因?yàn)?所以.所以,即.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以.考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用.19.(1);(2)【解析】
試題分析:(1)根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦,再利用兩角差的余弦定理即可求出;(2)根據(jù)(1)及面積公式可得,利用正弦定理即可求出.試題解析:(1)由,得,∴.∵,∴.由,得,∴.∴.(2)由(1),得.由及題設(shè)條件,得,∴.由,得,∴,∴.點(diǎn)睛:解決三角形中的角邊問題時(shí),要根據(jù)條件選擇正余弦定理,將問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問題或角的問題,利用三角中兩角和差等公式處理,特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用,涉及三角形面積最值問題時(shí),注意均值不等式的利用,特別求角的時(shí)候,要注意分析角的范圍,才能寫出角的大小.20.證明見解析【解析】
由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可證明.【詳解】因?yàn)橥惯呅蔚拿娣e為1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題,考查學(xué)生對(duì)不等式靈活運(yùn)用的能力,是一道容易題.21..【解析】
根據(jù)特征多項(xiàng)式可得,可得,進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式,所以,所以.因?yàn)?,且,所?本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解,是基礎(chǔ)題.22.(1)故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2).【解析】試題分析:(Ⅰ)根據(jù)題意得到的解析式和定義域,求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性.(Ⅱ)分析題意可
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