考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷1（共113題）

考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷1（共4套）（共113題）考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無(wú)關(guān)，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量是()A、αB、Aα+2αC、A2α—Aa。D、A2α+2Aα—3α標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳3α+2A2α—3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α—Aα)。因?yàn)棣粒珹α，A2α線性無(wú)關(guān)，必有A2α—Aα≠0，所以A2α—Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，即矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量，故選C。2、設(shè)三階矩陣A的特征值是0，1，—1，則下列選項(xiàng)中不正確的是()A、矩陣A—E是不可逆矩陣。B、矩陣A+E和對(duì)角矩陣相似。C、矩陣A屬于1與—1的特征向量相互正交。D、方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇的特征值是0，1，—1，所以矩陣A—E的特征值是—1，0，—2。由于λ=0是矩陣A—E的特征值，所以A—E不可逆。因?yàn)榫仃嘇+E的特征值是1，2，0，矩陣A+E有三個(gè)不同的特征值，所以A+E可以相似對(duì)角化。(或由A～ΛA+E～Λ+E而知A+E可相似對(duì)角化)。由矩陣A有一個(gè)特征值等于0可知，r(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由n—r(A)=3—2=1個(gè)解向量構(gòu)成。C選項(xiàng)的錯(cuò)誤在于，若A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交，而一般n階矩陣，不同特征值的特征向量?jī)H僅線性無(wú)關(guān)并不一定正交，故選C。3、設(shè)A為n階可逆矩陣，λ是A的一個(gè)特征值，則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是()A、λ—1｜A｜nB、λ—1｜A｜C、λ｜A｜D、λ｜A｜n標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)向量x(x≠0)是與λ對(duì)應(yīng)的特征向量，則Ax=λx。兩邊左乘A*，結(jié)合A*A=｜A｜E得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，從而A*x=，可見(jiàn)A*有特征值=λ—1｜A｜，故選B。4、設(shè)A是n階矩陣，P是n階可逆矩陣，n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，那么在下列矩陣中①A2；②P—1AP；③AT；④α肯定是其特征向量的矩陣個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。知α必是矩陣屬于特征值的特征向量。關(guān)于②和③則不一定成立。這是因?yàn)?P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α，按定義，矩陣P—1AP的特征向量是P—1α。因?yàn)镻—1α與α不一定共線，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩陣的特征向量是不一樣的。線性方程組(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二個(gè)方程組的解，即α不一定是AT的特征向量，故選B。5、n階矩陣A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要條件。B、必要而非充分條件。C、充分而非必要條件。D、既非充分也非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由A～B，即存在可逆矩陣P，使P—1AP=B，故｜λE—B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A與B有相同的特征值。但當(dāng)A，B有相同特征值時(shí)，A與B不一定相似。例如雖然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要條件是A，B有相同的特征值，故選B。6、設(shè)A，B均為n階矩陣，A可逆，且A～B，則下列命題中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A—1～B—1。正確的個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因A～B，可知存在可逆矩陣P，使得P—1AP，=B，于是P—1A2P=B2，PTAT(PT)—1=BT，P—1A—1P=B—1，故A2～B2，AT～BT，A—1～B—1。又由于A可逆，可知A—1(AB)A=BA，即AB～BA。正確的命題有四個(gè)，故選D。7、設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，3，—2，相應(yīng)的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，則P—1AP=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由Aα2=3α2，有A(—α2)=3(—α2)，即當(dāng)α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時(shí)，—α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=—2的特征向量。當(dāng)P—1AP=Λ時(shí)，P由A的特征向量構(gòu)成，Λ由A的特征值構(gòu)成，且P與Λ的位置是對(duì)應(yīng)一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，—2，故對(duì)角矩陣Λ應(yīng)當(dāng)由1，3，—2構(gòu)成，因此排除選項(xiàng)B、C。由于2α3是屬于λ=—2的特征向量，所以—2在對(duì)角矩陣Λ中應(yīng)當(dāng)是第二列，故選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)A=有二重特征根，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜λE—A｜==(λ—2)[λ2—2λ—2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根，則λ=2是λ2—2λ—2(a—2)=0的單根，故a=2。如果λ2—2λ—2(a—2)=0是完全平方，則有△=4+8(a—2)=0，滿(mǎn)足λ=1是一個(gè)二重根，此時(shí)a=。9、已知λ=12是A=的特征值，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣?12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即所以a=4。10、已知矩陣A=有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—1知識(shí)點(diǎn)解析：A的特征多項(xiàng)式為｜λE—A｜==(λ+1)3，所以矩陣A的特征值是—1，且為三重特征值，但是A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故r(—E—A)=1，因此a=—1。11、設(shè)α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，—1，1)T，k≠0知識(shí)點(diǎn)解析：令B=αβT，則矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。因?yàn)棣?3是矩陣A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，—1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，也即矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量為k(1，—1，1)T，k≠0。12、設(shè)矩陣A與B=相似，則r(A)+r(A—2E)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A與B相似，則A—2E與B—2E相似，而相似矩陣具有相同的秩，所以r(A)+r(A—2E)=r(B)+r(B—2E)=2+1=3。13、設(shè)x為三維單位列向量，E為三階單位矩陣，則矩陣E—xxT的秩為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，矩陣xxT的特征值為0，0，1，故E—xxT的特征值為1，1，0。又由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是可相似對(duì)角化的，故它的秩等于它非零特征值的個(gè)數(shù)，即r(E—xxT)=2。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)14、設(shè)矩陣A=，行列式｜A｜=—1，又A*的屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量為α=(—1，—1，1)T，求a，b，c及λ0的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：AA*=｜A｜E=—E。對(duì)于A*α=λ0α，用A左乘等式兩端，得λ0Aα=—α，即由此可得(1)—(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1)，得b=—3，a=c。由｜A｜=—1和a=c，有=a—3=—1，即得a=c=2。故a=2，b=—3，c=2，λ0=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相應(yīng)的特征向量且線性無(wú)關(guān)。證明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，則λ1=λ2=λ3。標(biāo)準(zhǔn)答案：若α1+α2+α3是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ—λ1)α1+(λ—λ2)α2+(λ—λ3)α3=0。因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故λ—λ1=0，λ—λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)矩陣相似，求x，y；并求一個(gè)正交矩陣P，使P—1AP=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案：A與Λ相似，相似矩陣有相同的特征值，故λ=5，λ=—4，λ=y是A的特征值。因?yàn)棣?—4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x—4)=0，解得x=4。又因?yàn)橄嗨凭仃嚨男辛惺较嗤?，｜A｜==—100，｜Λ｜=—20y，所以y=5。當(dāng)λ=5時(shí)，解方程(A—5E)x=0，得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，將它們正交化、單位化得P1=。當(dāng)λ=—4時(shí)，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，單位化得P3=。令P=(P1，P3，P2)=，則P—1AP=Λ。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知矩陣A與B相似，其中。求a，b的值及矩陣P，使P—1AP=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A與B相似，得解得a=7，b=—2。由矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==λ2—4λ—5，得A的特征值是λ1=5，λ2=—1。它們也是矩陣B的特征值。分別解齊次線性方程組(5E—A)X=0，(—E—A)x=0，可得到矩陣A的屬于λ1=5，λ2=—1的特征向量依次為α1=(1，1)T，α2=(—2，1)T。分別解齊次線性方程組(5E—B)x=0，(—E—B)x=0，可得到矩陣B的屬于λ1=5，λ2=—1的特征向量分別是β1=(—7，1)T，β2=(—1，1)T。令P1=，則有p1—1AP1==P2—1BP2。取P=P1P2—1=，即有P—1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=—1，λ3=0；對(duì)應(yīng)λ1，λ2的特征向量依次為p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，—2)T，求A。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故必存在正交矩陣Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q—1AQ==Λ。將對(duì)應(yīng)于特征值λ1，λ2的特征向量p1=單位化，得由正交矩陣的性質(zhì)，q3可取為=0的單位解向量，則由可知q3=，因此A=QΛQT=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析A為三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的秩為2，且19、求A的所有特征值與特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由，得即特征值λ1=—1，λ2=1對(duì)應(yīng)的特征向量為α1=。又由r(A)=2＜3可知，A有一個(gè)特征值為0。設(shè)λ3=0對(duì)應(yīng)的特征向量為。兩兩正交，于是得由此得是特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次對(duì)應(yīng)于特征值—1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3為任意非零常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：令則A=PΛP—1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A=，且存在正交矩陣Q使得QTAQ為對(duì)角矩陣。若Q的第一列為(1，2，1)T，求a，Q。標(biāo)準(zhǔn)答案：按已知條件，(1，2，1)T是矩陣A的特征向量，設(shè)特征值是λ1，那么知矩陣A的特征值是2，5，—4。對(duì)λ=5，由(5E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α2=(1，—1，1)T。對(duì)λ=—4，由(—4E—A)x=0得基礎(chǔ)解系α3=(—1，0，1)T。因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交，故只需單位化α2，α3，即γ2=(1，—1，1)T，γ3=(—1，0，1)T，令Q=，則有QTAQ=Q—1AQ=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析在某國(guó)，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設(shè)該國(guó)總?cè)丝跀?shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。22、求關(guān)系式中的矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，人口遷移的規(guī)律不變xn+1=xn+qyn—pxn=(1—p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn—qyn=pxn+(1—q)yn，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即。標(biāo)準(zhǔn)答案：由，由｜A—λE｜==(λ—1)(λ—1+p+q)，得A的特征值為λ1=1，λ2=r，其中r=1—p—q。當(dāng)λ1=1時(shí)，解方程(A—E)x=0，得特征向量P1=；當(dāng)λ2=r時(shí)，解方程(A—rE)x=0，得特征向量P2=。令P=(P1，P2)=，則P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1。于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，3，-2，相應(yīng)的特征向量依次為α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，則P-1AP=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得，Aα2=3α2，因此有A(-α2)=3(-α2)，即當(dāng)α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時(shí)，-α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=-2的特征向量。當(dāng)P-1AP=Λ時(shí)，P由A的特征向量所構(gòu)成，Λ由A的特征值所構(gòu)成，且P的列向量與Λ對(duì)角線上的元素的位置是一一對(duì)應(yīng)的。因?yàn)橐阎仃嘇的特征值是1，3，-2，故對(duì)角矩陣Λ對(duì)角線上元素應(yīng)當(dāng)由1，3，-2構(gòu)成，因此排除(B)、(C)。由于2α3是屬于λ=-2的特征向量，所以-2在對(duì)角矩陣Λ中應(yīng)當(dāng)是第2列第2行的元素，故應(yīng)選(A)。2、設(shè)A是n階矩陣，下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，α≠0。那么Aα=λα，所以α是矩陣A屬于特征值的特征向量，故(D)正確。由于(λE-A)x=0與(λE-AT)x=0不一定同解，所以口不一定同時(shí)是AT和A的特征向量。例如該例還說(shuō)明當(dāng)矩陣A不可逆時(shí)，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量不一定是A的特征向量。所以應(yīng)選(D)。3、設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1，α2，則α1，A(α2+α2)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)k1α1+k2A(α1+α2)=0，由題設(shè)條件得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是屬于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2線性無(wú)關(guān)，從而所以，α1，A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)k1=k2=0行列式λ2≠0，即選項(xiàng)(B)正確。4、若n階可逆矩陣A的屬于特征值λ的特征向量是α，則在下列矩陣中，α不是其特征向量的是()A、(A+E)2。B、-3A。C、A*。D、AT。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意Aα=λα，所以(A+E)2α=(A2+2A+E)α=(λ2+2λ+1)α=(λ+1)2α，且-3Aα=-3λα，A*α=｜A｜A-1α=。由定義知α是(A)、(B)、(C)中矩陣的特征向量，故選(D)。5、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無(wú)關(guān)，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α-Aα。D、A2α+2Aα-3α。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由已知A3α+2A2α-3Aα=0，即有(A+3E)(A2α-Aα)=0=O(A2α-Aα)。因?yàn)棣?，Aα，A2α線性無(wú)關(guān)，那么必有A2α-Aa≠0，所以，A2α-Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，亦即矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量。所以應(yīng)選(C)。6、設(shè)A是n階矩陣，P是n階可逆矩陣，n維列向量α是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，那么在下列矩陣中，(1)A2。(2)P-1AP。(3)AT。(4)E-A。α肯定是其特征向量的矩陣共有()A、1個(gè)。B、2個(gè)。C、3個(gè)。D、4個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意Aα=λα，α≠0，于是有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，α≠0，即α必是A2屬于特征值λ2的特征向量。又(E-A)α=α-Aα=(1-)α，α≠0，知α必是矩陣E-A屬于特征值1-的特征向量。對(duì)于(2)和(3)則不一定成立。這是因?yàn)?P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，依定義，矩陣P-1AP的特征向量是P-1α。由于P-1α與α不一定共線，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩陣的特征向量是不一樣的。線性方程組(λE-A)x=0與(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二個(gè)方程組的解，即α不一定是AT的特征向量。7、已知矩陣則與A相似的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于(B)選項(xiàng)中的矩陣B，有因此R(E-B)=1，所以矩陣B對(duì)應(yīng)λ=1有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。故B相似于A。8、設(shè)A為n階方陣，且Ak=O(k為正整數(shù))，則()A、A=O。B、A有一個(gè)不為0的特征值。C、A的特征值全為0。D、A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，則λk是Ak的特征值。因?yàn)锳k=O，且零矩陣的特征值只能是零，所以Ak的全部特征值應(yīng)為0，從而λk=0，故λ=0。故選(C)。9、已知α1=(-1，1，t，4)T，α2=(-2，1，5，t)T，α3=(t，2，10，1)T分別是四階方陣A的三個(gè)不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則()A、t≠5。B、t≠-4。C、t≠-3。D、t≠-3且t≠-4。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嚨牟煌卣髦祵?duì)應(yīng)的特征向量必線性無(wú)關(guān)，所以R(α1，α2，α3)=3。對(duì)矩陣(α1，α2，α3)作初等行變換，即當(dāng)t≠5時(shí)，R(α1，α2，α3)=3。故應(yīng)選(A)。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)10、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且A2=A，R(A)=r，則A的全部特征值為_(kāi)_______，行列式｜2E-3A｜=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0；(-1)r2n-r知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ是矩陣A的任意一個(gè)特征值，α是屬于λ的特征向量，即Aα=λα。在等式A2=A兩邊右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2-λ)α=0。因α≠0，故有λ2-λ=0，可得A的特征值λ=0或1。又已知A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必可相似對(duì)角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值為λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0，進(jìn)而可知矩陣2E-3A的特征值為μ1=…=μr=2-3×1=-1，μr+1=…=μn=2-3×0=2，故｜2E-3A｜=(-1)r2n-r。11、設(shè)矩陣A=有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，則x，y，z滿(mǎn)足________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=4，x=-1，z為任意實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有｜λE-A｜=(λ-1)(λ-2)(λ-3)=(λ-1)(λ2-5λ+6)，即=(λ-1)[(λ-1)(λ-y)-2x]=(λ-1)(λ2-5λ+6)，所以(λ-1)(λ-y)-2x=λ2-5λ+6，比較系數(shù)得y=4，x=-1，z為任意實(shí)數(shù)。12、已知A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，特征值是1，3，-2，其中α1=(1，2，-2)T，α2=(4，-1，a)T分別是屬于特征值λ=1與λ=3的特征向量，那么矩陣A屬于特征值λ=-2的特征向量是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(0，1，1)T，k≠0知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，不同特征值的特征向量相互正交，設(shè)λ=-2的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，那么有解得a=1，又由方程組解得基礎(chǔ)解系(0，1，1)T，所以α3=k(0，1，1)T，k≠0。13、設(shè)3階矩陣A的特征值分別為1，2，2，E為3階單位矩陣，則｜4A-1-E｜=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件可得，A-1的特征值為，于是4A-1-E的特征值為3，1，1，因此｜4A-1-E｜=3×1×1=3。14、已知向量α=是矩陣A=的逆矩陣的特征向量，則k=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1或-2知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A是A-1對(duì)應(yīng)于α的特征值，則A-1α=λα，即α=λAα，亦即于是得方程組15、設(shè)4階矩陣A和B相似，如果B*的特征值是1，-1，2，4，則｜A*｜=_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：-8知識(shí)點(diǎn)解析：已知B*的特征值，所以｜B*｜=1×(-1)×2×4=-8，又｜B*｜=｜｜B｜B-1｜=｜B｜4｜B-1｜=｜B｜3=-8，所以｜B｜=-2。又A和B相似，所以｜A｜=｜B｜=2，于是｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3=-8。16、設(shè)α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩陣A的特征值，則矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，-1，1)T，k≠0知識(shí)點(diǎn)解析：令B=αβT，那么可知矩陣B的秩是1，且βTα=a+1，因此鼬=αβTα=(a+1)α，由此可知矩陣B的特征值為a+1，0，0。那么A=E+B的特征值為a+2，1，1。又因?yàn)棣?3是矩陣A的特征值，因此1+(a+1)=3，可得a=1。于是就有Bα=2α。α=(1，-1，1)T是矩陣B屬于特征值λ=2的特征向量，也就是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。17、設(shè)3階矩陣只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則t=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：由于矩陣A只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以可知矩陣A有3重特征值，設(shè)λ是A的特征值。由矩陣的跡的性質(zhì)，有3λ=4-2+1，因此得λ=1。于是有解得t=-2。18、設(shè)4階方陣有特征值2和1，則a=____，b=_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：6，2知識(shí)點(diǎn)解析：方陣的特征多項(xiàng)式=[(λ-s)(λ-1)+4][(λ-6)(λ+1)+2]，當(dāng)λ=1時(shí)，有(1-b).2+2=0，得b=2；當(dāng)λ=2時(shí)，(2-a)+4=0，得a=b。19、已知矩陣A=和對(duì)角矩陣相似，則a=____。標(biāo)準(zhǔn)答案：-2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋薊-A｜==(λ-2)(λ-3)2，所以矩陣A的特征值為2，3，3。因?yàn)榫仃嘇的特征值有重根，所以有Λ～Λλ=3有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(3E-A)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解R(3E-A)=1。那么3E-A=，可見(jiàn)a=-2。20、設(shè)3階矩陣A與B相似，且｜3E+2A｜=0，｜3E+B｜=｜E-2B｜=0，則行列式｜A｜的代數(shù)余子式A11+A22+A33=_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由｜3E+2A｜=0知，矩陣A有一個(gè)特征值λ1=由｜3E+B｜=｜E-2B｜=0知，矩陣B有兩個(gè)特征值分別為μ2=-3，μ3=又因?yàn)锳與B相似，所以A與B有相同的特征值。從而A的特征值為λ1=，λ2=-3，λ3=。于是A*的特征值為。因此A11+A22+A33=tr(A*)=三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)21、設(shè)A=。求A的特征值與特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A｜==(λ+2)2(λ-4)=0，得λ1=λ2=-2，λ2=4。當(dāng)λ1=λ2=-2時(shí)，由(-2E-A)x=0，得λ=-2對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為ξ1=，ξ2=，所以A的屬于特征值-2的特征向量為k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2不全為0；當(dāng)λ3=4時(shí)，由(4E-A)x=0，得λ=4對(duì)應(yīng)的特征向量為ξ3=，所以A的屬于特征值4的特征向量為k3ξ3，其中k3不為0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A=，求A*的特征值與特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A的特征方程=(λ-9)(λ-1)2=0，得A的特征值λ1=9，λ2=λ3=1，從而｜A｜=1×1×9=9。若A的特征值為λ，則對(duì)應(yīng)A*的特征值為，于是A*的特征值為1，9，9。當(dāng)λ1=9時(shí)，對(duì)(9E-A)x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換，得矩陣A屬于特征值λ1=9的特征向量α1=(1，2，3)T，對(duì)應(yīng)A*屬于特征值λ=1的全部特征向量為k1α1，其中k1為非零常數(shù)。當(dāng)λ2=λ3=1時(shí)，對(duì)(E-A)x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換，得矩陣A屬于特征值λ2=λ3=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量α2=(-2，1，0)T，α3=(-1，0，1)T，對(duì)應(yīng)A*屬于特征值λ=9的全部特征向量為k2α2+k3α3，其中k2，k3為不全為零的常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2+2A2=O，證明矩陣A+E可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A3+2A2=O可知，矩陣A的特征值均滿(mǎn)足λ3+2λ2=0。因此A的特征值只能為0或-2，A+E的特征值均為1或-1，故｜A+E｜≠0，因此A+E可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)α1，α2是矩陣A屬于不同特征值的特征向量，證明α1+α2不是矩陣A的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，且λ2≠λ2，假設(shè)α1+α2是矩陣A屬于特征值μ的特征向量，即A(α1+α2)=μ(α1+α2)。再由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2得(μ-λ1)α1+(μ-λ2)α2=0。因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄烤€性無(wú)關(guān)，所以μ-λ1=0，μ-λ2=0μ=λ1=λ2，這與λ1≠λ2相矛盾。所以假設(shè)不成立，即α1+α2不是A的特征向量。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、三階矩陣A滿(mǎn)足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，-2，1)T，α3=(-2，-1，2)T，試求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可得，Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα2=3α3，所以α1，α2，α3是矩陣A不同特征值的特征向量，故它們線性無(wú)關(guān)。利用分塊矩陣，則有A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)，因?yàn)榫仃?α1，α2，α3)可逆，故A=(α1，2α2，3α3)(α1，α2，α3)-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、判斷矩陣A=是否可相似對(duì)角化。標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A｜=(λ-1)2(λ+2)=0可得到矩陣A的特征值是λ1=λ2=1，λ3=-2。由于A-E=，R(A-E)=2，于是矩陣A的二重特征值1有且只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無(wú)關(guān)的3維列向量，且滿(mǎn)足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。(Ⅰ)求矩陣B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩陣A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩陣P使得P-1AP為對(duì)角矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)題設(shè)有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)于是(Ⅱ)令P1=(α1，α2，α3)，因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，所以P1可逆，且由(Ⅰ)的結(jié)論P(yáng)1-1AP1=B，可知A～B。由B的特征方程｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)=0得矩陣B的特征值為1，1，4，由相似矩陣的性質(zhì)可知矩陣A的特征值也是1，1，4。(Ⅲ)由(Ⅱ)的結(jié)論知B的特征值分別是1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩陣B屬于特征值1的線性無(wú)關(guān)的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；解(4E-B)x=0，得矩陣B屬于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)，則有P2-1BP2=將P1-1AP1=B代入可得P2-1P1-1AP1P2=令P=P1P2=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)，則P-1AP=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A=，求An。標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜λE-A｜==(λ-1)(λ-2)2=0，得矩陣A的特征值λ1=1，λ2=λ3=2。當(dāng)λ1=1時(shí)，由(E-A)x=0，得相應(yīng)的特征向量ξ1=當(dāng)λ2=λ3=2時(shí)，由(2E-A)x=0，得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量ξ2=，ξ3=令P=，則有P-1AP=，兩邊分別n次方得，P-1AnP=，于是An=P-1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由新招收的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成αn=(Ⅰ)求αn+1與αn的關(guān)系式，并寫(xiě)成矩陣形式：αn+1=Aαn；(Ⅱ)求矩陣A的特征值與特征向量；(Ⅲ)若α0=，求Anα0。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)依題意有用矩陣表示，即為(Ⅱ)令特征多項(xiàng)式因此，得矩陣A的特征值λ1=1，λ2=當(dāng)λ=1時(shí)，由(E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系η1=，因此矩陣A屬于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)。當(dāng)λ=時(shí)，由(E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系η2=，因此矩陣A屬于λ=的特征向量是k2η2(k2≠0)。(Ⅲ)設(shè)x1η1+x2η2=α0，即于是α0=η2，那么Aα0=Aη1+Aη2。故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值。若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的屬于特征值6的特征向量。求A的另一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由R(A)=2，知A的另一個(gè)特征值為λ3=0。設(shè)λ3對(duì)應(yīng)的特征向量為x=(x1，x2，x3)T，由題設(shè)知，α1x=0，α2x=0，即解得此方程組的基礎(chǔ)解系為x=(-1，1，1)T，即A的屬于特征值λ3=0的全部特征向量為k(-1，1，1)T(k為任意非零常數(shù))。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，A的秩為2，且求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=，有易得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，于是再由R(A)=2，得d=0，因此A=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、已知矩陣A=(Ⅰ)求可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角陣；(Ⅱ)求正交矩陣Q，使QTAQ為對(duì)角陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)矩陣A的特征多項(xiàng)式(λ-4)(λ-1)2，所以A的特征值為λ1=4，λ2=λ3=1，由得A屬于λ1=4的特征向量p1=(1，1，1)T。由得A屬于λ2=λ3=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量p2=(-1，1，0)T，p3=(-1，0，1)T。于是可逆矩陣P=，使得P-1AP=A=(Ⅱ)對(duì)于(Ⅰ)中求得的p1，p2，p3，令η1=p1，η2=p2，η3=p3-([p3，p2]／[p2，p2])p2=再令再令q=*1／‖η1‖)η1=，q2=(1／‖η2‖)η2=，q3=(1／‖η3‖)η3=則Q=為正交陣，且PTAQ=A=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)A為三階矩陣，且Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=，α2=，α3=，求A。標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=(α1，α2，α3)=，因?yàn)锳αi=iαi(i=1，2，3)，所以AP=，且P-1=因此A=P-1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)A為正交矩陣，證明：(Ⅰ)｜A｜=±1；(Ⅱ)若｜A｜=-1，則｜E+A｜=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)锳為正交矩陣，所以ATA=E。兩邊取行列式得｜AT｜.｜A｜=1，而｜AT｜=｜A｜，所以有｜A｜2=1，因此｜A｜=±1。(Ⅱ)若｜A｜=-1，則｜E+A｜=｜AAT+A｜=｜A｜.｜AT+E｜=-｜(A+E)T｜=-｜E+A｜，所以｜E+A｜=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)A=，問(wèn)a為何值時(shí)A能對(duì)角化。標(biāo)準(zhǔn)答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-1)(λ-2)[λ-(2a-1)]。(1)當(dāng)2a-1≠1，2，即a≠1，時(shí)，A有3個(gè)不同的特征值，故A可對(duì)角化；(2)當(dāng)2a-1=1，即a=1時(shí)，A有特征值1(二重)，2。λ=1時(shí)，λE-A=E-A=，R(E-A)=2。因此二重特征值1只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故A不可對(duì)角化；(3)當(dāng)2a-1=2，即a=時(shí)，A有特征值1，2(二重)，且可知R(2E-A)=2，從而A也不可對(duì)角化。故當(dāng)a≠1，時(shí)，A可對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、設(shè)矩陣A與B相似，且(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使P-1AP=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因?yàn)榫仃嘇和B相似，所以｜A｜=｜B｜，且tr(A)=tr(B)，即1+4+a=2+2+6，6(a-1)=4b，解得a=5，b=6。(Ⅱ)由于相似矩陣具有相同的特征值，所以矩陣A的特征值為2，2，6。當(dāng)λ=2時(shí)，由(2E-A)x=0，求得屬于它的特征向量為α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，1)T。當(dāng)λ=6時(shí)，由(6E-A)x=0，求得屬于它的特征向量為α3=(1，-2，3)T。令P=(α1，α2，α3)=，則有P-1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析37、在某國(guó)，每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設(shè)該國(guó)總?cè)丝跀?shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。(Ⅰ)求關(guān)系式中的矩陣A；(Ⅱ)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題意，人口遷移的規(guī)律不變，所以xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn，用矩陣表示為因此A=(Ⅱ)由由=(λ-1)(λ-1+p+q)，得A的特征值為λ=1，λ=r，其中r=1-p-q。當(dāng)λ1=1時(shí)，解方程(A-E)x=0，得特征向量p1=當(dāng)λ2=r時(shí)，解方程(A-rE)x=0，得特征向量p2=令P=(p1，p2)=，則P-1AP==A，A=PAP-1，An=PAnP-1，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析38、已知矩陣A=有特征值λ=5，求a的值；當(dāng)a＞0時(shí)，求正交矩陣Q，使Q-1AQ=Λ。標(biāo)準(zhǔn)答案：因λ=5是矩陣A的特征值，則由｜5E-A｜==3(4-a2)=0，可得a=±2。當(dāng)a＞0，即a=2時(shí)，則由矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE-A｜==(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0，可得矩陣A的特征值是1，2，5。由(E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α1=(0，1，-1)T；由(2E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α2=(1，0，0)T；由(5E-A)x=0，得基礎(chǔ)解系α3=(0，1，1)T。即矩陣A屬于特征值1，2，5的特征向量分別是α1，α2，α3。由于A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故只需將以上特征向量單位化，即有γ1=，γ2=，γ3=那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=，則有Q-1AQ=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、已知α=(1，—2，3)T是矩陣A=的特征向量，則()A、a=—2，b=6。B、a=2，b=—6。C、a=2，b=6。D、a=—2，b=—6。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，按定義有即有，所以λ=—4，a=—2，b=6，故選A。2、設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1，α1，則α1，A(α1+α1)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令后k1α1+k2A(α1+α2)=0，則(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因?yàn)棣?，α2線性無(wú)關(guān)，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。當(dāng)λ2≠0時(shí)，顯然有k1=0，k2=0，此時(shí)α1，A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)；反過(guò)來(lái)，若α1，A(α1+α2)線性無(wú)關(guān)，則必然有λ2≠0(否則，α1與A(α1+α2)=λ1α1線性相關(guān))，故選B。3、已知A是三階矩陣，r(A)=1，則λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A的對(duì)應(yīng)λ的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)小于等于特征值的重?cái)?shù)。r(A)=1，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故λ=0的重?cái)?shù)大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值，故選B。4、已知A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A*的特征值是1，—1，2，4，那么不可逆矩陣是()A、A—EB、2A—EC、A+2ED、A—4E標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳*的特征值是1，—1，2，4，所以｜A*｜=—8，又｜A*｜=｜A｜4—1，因此｜A｜3=—8，于是｜A｜=—2。那么，矩陣A的特征值是：—2，2，—1，。因此，A—E的特征值是—3，1，—2，。因?yàn)樘卣髦捣橇?，故矩陣A—E可逆。同理可知，矩陣A+2E的特征值中含有0，所以矩陣A+2E不可逆，故選C。5、設(shè)A是n階矩陣，下列命題中正確的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，那么Aα=，所以α是矩陣A屬于特征值的特征向量。由于(λE—A)x=0與(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例還說(shuō)明當(dāng)矩陣A不可逆時(shí)，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量，故選D。6、已知矩陣A=，那么下列矩陣中與矩陣A相似的矩陣個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值1和3，因此A～Λ=，那么只要和矩陣Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定與A相似。①和②分別是上三角和下三角矩陣，且特征值是1和3，所以它們均與A相似，對(duì)于③和④，由=λ2—4λ—5=(λ—5)(λ+1)，=λ2—4λ+3=(λ—3)(λ—1)，可見(jiàn)④與A相似，而③與A不相似，故選C。7、下列矩陣中，不能相似對(duì)角化的矩陣是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A選項(xiàng)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可以相似對(duì)角化。B選項(xiàng)是下三角矩陣，主對(duì)角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三個(gè)不同的特征值，所以矩陣必可以相似對(duì)角化。C選項(xiàng)是秩為1的矩陣，由｜λE—A｜=λ3—4λ2，可知矩陣的特征值是4，0，0。對(duì)于二重根λ=0，由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齊次方程組(OE—A)x=0的基礎(chǔ)解系有3—1=2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即λ=0時(shí)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而矩陣必可以相似對(duì)角化。D選項(xiàng)是上三角矩陣，主對(duì)角線上的元素1，1，—1就是矩陣的特征值，對(duì)于二重特征值λ=1，由秩可知齊次線性方程組(E—A)x=0只有3—2=1個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即λ=1時(shí)只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此矩陣必不能相似對(duì)角化，故選D。8、已知P—1AP=，α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量，那么矩陣P不能是()A、(α1，—α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1—α2，α3)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，則有AP=PΛ，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可見(jiàn)αi是矩陣A屬于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量，則—α仍是屬于特征值λ的特征向量，故A選項(xiàng)正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與β的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無(wú)關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3線性無(wú)關(guān)，故B選項(xiàng)正確。對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)棣?，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰(shuí)在前誰(shuí)在后均正確。故C選項(xiàng)正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩陣A的特征向量，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選D。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)A是三階矩陣，且各行元素的和都是5，則矩陣A一定有特征值________。標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：已知各行元素的和都是5，即化為矩陣形式，可得滿(mǎn)足，故矩陣A一定有一個(gè)特征值為5。10、已知矩陣A=和對(duì)角矩陣相似，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋薊—A｜==(λ—2)(λ—3)2，所以矩陣A的特征值分別為2，3，3。因?yàn)榫仃嘇和對(duì)角矩陣相似，所以對(duì)應(yīng)于特征值3有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即(3E—A)x=0有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，因此矩陣3E—A的秩為1?？梢?jiàn)a=—2。11、已知α=(1，3，2)T，β=(1，—1，—2)T，A=E—αβT，則A的最大的特征值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉橇懔邢蛄喀?，β的秩均?，所以矩陣αβT的秩也為1，于是αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=—6。所以A=E—αβT的特征值為1，1，7，則A的最大的特征值為7。12、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，那么A*的特征值是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1，7，7知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣A的特征多項(xiàng)式｜λE—A｜==(λ—7)(λ—1)2可得矩陣A的特征值為7，1，1。所以｜A｜=7×1×1=7。如果Aα=λα，則有A*α=，因此A*的特征值是1，7，7。13、已知A=有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則x=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2—1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=—1。因?yàn)锳有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以λ=1必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根據(jù)E—A=，得x=0。14、設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，特征值分別為0，1，2，如果特征值0和1對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，2，1)T，α2=(1，—1，1)T，則特征值2對(duì)應(yīng)的特征向量是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：t(—1，0，1)T，t≠0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)所求的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，故有所以對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量是t(—1，0，1)T，t≠0。三、解答題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)15、設(shè)矩陣，B=P—1A*P，求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為三階單位矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)特征向量為η,則有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1η)=(P—1η)，(B+2E)P—1η=P—1η。因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為P—1η。由于｜λE—A｜==(λ—1)2(λ—7)，故A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=7。當(dāng)λ1=λ2=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特征向量可取為η1=。當(dāng)λ3=7時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量可取為η3=。因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3。對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為k1P—1η1十k2P—1η2=，其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k3P—1η3=k3，其中k3是不為零的任意常數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)矩陣A與B相似，且。求可逆矩陣P，使P—1AP=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A與B相似有于是得a=5，b=6。且由A與B相似，知A與B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。當(dāng)λ=2時(shí)，解齊次線性方程組(2E—A)x=0得到基礎(chǔ)解系為α1=(1，—1，0)T，α2=(1，0，1)T，即屬于λ=2的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。當(dāng)λ=6時(shí)，解齊次線性方程組(6E—A)x=0，得到基礎(chǔ)解系是(1，—2，3)T，即屬于λ=6的特征向量。令P=(α1，α2，α3)=，則有P—1AP=B。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知的一個(gè)特征向量。17、求參數(shù)a，b及特征向量P所對(duì)應(yīng)的特征值。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(A—λE)p=0，即從而有方程組解得a=—3，b=0，且p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=—1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、問(wèn)A能不能相似對(duì)角化?并說(shuō)明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：A的特征多項(xiàng)式｜A—λE｜==—(λ+1)3，得A的特征值為λ=—1(三重)。若A能相似對(duì)角化，則特征值λ=—1有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，而故r(A+E)=2，所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，A不能相似對(duì)角化。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿(mǎn)足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩陣A的全部特征值，并求秩r(A+E)。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)λ是矩陣A的任一特征值，α(α≠0)是屬于特征值λ的特征向量，則Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因?yàn)樘卣飨蛄喀痢?，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值必是實(shí)數(shù)，從而矩陣A的特征值是0或—2。由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣必可相似對(duì)角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，—2，—2。因A相似于Λ，則有A+E相似于Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(—1，2，—3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因?yàn)棣?=λ2=6是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，因此α1，α2，α3必線性相關(guān)，顯然α1，α2線性無(wú)關(guān)。設(shè)矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程組的基礎(chǔ)解系α=(—1，1，1)T。根據(jù)A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)—1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=(1，—1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個(gè)特征向量，記B=A5—4A3+E，其中E為三階單位矩陣。21、驗(yàn)證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：由Aα1=α1，得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5—4A3+E)α1=A5α1—4A3α1+α1=—2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值—2的特征向量。由關(guān)系式B=A5—4A3+E及A的三個(gè)特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2得B的三個(gè)特征值為μ1=—2，μ2=1，μ3=1。設(shè)α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，又由A為對(duì)稱(chēng)矩陣，則B也是對(duì)稱(chēng)矩陣，因此α1與α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即得其基礎(chǔ)解系為，故可取α2=。B的全部特征向量為，其中k1≠0，k2，k3不同時(shí)為零。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=(α1，α2，α3)=，則P—1BP=，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A，B為同階方陣。23、若A，B相似，證明A，B的特征多項(xiàng)式相等。標(biāo)準(zhǔn)答案：若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P—1AP=B，則｜λE—B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1λEP—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜。所以A，B的特征多項(xiàng)式相等。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、舉一個(gè)二階方陣的例子說(shuō)明第一問(wèn)的逆命題不成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE—B｜。但是A，B不相似。否則，存在可逆矩陣P，使P—1AP=B=0，從而A=POP—1=0與已知矛盾。也可從r(A)=1，r(B)=0，知A與B不相似。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、當(dāng)A，B均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)，證明第一問(wèn)的逆命題成立。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A，B均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣知，A，B均相似于對(duì)角陣，若A，B的特征多項(xiàng)式相等，記特征多項(xiàng)式的根為λ1，…，λn，則有所以存在可逆矩陣P，Q，使P—1AP==Q—1BQ。因此有(PQ—1)—1A(PQ—1)=B，矩陣A與B相似。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量。26、求的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得化成矩陣形式為可見(jiàn)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、驗(yàn)證η1=是A的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樾辛惺剑?，η2｜==5≠0，所以η1，η2線性無(wú)關(guān)。又Aη1==η1，故η1為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值λ1=1。Aη2==η2，故η2為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值λ2=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：令P=(η1，η2)=。則由P—1AP=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（矩陣的特征值和特征向量）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，P是n階可逆矩陣，已知n維列向量α是A的屬于特征值λ的特征向量，則矩陣(P—1AP)T。屬于特征值λ的特征向量是()A、P—1αB、PTαC、PαD、(P—1)Tα標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)β是矩陣(PTAP)T屬于λ的特征向量，并考慮到A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣AT=A，有(P—1AP)Tβ=λβ，即PTA(P—1)Tβ=λβ。把四個(gè)選項(xiàng)中的向量逐一代入上式替換β，同時(shí)考慮到Aα=λα，可得B選項(xiàng)正確，即左端=PTA(P—1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。綜上可知，故選B。2、三階矩陣A的特征值全為零，則必有()A、秩r(A)=0B、秩r(A)=1C、秩r(A)=2D、條件不足，不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：例如下列矩陣它們的特征值全是零，而秩分別為0，1，2。所以?xún)H由特征值全是零不能確定矩陣的秩，故選D。3、設(shè)λ=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣有特征值()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣藶锳的非零特征值，所以λ2為A2的特征值，為(A2)—1的特征值。因此的特征值為，故選B。4、已知A是n階可逆矩陣，那么與A有相同特征值的矩陣是()A、ATB、A2C、A—1D、A—E標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A與AT有相同的特征多項(xiàng)式，所以A與AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A—1α=λ—1α，(A—E)α=(λ—1)α，說(shuō)明A2，A—1，A—E與A的特征值是不一樣的(但A的特征向量也是它們的特征向量)，故選A。5、設(shè)n階矩陣A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE—A=λE—B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。D、對(duì)任意常數(shù)t，tE—A與tE—B相似。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)橛葾與B相似不能推得A=B，所以A選項(xiàng)不正確。相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故B選項(xiàng)也不正確。對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)楦鶕?jù)題設(shè)不能推知A，B是否相似于對(duì)角陣，故C選項(xiàng)也不正確。綜上可知D選項(xiàng)正確。事實(shí)上，因A與B相似，故存在可逆矩陣P，使P—1AP=B，于是P—1(tE—A)P=tE—P—1AP=tE—B，可見(jiàn)對(duì)任意常數(shù)t，矩陣tE—A與tE—B相似，故選D。6、下列選項(xiàng)中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選項(xiàng)A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。選項(xiàng)B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。選項(xiàng)D中，矩陣A的特征值為2，2，—3，而矩陣B的特征值為1，3，—3，故A和B不相似。由排除法可知應(yīng)選C。事實(shí)上，在選項(xiàng)C中，矩陣A和B的特征值均為2，0，0。由于A和B均可相似對(duì)角化，也即A和B均相似于對(duì)角矩陣，故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似，故選C。7、已知三階矩陣A的特征值為0，1，2。設(shè)B=A3—2A2，則r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能確定。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇有三個(gè)不同的特征值，所以A必能相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得P—1AP=Λ=，于是P—1BP=P—1(A3—2A2)P=P—1A3P—2P—1A2P=(P—1AP)3—2(P—1AP)2則矩陣B的三個(gè)特征值分別為0，0，—1，即r(B)=1，故選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、已知矩陣A=的特征值的和為3，特征值的乘積是—24，則b=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—3知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣的所有特征值的和等于該矩陣對(duì)角線元素的和，即a+3+(—1)=3，所以a=1。又因?yàn)榫仃囁刑卣髦档某朔e等于矩陣對(duì)應(yīng)行列式的值，因此有所以b=—3。9、設(shè)A為二階矩陣，α1，α2為線性無(wú)關(guān)的二維列向量，Aα1=0,Aα2=2α1+α2，則A的非零特征值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題設(shè)條件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(α1，α2)。記P=(α1，α2)，因α1，α2線性無(wú)關(guān)，故P=(α1，α2)是可逆矩陣。由AP=，可得P—1AP=。記B=，則A與B相似，從而有相同的特征值。所以A的非零特征值為1。10、已知矩陣A=只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，那么A的三個(gè)特征值是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2，2，2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否則A至少應(yīng)該有兩個(gè)不同的特征值，同時(shí)也會(huì)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。由主對(duì)角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。11、若三維列向量α，β滿(mǎn)足αTβ=2，其中αT為α的轉(zhuǎn)置，則矩陣βαT的非零特征值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣罷β=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值為2。12、設(shè)α=(1，—1，a)T是A=的伴隨矩陣A*的特征向量，其中r(A*)=3，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：—1知識(shí)點(diǎn)解析：α是A*的特征向量，設(shè)對(duì)應(yīng)于α的特征值為λ0，則有A*α=λ0α，該等式兩端同時(shí)左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展開(kāi)成方程組的形式為因?yàn)閞(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根據(jù)方程組中的前兩個(gè)等式，解得a=—1。13、設(shè)三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量依次為α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，則P—1AP=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?α3，α1，2α2分別為A的對(duì)應(yīng)特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)14、已知A=是n階矩陣