考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷14（共125題）

考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷14（共5套）（共125題）考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷第1套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、函數(shù)展開(kāi)成的(x一1)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：2、=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)(X，Y)的分布函數(shù)為F(x，y)=則P{X＞1，Y＞1}=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用聯(lián)合分布函數(shù)來(lái)表示區(qū)域上的概率，并結(jié)合分布函數(shù)的定義可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)=4、設(shè)y=y(x)是由方程確定的隱函數(shù)，則y’’=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得5、設(shè)y=f(x)滿足△y=△x+o(△x)，且f(0)=0，則∫01f(x)dx=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：π／4知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知dy／dx=，從而由f(0)=0可得C=0．于是f(x)=由定積分幾何意義得∫01f(x)dx=∫01dx=π／46、若3維列向量α，β滿足αTβ=2，其中αT為α的轉(zhuǎn)置，則矩陣βαT的非零特征值為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2．知識(shí)點(diǎn)解析：由于αTβ=2，故β≠0，且有(βαT)β=β(αTβ)=2β，于是由特征值與特征向量的定義，知2為方陣βαT的一個(gè)特征值且β為對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．下面還可證明方陣βαT只有一個(gè)非零特征值．首先可證方陣βαT的秩為1；由βαT≠O知r(βαT)≥1，又由r(βαT)≤r(β)=1，知r(βαT)=1，故0為βαT的特征值．其次可證0為βαT的2重特征值：由于齊次線性方程組(0一βαT)x=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)——即方陣βαT的屬于特征值0的線性無(wú)關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)=3一r(βαT)=3—1=2，所以0至少是βαT的2重特征值，但不會(huì)是3重特征值(否則βαT=0)．既然3階方陣βαT有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一個(gè)．7、設(shè),n≥2為正整數(shù)，則An－2An-1=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：O知識(shí)點(diǎn)解析：8、設(shè)點(diǎn)M1(1，－1，－2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，則點(diǎn)M3到向量的距離為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：={－6，5，－1}，由點(diǎn)M1，M2，M3構(gòu)成的三角形的面積為設(shè)所求距離為d，又9、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則E(XY2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：μ3+μσ2知識(shí)點(diǎn)解析：由于ρ=0，根據(jù)二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量X，Y獨(dú)立，因此E(XY2)=E(X)．E(Y2)．已知(X，Y)服從N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則E(X)=μ，E(Y2)=D(Y)+E2(Y)=μ2+σ2，故E(XY2)=μ(μ2+σ2)=μ3+μσ2．10、設(shè)f(x)定義在(0，+∞)上，f(ex)=1+x，f[φ(x)]=1+x+lnx，則φ(x)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：xex知識(shí)點(diǎn)解析：這是一個(gè)函數(shù)記號(hào)靈活表示的問(wèn)題．令ex=t，則x=lnt，由f(ex)=1+x，得f(t)=1+lnt．從而f[φ(x)]=1+lnφ(x)=1+x+lnx，所以lnφ(x)=x+lnx，φ(x)=xex．11、設(shè)函數(shù)F(x，y)==___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、∫L｜y｜ds=___________，其中L：(x2+y2)2=a2(x2一y2)(a＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：2a2(2—)知識(shí)點(diǎn)解析：14、若二次曲面的方程為χ2＋3y2＋z2＋2aχy＋2χz＋2yz＝4，經(jīng)正交變換化為y12＋4z12＝4，則a＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：本題等價(jià)于將二次型f(χ，y，z)＝χ2＋3y2＋z2＋2aχy＋2χz＋2yz經(jīng)正交變換后化為了f＝y(tǒng)12＋4z12．由正交變換的特點(diǎn)可知，該二次型的特征值為1，4，0．由于矩陣的行列式值是對(duì)應(yīng)特征值的乘積，且該二次型的矩陣為A＝，即可得｜A｜＝－(a－1)2＝0，因此a＝1．15、設(shè)Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，則Ω的形心的豎坐標(biāo)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)封閉曲面S：x2+y2+z2=R2(R＞0)，法向量向外，則=_____標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：以S的方程代入被積函數(shù)，得令Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}，由高斯公式，17、設(shè)隨機(jī)變量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]=1，則λ=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～P(λ)，所以E(X)=λ，D(X)=λ，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ．由E[(X－1)(X－2)]=E(X2－3X+2)=E(X2)－3E(X)+2=λ2－2λ+2=1得λ=1．18、已知編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)袋子中各有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，現(xiàn)從1，2，3號(hào)袋子中各取一球放入4號(hào)袋中，則4號(hào)袋中自球數(shù)X的期望E(X)=______，方差D(X)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4號(hào)袋中的白球數(shù)X取決于前3個(gè)袋中取出的球是否是白球，若記則X1，X2，X3相互獨(dú)立，且服從同一分布：而X-3+X1+X2+X3，所以19、設(shè)X表示12次獨(dú)立重復(fù)射擊擊中目標(biāo)的次數(shù)，每次擊中目標(biāo)的概率為0．5，則E(X2)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：39知識(shí)點(diǎn)解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．20、設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立同分布，且都服從P=的0-1分布，則隨機(jī)變量Z=max{X，Y}的分布律為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：顯然Z也是離散型隨機(jī)變量，只取0，1兩個(gè)值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=P{Z=1}=1一P{Z=0}=于是Z的分布律為21、已知實(shí)二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3經(jīng)正交變換x=Py可化成標(biāo)準(zhǔn)形f=6y12，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1，…，Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其均值為+(2—3a)S2是A的無(wú)偏估計(jì)，則a=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接由=λ求a．依題意EX=DX=λ，故+(2—3a)ES2=aλ+(2—3a)λ=(2—2a)λ=λ，解得a=23、設(shè)f(x，y)在區(qū)域D：x2+y2≤t2上連續(xù)且f(0，0)=4，則=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識(shí)點(diǎn)解析：24、設(shè)A，B相互獨(dú)立，只有A發(fā)生和只有B發(fā)生的概率都是，則P(A)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意得25、設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任取兩件，已知兩件中有一件不合格，則另一件產(chǎn)品也不合格的概率為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)=｛第一件產(chǎn)品合格｝，B=｛第二件產(chǎn)品合格｝，則所求概率為考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷第2套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、設(shè)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=_________，b=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a=一1，b=1知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。2、已知A=，則A-1=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以那么A-1=3、若則a=___________，b=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1，－4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍宜缘胊=1，于是由等價(jià)無(wú)窮小代換得b=－4。因此，a=1，b=－4。4、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為則P{X+Y≤1}=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1/4知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析5、設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份和5份．隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份．(1)求先抽取的一份是女生表的概率P=___________；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：29/90,20/61知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析6、交換積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析7、曲線y2=2x在任意點(diǎn)處的曲率為_(kāi)______.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：用曲率計(jì)算公式由y2=2x2yy’=2，y’=1／y，y"=－1／y2y’=－1／y3.8、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，且f2(x)dx=1，則xf(x)f′(x)dx=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因=f(x)f′(x)，所以9、設(shè)函數(shù)y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1確定，則曲線y=y(x)在x=0對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x＋1知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x=0時(shí)，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1兩邊對(duì)x求導(dǎo)得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，將x=0，y=1代入得=一2，故所求法線方程為y一1=(x一0)，即y=x+1．10、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，則曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的切平面方程為_(kāi)__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：2x+3y一z一2=0知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+0(ρ)得f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1，1)的法向量為n==(2，3，一1)，所以切平面方程為π：2(x—0)+3(y一1)一(z—1)=0，即π：2x+3y一z一2=0．11、=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：12、已知χ2～χ2(n)，則E(χ2)＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：由χ2分布的典型模式χ2＝X12＋X22＋…＋Xn2＝Xi2知，E(χ2)＝E(χi2)，而χi～N(0，1)，且Xi相互獨(dú)立，由于E(Xi2)＝D(Xi)＋[E(Xi)]2＝1＋0＝1，所以E(χ2)＝E(Xi2)＝n．13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由｜a+b｜2=(a+b)(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2ab=13+19+2ab=24，得ab=一4，則｜a—b｜2=(a一b)(a一b)=｜a｜2+｜b｜2一2ab=13+19+8=40．則｜a—b｜=．14、過(guò)點(diǎn)A(3，2，1)且平行于直線L1：及L2：的平面方程為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求平面為π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0知識(shí)點(diǎn)解析：直線L1，L2的方向向量為s1=｛1，一2，1｝，s2=｛2，1，0｝，所求平面的法向量為n=s1×s2=｛一1，2，5｝，則所求平面為π：一(x一3)+2(y一2)+5(z一1)=0，或π：x一2y一5z+6=0．15、設(shè)L是平面上從圓周x2+y2=a2上一點(diǎn)到圓周x2+y2=b2上一點(diǎn)的一條光滑曲線(a＞0，b＞0)，r=，則I=∫Lr3(xdx+ydy)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／5(b5－a5)知識(shí)點(diǎn)解析：r3(xdx+ydy)=1／2r3d(x2+y2)=+r3dr2=r4dr=d(1／5r5)，=∫Ld(1／5r5)=1／5r5|r=ar=b=1／5(b5－a5)．16、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在區(qū)域上服從均勻分布，則(X，Y)的關(guān)于X的邊緣概率密度f(wàn)X(x)在點(diǎn)x=e處的值為_(kāi)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：D如圖3—2陰影部分所示，它的面積所以(X，Y)的概率密度為17、設(shè)函數(shù)f(x)在[2，+∞)上可導(dǎo)且f(2)=1，如果f(x)的反函數(shù)g(x)滿足=x2f(x)+x，則f(4)=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x≥2時(shí)，將已知方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因?yàn)間(x)是f(x)的反函數(shù)，所以g[f(x)]=x，于是，上式可寫成xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即(x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，這是一個(gè)一階線性微分方程，利用一階線性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，所以于是18、已知A=，且AXA*=B，r(X)=2，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，則19、設(shè)隨機(jī)變量x～N(μ，σ2)，且方程x2+4x＋X=0無(wú)實(shí)根的概率為，則μ=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榉匠蘹2+4x+X=0無(wú)實(shí)根，所以16—4X＜0，即X＞4．由X～N(μ，σ2)且P(x＞4)=，得μ=4．20、設(shè)(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則P{X＜y}=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，所以X—Y～N(0，2σ2)，從而P{X＜Y}=P{X—Y＜0}=。21、設(shè)f(x)連續(xù)，且=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：∫0xtf(x—t)dt∫x0(x一μ)f(μ)(一dμ)=x∫0xf(μ)dμ—∫0xμf(μ)dμ，∫0x(x一t)2dt∫x0arctanμ2(一du)=∫0xarctanμ2dμ，22、微分方程y"-4y=e2x的通解為_(kāi)_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為_(kāi)________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．則有24、設(shè)A，B都是三階矩陣，A=，且滿足(A*)－1B=ABA+2A2，則B=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=一3，A*=｜A｜A－1=一3A－1，則(A*)－1B=ABA+2A2化為AB=ABA+2A2，注意到A可逆，得B=BA＋2A或一B=3BA+6A，則B=一6A(E＋3A)－1，E＋3A=25、標(biāo)準(zhǔn)答案：1/3知識(shí)點(diǎn)解析：考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷第3套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：2、一批產(chǎn)品有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為_(kāi)______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記Ai=(第i次取得次品)，i=1，2．3、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、沿f(x)連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0處連續(xù)，則A=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a+b知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镕(x)在x=0處連續(xù)，所以A=a+b．5、設(shè)y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，則dy=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx知識(shí)點(diǎn)解析：利用一階微分形式不變性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx．6、設(shè)的伴隨矩陣為A*，且A*BA=2BA一8E，則矩陣B=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：B=8(2E—A*)—1A—1=8[A(2E—A*)]—1=8(2A—AA*)—1=8(2A—｜A｜E)—1=8(2A+2E)—1=4(A+E)—1=。7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，則層(XY2)=_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：μ(μ2+σ2)．知識(shí)點(diǎn)解析：由于(X，Y)服從正態(tài)分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，說(shuō)明X，Y獨(dú)立同分布，故X與Y2也獨(dú)立．由期望的性質(zhì)有E(XY2)=EXEY2，又EX=μ，EY2=DY+(EY)2=σ2+μ2，所以E(XY2)=μ(μ2+σ2)．8、已知α1，α2，α3，α4是3維列向量，矩陣A＝(α1，α2，2α3－α4＋α2)，B＝(α3，α2，α1)，C＝(α1＋2α2，2α2＋3α4，α4＋3α1)，若｜B｜＝－5，｜C｜＝40，則｜A｜＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：8知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)，有｜A｜＝｜α1，α2，2α3－α4＋α2｜＝｜α1，α2，2α3－α4｜＝｜α1，α2，2α3｜－｜α1，α2，α4｜＝－2｜α3，α2，α1｜－｜α1，α2，α4｜＝10－｜α1，α2，α4｜．由于C＝(α1＋2α2，2α2＋3α4，α4＋3α1)＝(α1，α2，α4)，(*)兩邊取行列式，有｜C｜＝｜α1，α2，α4｜.＝20｜α1，α2，α4｜．又由｜C｜＝40，知｜α1，α2，α4｜＝2．故｜A｜＝8．9、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：＋C知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)j階方陣A、B滿足關(guān)系式A-1BA=6A+BA，且則B=________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣方程右乘A-1，化簡(jiǎn)為A-1B=6E+B，得(A-1-E)B=6E．11、設(shè)隨機(jī)變量X概率分布為P{X=k}=(k=0，1，2…)，則E(X2)=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)曲面∑為z=xydydz+xdzdx+x2dxdy=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：4π知識(shí)點(diǎn)解析：利用高斯公式及輪換對(duì)稱性進(jìn)行求解。補(bǔ)平面∑1為x2+y2≤4，z=0的下側(cè)，記∑和∑1所圍的空間區(qū)域?yàn)棣?，則13、設(shè)an＞0，且則P的取值范圍為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填P>2．知識(shí)點(diǎn)解析：14、若直線與直線L2：x+1=y-1=z相交，則λ=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：L1的方向向量S1=(1，2，λ)，L2的方向向量s2=(1，1，1)，L1上的點(diǎn)A(1，一1，1)，L2上的點(diǎn)B(一1，1．0)．因L1與L2相交，故s1，s2與=(一2，2，一1)三向量共面，(s1×s2).因?yàn)?5、若A=(4，5，6)，則|A|=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，則r(A)≥1”，易見(jiàn)本題中r(A)=1，所以|A|=0．或作矩陣乘法由A中兩行元素成比例可知|A|=0．16、已知三階行列式=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合行列式的性質(zhì)：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面，即17、與矩陣A=可交換的矩陣為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣B=與A可交換，則由AB=BA可得即x3=—2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)。18、設(shè)X1，X2，…Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)量，則a＝_______，b＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：樣本方差是總體方差σ2的無(wú)偏估計(jì)，所以19、微分方程(2x+3)y"=4y’的通解為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：20、設(shè)矩陣A=E-αβT，其中α，β是n維非零列向量，且A2=3E-2A，則βTα=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳=E-αβT，其中α，β是N維非零列向量，且A2=3E-2A，所以A2=(E-αβT)(E-αβT)=E-αβT-αβT+αβTαβT=E-2αβT+(βTα)αβT=E+(βTα-2)αβT①由已知A2=3E-2A得A2=3E-2(E-αβT)=E+2αβT②由①、②兩式整理得，E+(βTα-2)αβT=E+2αβT，從而有(βTα-4)αβT=0，又因?yàn)棣粒率莕維非零列向量，所以αβT≠0；從而有βTα-4=0，即βTα=4．21、設(shè)y=ec，y=x2為某二階線性齊次微分方程的兩個(gè)特解，則該微分方程為_(kāi)_____標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于方程形狀已知，故只要將兩個(gè)特解分別代入并求出系數(shù)即可．方法一設(shè)所求的二階齊次線性微分方程為y’’+p(x)y’+q(x)y=0．分別以y1=ex，y2=x2代入，得方法二由于y1=ex與y2=x2線性無(wú)關(guān)，故該二階線性齊次微分方程的通解為y=C1ex+C2x2，①y’=C1ex+2C2x，②y’’=C1ex+2C2．③由式①，式②，式③消去C1與C2便得如上所填．22、設(shè)A是三階矩陣，其三個(gè)特征值為，則｜4A*+3E｜=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：10知識(shí)點(diǎn)解析：23、隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=ke-｜x｜(一∞＜x＜+∞)，則E(X2)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：24、設(shè)隨機(jī)變量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，則n=________，P=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：n=15，p=知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镋(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1一p)+n2P2，所以np=5，np(1一p)+n2p2=．25、=_____________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷第4套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、當(dāng)x→0時(shí)，x—sinxcos2x～cx2，則c=___________，k=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：c=，k=3．知識(shí)點(diǎn)解析：2、方程｜A｜＝＝0的根是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)知識(shí)點(diǎn)解析：由觀察可知，χ1＝a1時(shí)，1、2行對(duì)應(yīng)元素相等，｜A｜＝0；χ2＝a2時(shí)，2、3行對(duì)應(yīng)元素相等，｜A｜＝0，χ3＝a3，時(shí)，3、4行對(duì)應(yīng)元素相等，｜A｜＝0．又由行列式的每行元素和為χ＋a1＋a2＋a3，將2、3、4列各元素加到第1列相應(yīng)元素上去，且提取公因式得｜A｜＝(χ＋a1＋a2＋a3)＝0，故有χ＝－(a1＋a2＋a3)所以方程是一元四次方程，四個(gè)根依次是a1，a2，a3，－(a1＋a2＋a3)．3、設(shè)α，β均為3維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT＝，則αβT＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，則而αTβ＝(a1，a2，a3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3可以看出αTβ也就是矩陣αβT的主對(duì)角線元素的和，所以αTβ＝1＋6＋(－2)＝5．4、設(shè)函數(shù)f(x)有任意階導(dǎo)數(shù)且f’(x)=f2(x)，則f(n)(x)=______(n＞2)·標(biāo)準(zhǔn)答案：n!fn+1(x)知識(shí)點(diǎn)解析：將f’(x)=f2(x)兩邊求導(dǎo)得f”(x)=2f(x)f’(x)=2f3(x)，再求導(dǎo)得f"’(x)=3!f2(x)f’(x)=3!f4(x)．由此可歸納證明f(n)(x)=n!fn+1(x)．5、設(shè)y=sinx2，則=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)u=x3，則x=，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即得6、設(shè)隨機(jī)變量X概率分布為P{X=k}=(k=0，1，2，…)則E(X2)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：由概率分布的性質(zhì)P{X=k}=1，有即隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則有E(X)=1，D(X)=1E(X2)=D(X)+[E(X)]2=2。7、已知隨機(jī)變量X的概率分布為P{X=k}=則P{Y≤2．5}=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、拋物線y2=2px，從原點(diǎn)到這條曲線上的一點(diǎn)M(x，y)的弧長(zhǎng)s=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：不妨設(shè)p＞0，y＞0，則9、∫(arcsinx)2dx=____________.標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：應(yīng)填知識(shí)點(diǎn)解析：函數(shù)u(x，y，z)沿單位向量n=一{cosα，cosβ，cosγ}的方向?qū)?shù)為本題直接用上述公式即可．本題若，n={m，n，l)非單位向量，則應(yīng)先將其單位化，從而得方向余弦為11、設(shè)L是區(qū)域D：x2＋y2≤一2x的正向邊界，則I＝(x3一y)dx＋(x一y3)dy＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2π知識(shí)點(diǎn)解析：把線積分表成D是圓域：(x＋1)2＋y2≤1，于是由格林公式．12、設(shè)f＝χ12＋χ22＋5χ32＋2aχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3為正定二次型，則未知系數(shù)a的范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：＜a＜0知識(shí)點(diǎn)解析：二次型的矩陣為其各階主子式為因?yàn)閒為正定二次型，所以必有1－a2＞0且－a(5a＋4)＞0，因此4＜a＜0．故當(dāng)＜a＜0時(shí)，A正定，從而f正定．13、設(shè)x=2a+b，y=ka+b，其中｜a｜=1，｜b｜=2，且a⊥b．若以x和y為鄰邊的平行四邊形面積為6，則k的值為_(kāi)________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1或5知識(shí)點(diǎn)解析：以x，y為鄰邊的平行四邊形的面積14、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則P的取值范圍是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：確定an=關(guān)于1／n的階．由于而an．收斂p＞1，因此p的取值范圍是(1，+∞)．15、設(shè)z==_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階齊次線性微分方程的兩個(gè)特解，則該微分方程為_(kāi)_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由于方程結(jié)構(gòu)已知，故只要將兩個(gè)特解分別代入并求出系數(shù)即可．由于y=ex與y：=x2線性無(wú)關(guān)，故該二階齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2x2，y’=C1ex+2C2x，y’’=C1ex+2C2．三式聯(lián)立消去C1與C2便得如上所填．17、設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n-1，則線性方程組AX=0的通解為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：X=k(1，1，…，1)T，k為任意實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：因A的秩為n-1，故方程組AX=0的基礎(chǔ)解系只含n-(n-1)=1個(gè)解向量，又A的各行元素之和為零，知(1，1，…，1)T為AX=0的非零解，則AX=0的通解為X=k(1，1，…，1)T，k為任意實(shí)數(shù)．18、微分方程的通解是________標(biāo)準(zhǔn)答案：y=(C1+C2)ex+1，其中C1，C2為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．其通解為y=y齊+y*，其中y齊是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，y*是非齊次方程的—個(gè)特解．因原方程對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2-2r+1=0，即(r-1)2=0，特征根為r1,2=1．故y=(C1+C2x)C，其中C1，C2為任意常數(shù)．又據(jù)觀察，顯然y*=1與y齊合并即得原方程通解．19、(Ⅰ)已知A=，則(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，則A－1=____________．(Ⅲ)設(shè)A，B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=A一2B，B=，則(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)設(shè)A=，B=(E+A)－1(E—A)，則(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，則(E+A+A2)－1=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：21、標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=3知識(shí)點(diǎn)解析：解得λ=5，a=2，b=3．22、設(shè)A是m×n矩陣，E是n階單位陣，矩陣B=—aE+ATA是正定陣，則a的取值范圍是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＜0知識(shí)點(diǎn)解析：BT=(—aE+ATA)T=—aE+ATA=B，故B是一個(gè)對(duì)稱矩陣。B正定的充要條件是對(duì)于任意給定的x≠0，都有xTBx=xT(—aE+ATA)x=—axTx+xTATAx=—axTx+(Ax)TAx＞0，其中(Ax)T(Ax)≥0，xTx＞0，因此a的取值范圍是—a＞0，即a＜0。23、設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，若α1+α2+2α3=(2，0，0，0)T，3α1+α2=(2，4，6，8)T，則方程組Ax=b的通解是___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．知識(shí)點(diǎn)解析：由于秩r(A)=3，所以齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由4一r(A)=1個(gè)向量所構(gòu)成．又因?yàn)?α1+α2+2α3)一(3α1+α2)=2(α3一α1)=(0，一4，一6，一8)T是Ax=0的解，即其基礎(chǔ)解系可以是(0，2，3，4)T．由A(α1+α2+2α3)=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，知(α1+α2+2α3)是方程組Ax=b的一個(gè)解．那么根據(jù)方程組解的結(jié)構(gòu)知其通解是(，0，0，0)T+k(0，2，3，4)T．24、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1和X2均服從正態(tài)分布，則D(｜X1—X2｜)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意隨機(jī)變量X1和X2相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布，設(shè)Z=X1—X2，則Z～N(0，1)，其概率密度函數(shù)為φ(z)=。D(｜X1—X2｜)=D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)—E2(｜Z｜)=E(Z2)—E2｜Z｜=D(Z)+E2(Z)—E2｜Z｜，顯然，D(Z)=1，E(Z)=0。所以，D(｜X1—X2｜)=1+0—。25、一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為_(kāi)________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：Ai表示“第i次取的是次品”，i=1，2．則有考研數(shù)學(xué)一（填空題）模擬試卷第5套一、填空題(本題共25題，每題1.0分，共25分。)1、方程f(x)==0的全部根是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1，2，3．知識(shí)點(diǎn)解析：由范德蒙行列式得f(x)=(2—1)(3—1)(x一1)(3—2)(x一2)(x一3)．2、設(shè)f(x)連續(xù)，且，則=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a2f(a)知識(shí)點(diǎn)解析：3、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根據(jù)洛必達(dá)法則易知4、設(shè)L是柱面x2+y2=1與平面z=x+y的交線，從z軸正向往z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針?lè)较?，則曲線積分+y2/2dz=__________.標(biāo)準(zhǔn)答案：π知識(shí)點(diǎn)解析：5、已知f’(ex)=xe-x，且f(1)=0，則f(x)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令ex=t，則x=lnt，于是有f’(t)=積分得由f(1)=0得C=0，故f(x)=6、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為則EX=_______，DX=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；知識(shí)點(diǎn)解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析8、設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且f’(1)=2，則f(x3)｜x=－1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f’(x)為偶函數(shù)．由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．9、曲線sin(xy)+ln(y-x)=x在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：y=x+1.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、設(shè)函數(shù)u(x，y，z)=，單位向量n=，則=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)D為y＝x3及x＝一1，y＝1所圍成的區(qū)域，則I＝＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：D如圖9．1所示．添加輔助線y＝一x3(x≤0)，將D分解成D＝D1∪D2，其中D1關(guān)于y軸對(duì)稱，D2關(guān)于x軸對(duì)稱，被積函數(shù)對(duì)x，y均為奇函數(shù)12、設(shè)X～N(μ．σ2)，其中μ和σ2(σ＞0)均為未知參數(shù)．從總體X中抽取樣本X1，X2，…，Xn，樣本均值為，B2＝，則未知參數(shù)μ和σ2的矩估計(jì)量分別為＝_______，＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：；B2．知識(shí)點(diǎn)解析：由于待估計(jì)參數(shù)有2個(gè)：μ，σ2，故考慮一階、二階矩．由于E(X)＝μ，E(X2)＝D(X)＋[E(X)]2＝σ2＋μ2，令解得μ和σ2的矩估計(jì)量分別為，13、若的代數(shù)余子式A12＝一1，則代數(shù)余子式A21＝______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：按代數(shù)余子式定義14、已知曲線L的方程為y=1一｜x｜，x∈[一1，1]，起點(diǎn)是(一1，0)，終點(diǎn)是(1，0)，則曲線積分∫Lxydx+x2dy=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：令15、設(shè)空間區(qū)域Ω是由曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=2所圍成的立體，則(x2+y2)dv=____