串講01 指數(shù)冪與指數(shù)函數(shù)（考點串講）（解析版）

串講01指數(shù)冪與指數(shù)函數(shù)知識結(jié)構(gòu)要點梳理知識點一根式1．n次方根定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*個數(shù)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x不存在[歸納總結(jié)](1)任何實數(shù)均有奇次方根，僅有非負(fù)數(shù)才有偶次方根，負(fù)數(shù)沒有偶次方根．(2)eq\r(n,0)＝0(n＞1，且n∈N*)．2．根式(1)定義：式子__eq\r(n,a)__叫做根式，這里n叫做__根指數(shù)__，a叫做__被開方數(shù)__.(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝a.②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))知識點二指數(shù)冪1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝__eq\r(n,am)__(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝__eq\f(1,\r(n,am))__(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于__0__，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪__不存在__2.無理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．[知識點撥]在引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念后，指數(shù)概念就實現(xiàn)了由整數(shù)指數(shù)冪向有理數(shù)指數(shù)冪的擴(kuò)展；在引入無理數(shù)指數(shù)冪的概念后，指數(shù)概念就實現(xiàn)了由有理數(shù)指數(shù)冪向?qū)崝?shù)指數(shù)冪的擴(kuò)展．知識點三指數(shù)函數(shù)1.函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．思考：為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a>0，且a≠1?提示：①如果a＝0，當(dāng)x>0時，ax恒等于0，沒有研究的必要；當(dāng)x≤0時，ax無意義．②如果a<0，例如y＝(－4)x，這時對于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，該函數(shù)無意義．③如果a＝1，則y＝1x是一個常量，沒有研究的價值．為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a>0，且a≠1.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)思考：對于指數(shù)函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝(eq\f(1,3))x，…，為什么一定過點(0，1)?提示：當(dāng)x＝0時，a0＝1(a≠0)恒成立，即指數(shù)函數(shù)的圖象一定過點(0，1)．題型探究：考點一n次方根的概念例1.若a是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)，負(fù)數(shù)無偶次方根判斷.【詳解】A.式子對于有意義；B.式子對于有意義；C.式子對于有意義；D.式子對于無意義；故選：D例2.若有意義，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的式子有意義，列式求解即得.【詳解】由有意義，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：B『規(guī)律方法』(1)任意實數(shù)的奇次方根只有一個，正數(shù)的偶次方根有兩個且互為相反數(shù)；(2)(eq\r(n,a))n是實數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實數(shù)a的取值由n的奇偶性決定．【變式】1.是實數(shù)，則下列式子中可能沒有意義的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用根式有意義的條件即可判斷.【詳解】當(dāng)時，的偶次方根無意義.故選：D2.若，則化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.考點二根式的化簡例3．當(dāng)有意義時，化簡的結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根式有意義求得的范圍，化簡所求根式即可.【詳解】因為有意義，所以，則，則，故選：C.[歸納提升]1.根式化簡或求值的注意點解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡或求值．2．對eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的進(jìn)一步認(rèn)識(1)對(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，(eq\r(n,a))n對任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，(eq\r(n,a))n只有當(dāng)a≥0時才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)對eq\r(n,an)的理解：對任意a∈R都有意義，且當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).【變式探究】1.（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.2.計算下列各式：①eq\r(5,－a5)＝__－a__；②eq\r(6,3－π6)＝__π－3__；【解析】(1)①eq\r(5,－a5)＝－a.②eq\r(6,3－π6)＝eq\r(6,π－36)＝π－3.考點三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例4.將下列各分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫成根式的形式：（1）；（2）；（3）．【思路分析】(1)關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(2)運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡．【解析】（1），，故；（2），，故；（3），，故．『規(guī)律方法』進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化時，主要依據(jù)公式aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m、n∈N＋)，同時應(yīng)注意以下幾點：(1)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，若冪指數(shù)為負(fù)數(shù)，可先將其化為正數(shù)，再利用公式化為根式；(2)若表達(dá)式中根式較多，含有多重根號時，要理清被開方數(shù)，由里向外逐次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，最后再運用相關(guān)的運算性質(zhì)化簡．例5.將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求解.【詳解】將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為.故選：B.【變式探究】1.已知a>0，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用分?jǐn)?shù)指數(shù)與根式的互化公式求解即可【詳解】.故選：B2．將化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式求解即可【詳解】解：故選：A考點四實數(shù)指數(shù)冪的求值例5.計算下列各式：（2）(3)(2eq\f(7,9))0.5＋0.1－2＋(2eq\f(10,27))－eq\s\up7(\f(2,3))＋eq\f(37,48)[解析](1)原式＝(3eq\r(2)×2eq\s\up6(\f(\r(2),3)))3eq\r(2)＝36×22＝2916.(3)原式＝(eq\f(25,9))eq\s\up7(\f(1,2))＋eq\f(1,0.12)＋(eq\f(64,27))－eq\s\up7(\f(2,3))＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)＋eq\f(37,48)＝103.[規(guī)律方法]關(guān)于實數(shù)指數(shù)冪的運算(1)底數(shù)相同時直接對指數(shù)上的無理數(shù)進(jìn)行加減運算．(2)若式子中含有根式，則先化為指數(shù)式再進(jìn)行運算，一般指數(shù)中的根式可以保留．【變式】1.計算下列各式：（2）eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27).[解析](1)原式＝(πeq\s\up3(eq\r(3))－eq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝(πeq\s\up6(\f(\r(3),2)))2eq\r(3)＝π3.（2）eq\r(3,3)×eq\r(4,3)×eq\r(4,27)＝3eq\s\up7(\f(1,3))×3eq\s\up10(\f(1,4))×3eq\s\up10(\f(3,4))＝3eq\r(3,3).2．化簡求值:【詳解】原式.考點五實數(shù)指數(shù)冪的運算例6.下列運算錯誤的是（

）A．a(chǎn)3+a3=2a6 B．a(chǎn)6÷a-3=a9C．a(chǎn)3·a3=a6 D．（-2a2）3=-8a6【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算規(guī)則，逐個驗證選項.【詳解】，選項A的運算錯誤；，選項B的運算正確；，選項C的運算正確；，選項D的運算正確；運算錯誤的是A，故選：A例7.化簡求值：；【詳解】【變式探究】1.化簡求值：【詳解】由題意得原式=2．化簡求值:解:原式為考點六指數(shù)函數(shù)的概念例8.(1)下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(B)A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值．[解析](1)函數(shù)y＝(－4)x的底數(shù)－4<0，故A中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝πx的系數(shù)為1，底數(shù)π>1，故B中函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝－4x的系數(shù)為－1，故C中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)；函數(shù)y＝ax＋2＝a2·ax的系數(shù)為a2，故D中函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)，故選B．(2)【詳解】由是指數(shù)函數(shù)，可得，解得．[歸納提升]1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.2．求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件．【變式探究】1.已知指數(shù)函數(shù)，求.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，列出方程求得，得到函數(shù)的解析式，即可求解的值.【詳解】由題意，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，可得，解得或（舍），所以，所以.考點七指數(shù)函數(shù)解析式例9.已知函數(shù)(，且)，若函數(shù)的圖像過點，求實數(shù)的值．【答案】【分析】將點代入，結(jié)合的范圍，即可求得實數(shù)的值．【詳解】將點代入，得，即，所以或，又因為，且，所以．【變式探究】已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求和．【答案】，．【分析】將代入指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中可得，進(jìn)入代入即可求解.【詳解】因為且的圖象經(jīng)過點，所以，解得（負(fù)根舍去），于是．所以，．考點八與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域例10.函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域列不等式組求解.【詳解】由題意，，得，所以.故選：A【變式探究】函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由被開方數(shù)非負(fù)，解不等式即可【詳解】要使函數(shù)有意義，則需，即為，解得，，則定義域為.故選：A.【點睛】與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域?值域（1）的定義域與的定義域相同.（2）先確定的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域?單調(diào)性確定函數(shù)的值域.考點九指數(shù)函數(shù)的圖象例11.設(shè)，，，都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關(guān)系是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定，，，與的關(guān)系，再由時，函數(shù)值的大小判斷.【詳解】因為當(dāng)?shù)讛?shù)大于時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于且小于時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，所以，大于，，大于且小于，由圖知：，即，，即，所以.故選：B例12.若，則函數(shù)與的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】因為，所以是增函數(shù)，的圖象與軸上的交點為故只有A項正確．故選：A.【變式探究】1.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)平移規(guī)則分析.【詳解】是單調(diào)遞增的函數(shù)，經(jīng)過，漸近線為，當(dāng)時，，，漸近線為，所以圖像如下圖：故選：B.2.函數(shù)與，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由直線方程得到直線為增函數(shù)，又，可排除D選項.【詳解】對于A，C，由于函數(shù)是增函數(shù)，圖象應(yīng)該呈上升趨勢，所以A，C錯誤；對于B，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，故D錯誤；故選：B考點十冪式大小的比較例13.用“>”連接下列各數(shù)，，【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.【詳解】因為是上的減函數(shù)，所以，又，，所以.故答案為:例14.請將三個數(shù)，，，按照從小到大的排序排列．【答案】【分析】化為同底指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求解．【詳解】，∵在上單調(diào)遞增，且，∴，∴．故答案為：【變式探究】已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小關(guān)系是（用“＞”連接）.【答案】c>b>a【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出大小.【詳解】為單調(diào)遞減函數(shù)，且，故c>b>a故答案為：c>b>a考點十一冪式大小的比較例15.解指數(shù)方程解

．解方程，得．【變式探究】解指數(shù)方程【詳解】，故，∴，∴，得.素養(yǎng)作業(yè)1.把根式aeq\r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(D)A．(－a)eq\s\up5(\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up5(\f(3,2))C．－aeq\s\up5(\f(3,2)) D．a(chǎn)eq\s\up5(\f(3,2))【解析】aeq\r(a)＝a·aeq\s\up5(\f(1,2))＝aeq\s\up5(\f(3,2))，故選D．2.下列運算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】選項A，表示的算術(shù)平方根；選項B，除法運算：；選項C，滿足乘法分配律，；選項D，滿足乘法結(jié)合律.【詳解】對于選項A，，不正確；對于B，，正確，對于C，，錯誤；對于D，，不正確.故選：B.4.將寫成根式，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直接利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的公式求解.【詳解】將寫成根式為.故