模型02、含彈簧的物理模型（原卷版）

模型二、含彈簧的物理模型【模型概述】縱觀歷年的高考試題，和彈簧有關(guān)的物理試題占有相當(dāng)大的比重。高考命題者常以彈簧為載體設(shè)計(jì)出各類試題，這類試題涉及靜力學(xué)問題、動(dòng)力學(xué)問題、動(dòng)量守恒和能量守恒問題、振動(dòng)問題、功能問題等，幾乎貫穿了整個(gè)力學(xué)的學(xué)問體系，能很好能很好地考查同學(xué)的綜合分析力量?！灸Ｐ吞攸c(diǎn)】中學(xué)物理中的

“彈簣”和“橡皮繩”也是抱負(fù)化模型，具有如下幾個(gè)特性:

(1)彈力遵循胡克定律F=kx，其中x是彈簧的形變量。

(2)輕:即彈簧(或橡皮繩)的重力可視為零。

(3)彈簧既能受拉力，也能受壓力(沿著彈簧的軸線)，橡皮繩只能受拉力，不能受壓力。(4)由于彈簧和橡皮繩受力時(shí)，其形變較大，發(fā)生形變需要一段時(shí)間，所以彈簧和橡皮繩中的彈力不能突變。但是，當(dāng)彈簧和橡皮繩被剪斷時(shí)，它們產(chǎn)生的彈力馬上消逝?！灸Ｐ徒忸}】胡克定律、牛頓其次定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律【模型訓(xùn)練】【例1】如圖所示，一勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l0的輕彈簧，上端固定在天花板上，下端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。彈簧的形變?cè)趶椥韵薅葍?nèi)。已知重力加速度為g。下列推斷中正確的是（）A．彈簧的伸長(zhǎng)量為 B．彈簧的伸長(zhǎng)量為mgkC．彈簧的總長(zhǎng)度為l0+mgk D．彈簧的總長(zhǎng)度為變式1.1如圖所示，將一輕彈簧上端懸掛在天花板上，下端連接物體A，A下面再用棉線掛一物體B，A、B質(zhì)量相等，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?。燒斷棉線，下列說法中正確的是（）A．燒斷棉線瞬間，A的加速度大小為gB．燒斷棉線之后，A向上始終加速C．燒斷棉線之后，A在運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒D．在最高點(diǎn)彈簧彈力等于mg變式1.2兩根相同的輕彈簧的原長(zhǎng)均為l，將兩彈簧與兩相同物體按如圖所示的方式連接并懸掛于天花板上，靜止時(shí)兩根彈簧的總長(zhǎng)為2.6l，現(xiàn)用手托著B物體，使下面的彈簧2恢復(fù)到原長(zhǎng)，則下面說法正確的有（

）A．懸掛穩(wěn)定時(shí)彈簧1的長(zhǎng)度為1.2l，彈簧2的長(zhǎng)度為1.4lB．彈簧2恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)彈簧1長(zhǎng)度為1.4lC．物體A上升的距離為0.4lD．物體B上升的距離為0.4l【例2】如圖所示，內(nèi)壁光滑的半球形容器固定在水平面上。將一輕彈簧的一端固定在半球形容器底部處，為球心。當(dāng)彈簧另一端與質(zhì)量為的小球相連時(shí)，小球靜止于點(diǎn)。已知與水平方向的夾角為，則半球形容器對(duì)球的支持力和彈簧的彈力分別為（）（）A．， B．，C．， D．，變式2.1如圖所示，質(zhì)量均為m的A、B兩球，由一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接靜止于半徑為R的光滑半球形碗中，彈簧水平，兩球間距為R且球半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑．則彈簧的原長(zhǎng)為（

）A．＋RB．＋RC．＋RD．＋R變式2.2如圖所示，在半徑為R的光滑半球形碗中，一根水平放置的輕彈簧兩端連接A、B兩球，兩球靜止于半球形碗中。已知A、B球質(zhì)量均為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B兩球之間的距離為R，球的半徑遠(yuǎn)小于碗的半徑，求：（1）半球形碗對(duì)A球的支持力大??；（2）彈簧的原長(zhǎng)?！纠?】如圖所示，質(zhì)量分別為m1和m2的兩塊方木中間以輕彈簧相連，在空中設(shè)法使彈簧處于自然長(zhǎng)度（即其中沒有彈力）后，給它們相同的初速度，向上拋出。在空中時(shí)，發(fā)覺系統(tǒng)始終保持豎直，且彈簧長(zhǎng)度保持自然長(zhǎng)度?？諝庾枇Σ挥?jì)。則（）A．m1肯定等于m2B．m1肯定大于m2C．m1肯定小于m2D．不能通過該現(xiàn)象推斷m1和m2的大小關(guān)系變式3.1如圖所示，一小球從空中下落，從它剛接觸彈簧到把彈簧壓縮至最短的過程中，若不計(jì)空氣阻力，則關(guān)于小球能量的變化，下列推斷正確的是（）A．動(dòng)能始終減小 B．動(dòng)能先增加后減小C．機(jī)械能先增加后減小 D．機(jī)械能保持不變變式3.2如圖所示，用輕彈簧將質(zhì)量均為m=1kg的物塊A和B連接起來，將它們固定在空中，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)，A距地面的高度h1=0.15m．同時(shí)釋放兩物塊，設(shè)A與地面碰撞后速度馬上變?yōu)榱悖捎贐壓縮彈簧后被反彈，使A剛好能離開地面（但不連續(xù)上升）．已知彈簧的勁度系數(shù)k=100N/m，取g=10m/s2．求：（1）物塊A剛到達(dá)地面的速度；（2）物塊B反彈到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能；（3）若將B物塊換為質(zhì)量為2m的物塊C（圖中未畫出），仍將它與A固定在空中且彈簧處于原長(zhǎng)，從A距地面的高度為h2處同時(shí)釋放，C壓縮彈簧被反彈后，A也剛好能離開地面，此時(shí)h2的大?。纠?】如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的彈簧原長(zhǎng)為x0=12cm，一端固定于質(zhì)量m=3kg的物體上，另一端一水平拉力F。物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.225，當(dāng)彈簧拉長(zhǎng)至x1=16.5cm時(shí)，物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，）；（1）若將彈簧壓縮至x2=8cm，求物體受到的摩擦力大小及方向。（2）若將彈簧拉長(zhǎng)至x3=18cm，求物體體受到的摩擦力大小及方向。變式4.1如圖所示，一質(zhì)量m=3kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，原長(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧一端固定于物體上，另一端施一水平拉力F。已知最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度g取。（1）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為21cm時(shí)，物體恰好向右勻速運(yùn)動(dòng)，求彈簧的勁度系數(shù)；（2）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為12cm時(shí)，求物體受到的摩擦力；（3）當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為23cm時(shí)，求物體受到的摩擦力。變式4.2如圖所示，兩木塊A、B質(zhì)量分別為、，中間由水平輕質(zhì)彈簧相連，彈簧勁度系數(shù)，彈簧允許的最大形變量為15cm，水平拉力作用在木塊A上，系統(tǒng)恰好在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小g取，已知木塊A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同且均為μ（大小未知）。求：（1）μ的值；（2）彈簧的伸長(zhǎng)量為多少；（3）若將另一木塊C放置在木塊B上，施加拉力，使系統(tǒng)仍做勻速運(yùn)動(dòng)（彈簧在彈性限度內(nèi)），拉力的最大值是多少？木塊C的質(zhì)量是多少？【例5】如圖所示，傾角為的斜面固定在水平地面上，輕彈簧的一端固定在斜面的底端，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)另一端與斜面上的點(diǎn)平齊。質(zhì)量為的小滑塊從斜面上的點(diǎn)由靜止下滑，滑塊在點(diǎn)接觸彈簧并壓縮彈簧到點(diǎn)時(shí)開頭彈回。已知、間的距離為0.4m，、間的距離為0.2m，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度取，取3.87。（1）若斜面光滑，求滑塊運(yùn)動(dòng)中彈簧彈性勢(shì)能的最大值：（2）若滑塊第1次離開彈簧后，沿斜面上升的最高點(diǎn)位于、的中點(diǎn)，求滑塊第2次經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的速度大小。（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）變式5.1如圖所示，一輕彈簧一端固定在傾角為θ=37o的固定斜面的底端，另一端拴住質(zhì)量為m1=6kg的物體P，Q為一質(zhì)量m2=10kg的物體，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧的壓縮量x0=0.16m?，F(xiàn)給物體Q施加一個(gè)方向沿斜面對(duì)上的力F，使它從靜止開頭沿斜面對(duì)上做勻加速運(yùn)動(dòng)，已知在前0.2s時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)為變力，0.2s以后F為恒力。已知斜面光滑且足夠長(zhǎng)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）物體Q做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度大小a；（3）前0.2s內(nèi)拉力F做的功。變式5.2如圖所示，質(zhì)量的物塊放在豎直彈簧上端并緊挨著豎直墻壁，水平向左、大小的力作用在物塊上，物塊恰好不下滑，此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度。已知彈簧的勁度系數(shù)、原長(zhǎng)，物塊與豎直墻壁之間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度大小，求：（1）彈簧對(duì)物塊的彈力大??；（2）豎直墻壁對(duì)物塊的摩擦力大小和方向；（3）物塊與豎直墻壁之間的動(dòng)摩擦因數(shù)?！纠?】如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為的固定斜面上，M與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質(zhì)量為8kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等，重力加速度取，求：（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長(zhǎng)量為8cm，求M所受到的摩擦力；（2）若M剛要開頭運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)彈簧對(duì)物塊的彈力的大小。變式6.1如圖所示，質(zhì)量為m的小球甲穿過一豎直固定的光滑桿拴在輕彈簧上，質(zhì)量為4m的物體乙用輕繩跨過光滑的定滑輪與小球甲連接，開頭用手托住物體乙，輕繩剛好伸直，滑輪左側(cè)繩豎直，右側(cè)繩與水平方向夾角為，某時(shí)刻由靜止釋放物體乙（足夠高），經(jīng)過一段時(shí)間小球甲運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，O、Q兩點(diǎn)的連線水平，，且小球甲在P、Q兩點(diǎn)處時(shí)彈簧的彈力大小相等。已知重力加速度為g，，。求：（1）彈簧的勁度系數(shù)k；（2）小球甲位于Q點(diǎn)時(shí)的速度大小v；（3）在小球甲從P點(diǎn)上升到PQ中點(diǎn)的過程中，彈簧彈力做的功W。變式6.2如圖所示，質(zhì)量為10kg的物體M放在傾角為的斜面上，M與斜面間摩擦因數(shù)，M用平行于斜面的輕繩繞過光滑定滑輪與質(zhì)量為5kg的物塊m相連。勁度系數(shù)k＝200N/m的彈簧與m相連，也與地面相連，設(shè)最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等。（1）若M靜止在斜面上，彈簧伸長(zhǎng)量為8cm，求此時(shí)繩子上的拉力大??；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；（3）若M剛要開頭運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)彈簧彈力的大小。【例7】如圖所示，粗糙水平面長(zhǎng)為，與豎直面內(nèi)半徑為的光滑半圓形軌道在點(diǎn)相接。質(zhì)量為的物體甲（可視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮到點(diǎn)后由靜止釋放，甲脫離彈簧后，在水平面滑行一段距離后滑上豎直軌道，并恰好能通過點(diǎn)。已知甲與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，重力加速度為。（1）求甲通過點(diǎn)時(shí)的速度大小；（2）求彈簧被壓縮到點(diǎn)時(shí)的彈性勢(shì)能；（3）若在點(diǎn)放置另一個(gè)質(zhì)量為的物體乙（可視為質(zhì)點(diǎn)，圖中未畫出），使甲把彈簧仍舊壓縮到點(diǎn)，由靜止釋放甲，甲、乙發(fā)生彈性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，通過計(jì)算說明乙離開半圓形軌道后將如何運(yùn)動(dòng)。變式7.1一光滑水平面與豎直面內(nèi)的圓形粗糙軌道在B點(diǎn)相切，軌道半徑，一個(gè)質(zhì)量的小物塊在A處壓縮一輕質(zhì)彈簧，彈簧與小物塊不拴接。用手?jǐn)r住小物塊不動(dòng)，此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能。如圖所示，放手后小物塊向右運(yùn)動(dòng)脫離彈簧，沿圓形軌道向上運(yùn)動(dòng)恰能通過最高點(diǎn)C，不計(jì)空氣阻力，。求：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)半圓軌道對(duì)它的支持力大小；（2）小物塊從B到C過程，阻力做的功；（3）小物塊離開C點(diǎn)后落回水平面的位置到B點(diǎn)的水平距離x。變式7.2如圖所示，豎直面內(nèi)、半徑為R=1m的光滑圓弧軌道底端切線水平，與水平傳送帶左端B靠近，傳送帶右端C與一平臺(tái)靠近，圓弧軌道底端、傳送帶上表面及平臺(tái)位于同一水平面，圓弧所對(duì)的圓心角為53°，傳送帶長(zhǎng)為1m，以v=4m/s的恒定速度沿順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，