專(zhuān)題02 直線(xiàn)與圓的方程（5考點(diǎn)串講+7熱考題型）（高教版2021·基礎(chǔ)模塊下冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題02直線(xiàn)與圓的方程考點(diǎn)串講考點(diǎn)串講考點(diǎn)一、距離與中點(diǎn)坐標(biāo)公式（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式數(shù)軸上點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為：．（2）平面上兩點(diǎn)間距離公式在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)，之間的距離公式為：.（3）線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.考點(diǎn)二、直線(xiàn)的方程（1）直線(xiàn)的傾斜角與斜率直線(xiàn)的傾斜角：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角．當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此，直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍為．直線(xiàn)的斜率：一條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，常用小寫(xiě)字母k表示，即．當(dāng)直線(xiàn)平行于x軸或者與x軸重合時(shí)k＝0；當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為銳角時(shí)k>0；當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為鈍角時(shí)k<0；傾斜角為90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率．傾斜角不同，直線(xiàn)的斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示直線(xiàn)的傾斜程度．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，()的直線(xiàn)的斜率公式為：．（2）直線(xiàn)方程的幾種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式存在斜截式存在截距式且一般式(A，B不同時(shí)為0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有直線(xiàn)截距：直線(xiàn)l與x軸交點(diǎn)(a，0)的橫坐標(biāo)a叫做直線(xiàn)l在x軸上的截距，直線(xiàn)l與y軸交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線(xiàn)l在y軸上的截距（注：截距不是距離）．考點(diǎn)三、兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系（1）兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系平行：對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)，，其斜率分別為，，有，特別地，當(dāng)直線(xiàn)，的斜率都不存在時(shí)，與的關(guān)系為（注：兩直線(xiàn)平行則傾斜角相等，可能沒(méi)有斜率）.垂直：如果兩條直線(xiàn)，的斜率都存在，且分別為，，則有，特別地，若直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，則與的關(guān)系為．另有結(jié)論：設(shè)，則；；與重合；與相交.（2）兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有惟一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行．（3）距離公式點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式：點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離．兩條平行直線(xiàn)間的距離公式：兩條平行直線(xiàn)：（）和：（）間的距離.考點(diǎn)四、圓（1）圓的定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑．（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程叫做以點(diǎn)為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓的一般方程：方程叫做圓的一般方程．注：將上述一般方程配方得，此為該一般方程對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示的是以為圓心，為半徑長(zhǎng)的圓．（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有：若點(diǎn)在圓上若點(diǎn)在圓外若點(diǎn)在圓內(nèi)考點(diǎn)五、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)幾何特征代數(shù)特征(解的個(gè)數(shù))相離0無(wú)實(shí)數(shù)解相切1兩組相同實(shí)數(shù)解相交2兩組不同實(shí)數(shù)解常用結(jié)論：計(jì)算直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為的方法：熱考題型熱考題型類(lèi)型一、求兩點(diǎn)間的距離、中點(diǎn)坐標(biāo)【例1】已知點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故選：A.【例2】已知的頂點(diǎn)分別為，，，則AB邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為．【答案】【解析】由已知，，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，AB的中點(diǎn)D坐標(biāo)為，.故答案為：.【變式1】已知線(xiàn)段的端點(diǎn)及中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，的端點(diǎn)及中點(diǎn)，則，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B.【變式2】若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】線(xiàn)段的中點(diǎn)為，設(shè)，所以，所以.故選：A.類(lèi)型二、求直線(xiàn)的傾斜角、斜率【例1】過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【答案】D【解析】由已知直線(xiàn)的斜率為，，所以?xún)A斜角.故選：D.【例2】常值函數(shù)所表示直線(xiàn)的斜率為．【答案】0【解析】表示的直線(xiàn)平行于x軸，傾斜角為0°，故斜率為tan0°=0.故答案為：0．【變式1】直線(xiàn)的傾斜角為_(kāi)_____．【答案】【解析】直線(xiàn)的斜率為1，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，，則，所以.故答案為：.【變式2】如圖，已知直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題圖知直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，∴，又直線(xiàn)，的傾斜角均為銳角，且直線(xiàn)的傾斜角較大，∴，∴，故選：D.類(lèi)型三、求直線(xiàn)方程【例1】已知直線(xiàn)的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為.故選：C.【例2】已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程可得，直線(xiàn)l的方程為，即．故選：C．【例3】?jī)A斜角為，在軸上的截距為的直線(xiàn)的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由傾斜角為可知所求直線(xiàn)的斜率為，由直線(xiàn)的斜截式方程可得.故選：B.【變式1】已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，則直線(xiàn)的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程可得，直線(xiàn)l的方程為，即．故選：C．【變式2】經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，B(－3,6)的直線(xiàn)方程為_(kāi)___________．【答案】x＋5y－27＝0【解析】由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)方程為eq\f(y－6,5－6)＝eq\f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.故答案為：x＋5y－27＝0.【變式3】直線(xiàn)在軸上的截距為5，斜率為2，則該直線(xiàn)方程為.【答案】【解析】直線(xiàn)方程為即.故答案為：.類(lèi)型四、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【例1】直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)所以由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn).故選：C.【例2】點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：,故選：B.【變式1】直線(xiàn)y＝k(x－2)＋3必過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)【答案】B【解析】將直線(xiàn)方程化為點(diǎn)斜式得y－3＝k(x－2)，所以該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(2，3).故選：B.【變式2】已知，兩點(diǎn)到直線(xiàn)l：的距離相等，則（

）A．或 B．或4 C．2或4 D．或【答案】A【解析】由題意得，解得或.故選：A.類(lèi)型五、兩直線(xiàn)的位置關(guān)系【例1】已知直線(xiàn)，．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.故選：D.【例2】已知直線(xiàn)：與：，則這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是（）A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能確定【答案】C【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)：的斜率為：，直線(xiàn)：的斜率為，所以，所以這兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是垂直，故選：C.【變式1】若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：互相平行，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】若直線(xiàn)：與直線(xiàn)：互相平行，，解得.故選：A．【變式2】已知直線(xiàn)與互相垂直，則（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)與互相垂直，所以，解得.故選：C.類(lèi)型六、圓的方程問(wèn)題【例1】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由于圓，所以其圓心坐標(biāo)為，即；半徑為.故選：A.【例2】圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的半徑為，故圓心為且過(guò)原點(diǎn)的圓的圓的方程為.故選：C．【變式1】圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【變式2】以?xún)牲c(diǎn)和為直徑端點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，半徑為，故要求的圓的方程為.故選：B.類(lèi)型七、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系、求圓的弦長(zhǎng)【例1】直線(xiàn)與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又直線(xiàn)與圓相切，則，解之得或.故選：D．【例2】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切【答案】A【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，而，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線(xiàn)與圓相交.故選：A.【例3】經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與圓：相交于，兩點(diǎn)，若，則的值為.【答案】或【解析】由已知條件得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，圓：的圓心為，半徑為，由勾股定理得圓心到直線(xiàn)的距離為，即圓心為到直線(xiàn)的距離為：，解得或.故答案為：或.【變式1】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與圓相切.故選：B.【變式2】圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線(xiàn)2x+y+