專題10 復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（4知識(shí)點(diǎn)+2重難點(diǎn)+6方法技巧+3易錯(cuò)易混）（解析版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)

專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）知識(shí)點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念1、復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．2、復(fù)數(shù)的分類：eq\a\vs4\al(復(fù)數(shù)z＝a＋bi,a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)知識(shí)點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面；2、實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)平面向量．知識(shí)點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)，(a，b，c，d∈R)，則（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（4）．2、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．（2）eq\x\to(z)·z＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2．（3）若z為虛數(shù)，則|z|2≠z2．（4）(1±i)2＝±2i．（4）eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i．（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．知識(shí)點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式1、復(fù)數(shù)的輔角（1）輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對(duì)應(yīng)向量為OZ，以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量OZ所在的射線（射線OZ）為終邊的角θ，叫做復(fù)數(shù)z的輔角（2）輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．規(guī)定：其中在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輔角θ的值為輔角的主值，通常記作argz【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對(duì)應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的．2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算（1）定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，θ【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號(hào)連．（2）復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：已知z1=r則z1這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和．（3）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：已知z1=則z1這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差．重難點(diǎn)01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略（1）把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求模的范圍與最值問題來解決；（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；（3）利用三角函數(shù)解決．【典例1】（2024·山東煙臺(tái)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】若復(fù)數(shù)z滿足，則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線，其中，所以的最小值為.故選：B.【典例2】（2024·云南·二模）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】設(shè)，而，所以，即，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，的最小值為.故選：A.重難點(diǎn)02共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問題共軛復(fù)數(shù)問題的求解技巧：1、若復(fù)數(shù)的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，可以寫出，再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算．2、已知關(guān)于和的方程，而復(fù)數(shù)的代數(shù)形式位置，求解.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)，則，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解．【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，可得因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，可得，則，可得且，由時(shí)，可得或，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，方程，無解；對(duì)于A中，當(dāng)，可得，可得；當(dāng)，可得，可得，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，且，則，所以B不正確；對(duì)于C中，當(dāng)，可得，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，當(dāng)，可得，可得，則；當(dāng)，可得，可得，則，所以D正確.故選：AD.【典例2】（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線【答案】ACD【解析】對(duì)于A，設(shè)，，故成立，故A正確，對(duì)于B，設(shè)，，則滿足，但，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，，則，，故，，解得，，則，故C正確，對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，化?jiǎn)得，故在復(fù)平而內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.一、復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)a＋bi，（1）當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；（3）當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；（4）當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù)．【典例1】（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可得，化簡(jiǎn)為，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得，解得，所以，即復(fù)數(shù)z的虛部是3.故選：C【典例2】（23-24高三上·甘肅慶陽·階段練習(xí)）（多選）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A項(xiàng)中，，故A正確；B項(xiàng)中，，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)中，，故C正確；D項(xiàng)中，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部．【典例1】（2024·新疆·三模）復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)且，則，因?yàn)?，所?解得：，則的虛部為.故選：C【典例2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，，則（

）A． B．2 C．-2 D．【答案】B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，，由，得，解得，，∴，∴.故選：B．三、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）任一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)是一一對(duì)應(yīng)的．（2）一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)【典例1】（2024·四川自貢·三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別是，，所以，，所以，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D【典例2】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，則．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，則，解得或，又因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，可知，可知，所以.故答案為：.四、虛數(shù)單位i的乘方計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，in有如下性質(zhì)：i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，從而對(duì)于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可證i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.這就是說，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．由此可進(jìn)一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i．【典例1】（2024·湖北·二模）已知復(fù)數(shù)，則（

）A．1 B． C． D．i【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所?故選：A【典例2】（2024·河北·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：D.五、復(fù)數(shù)方程的解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程ax（1）求根公式法：=1\*GB3①當(dāng)?≥0時(shí)，x=-b±b2-4ac2a=2\*GB3②（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為x=m+ni(將此代入方程ax2【典例1】（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）已知是方程的根，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】由題意，得，即，所以，且，解得，所以.故選：A.【典例2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，為方程的兩根，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】方程的兩根分別為和，且，，所以不妨設(shè)，，，所以，故錯(cuò)誤；，故正確；，故正確；，，所以，故錯(cuò)誤.故選：.六、復(fù)數(shù)的三角表示將復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中當(dāng)a=0，b>0時(shí)，argz=【注意】每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等．【典例1】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）（多選）任何一個(gè)復(fù)數(shù)（，，為虛數(shù)單位）都可以表示成（，）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：（），我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正確的有（

）A．復(fù)數(shù)的三角形式為B．當(dāng)，時(shí)，C．當(dāng)，時(shí)，D．當(dāng)，時(shí)，“為偶數(shù)”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件【答案】BC【解析】復(fù)數(shù)的三角形式為，故錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)?，，所以，故正確；當(dāng)，時(shí)，，，故正確；當(dāng)，時(shí)，，，若為純虛數(shù)，則，則，所以，，雖然，是偶數(shù)，但是偶數(shù)還有，的形式的數(shù)，所以“為偶數(shù)”是“為純虛數(shù)”的必要不充分條件，故錯(cuò)誤.故選：.【典例2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復(fù)數(shù)的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，，例如：，，復(fù)數(shù)滿足：，則可能取值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，，即，所以故時(shí)，，故可取，故選：D易錯(cuò)點(diǎn)1忽視復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件點(diǎn)撥：對(duì)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對(duì)于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，往往容易忽略虛部不等于0．【典例1】（24-25高三上·湖南·開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【解析】由已知，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以得.故選：A.【典例2】（23-24高三上·廣西·開學(xué)考試）已知i是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.故選：C.易錯(cuò)點(diǎn)2錯(cuò)誤的理解復(fù)數(shù)比大小點(diǎn)撥：兩個(gè)復(fù)數(shù)不能直接比大小，但如果成立，等價(jià)于．【典例1】（2024·遼寧·三模）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B． C．1 D．1或【答案】A【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，因?yàn)?，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，得.故選：A.【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知復(fù)數(shù)，，若（為的共軛復(fù)數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】,,,,都是實(shí)數(shù)，且,,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：易錯(cuò)點(diǎn)3錯(cuò)誤的慣性思維理解復(fù)數(shù)的模點(diǎn)撥：對(duì)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的理解錯(cuò)誤，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)計(jì)算與實(shí)數(shù)不同，尤其要注意模長(zhǎng)性質(zhì)