新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練5.3 平面向量的應(yīng)用（基礎(chǔ)版）（原卷版）

5.3平面向量的應(yīng)用（精講）（基礎(chǔ)版）考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一證線段垂直【例1-1】（2022·山西運城）在平面四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．13 D．26【例1-2】（2022·廣東）如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為對角線SKIPIF1<0上任意一點（異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形2．（2022·福建·漳州三中）若O為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．（2022·上海）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．考點二夾角問題【例2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知H為SKIPIF1<0的垂心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·四川南充·三模（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CN與BM交于點P，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南·南陽中學(xué)）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點，PE長為2a，當(dāng)SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·福建省同安第一中學(xué)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0位于直線SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點三線段長度【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【例3-2】（2022·云南）已知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AC邊的中線的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【一隅三反】1．（2022·云南師大附中）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則AD的長為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·重慶南開中學(xué)）如圖所示在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為4的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<04．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的中線長為（

）A．49 B．7 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點四幾何中的最值【例4】（2022·海南·模擬預(yù)測）在直角梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若線段CD上存在唯一的點E滿足SKIPIF1<0，則線段CD的長的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·安徽安慶）設(shè)點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0上一個動點，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，則中線SKIPIF1<0的長是___________.2．（2022·江蘇·無錫市教育科學(xué)研究院）點SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形SKIPIF1<0的三條邊上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值為___________.3．（2022·上海市晉元高級中學(xué)）“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力.順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊ABCDEF.若正六邊形的邊長為1，點P是其內(nèi)部一點（包含邊界），則SKIPIF1<0的取值范圍為___________.4．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）如圖，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是________．考點五三角形的四心【例5】（2022·甘肅·蘭州一中）（多選）點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A．若SKIPIF1<0，則點O為SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心C．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心D．若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的內(nèi)心【一隅三反】1．（2022·全國·）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：“三角形的外心?垂心和重心都在同一直線上，而且外心和重心的距離是垂心和重心距離之半，”這就是著名的歐拉線定理.設(shè)SKIPIF1<0中，點O?H?G分別是外心?垂心和重心，下列四個選項中結(jié)論正確的是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)）（多選）著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·課時練習(xí)）(多選題)已知O是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．四邊形SKIPIF1<0為正方形，點O是正方形SKIPIF1<0的中心B．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0的對角線交點C．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心D．四邊形SKIPIF1<0為一般四邊形，點O是四邊形SKIPIF1<0對邊中點連線的交點4．（2022·山東省平邑縣第一中學(xué)）（多選）在SKIPIF1<0所在平面內(nèi)有三點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心B．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心C．滿足SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心D．滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等邊三角形考點六三角的面積【例6-1】（2022·全國·高三）點P菱形ABCD內(nèi)部一點，若SKIPIF1<0，則菱形ABCD的面積與SKIPIF1<0的面積的比為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【例6-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點SKIPIF1<0為正SKIPIF1<0所在平面上一點，且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．2 D．3【一隅三反】1．（2022·上海交大附中）設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國·高三）P是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川涼山）已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)任意一點，若滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的一個“優(yōu)美點”．則下列結(jié)論中正確的有（

）①若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心；④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點，則SKIPIF1<0．A．SKIPIF1<0個 B．SKIPIF1<0個 C．SKIPIF1<0個 D．SKIPIF1<0個5.3平面向量的應(yīng)用（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一證線段垂直1．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）在平行四邊形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，且滿足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，則△AMN的形狀是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形2．（2022·新疆）在△ABC中，若SKIPIF1<0，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．（2021·浙江）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀為（

）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2022·黑龍江）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，求證：DE⊥AF.5．（2022·湖南）如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為BC的中點，E是AB上的一點，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.6．（2022·浙江）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2，求證：AD⊥BC.7．（2022·浙江）如圖，在平行四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BD，AC相交于點O，M為BO中點．設(shè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）證明：SKIPIF1<0．題組二題組二夾角問題1．（2022·云南）SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江西）已知菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·江蘇）（多選）已知向量SKIPIF1<0，記向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為銳角 B．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為鈍角C．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為直角 D．SKIPIF1<0時SKIPIF1<0為平角4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角，則實數(shù)入的取值范圍是：______．5．（2022·四川省平昌中學(xué)）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夾角為鈍角，則實數(shù)SKIPIF1<0的范圍_______6．（2022·全國·期末）一扇中式實木仿古正方形花窗如圖1所示，該窗有兩個正方形，將這兩個正方形（它們有共同的對稱中心與對稱軸）單獨拿出來放置于同一平面，如圖2所示.已知SKIPIF1<0分米，SKIPIF1<0分米，點SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的四條邊上運動，當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為___________.7（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的余弦值為______．8．（2022·安徽·池州市第一中學(xué)）如圖，在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，線段AM，BN相交于點P，則SKIPIF1<0的余弦值為___________.9．（2021·湖南）已知平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______.10．（2022·湖北）已知SKIPIF1<0＝(1，2)，SKIPIF1<0＝(1，SKIPIF1<0)，分別確定實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍，使得：（1）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為直角；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為鈍角；（3）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的面積為S滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0·SKIPIF1<0＝3，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ.求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的取值范圍．題組三題組三線段長度1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南）（多選）已知SKIPIF1<0分別是三棱錐SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．若異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小為60°，則線段SKIPIF1<0的長為（

）A．3 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·信陽高中）已知四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·山東濟寧）已知兩點SKIPIF1<0分別是四邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為是___________5（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是四邊形SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長是___________.6．（2021·上海市市西中學(xué)）空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0邊的中點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________.7．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)）如圖，定圓SKIPIF1<0的半徑為3，A，B為圓SKIPIF1<0上的兩點，且SKIPIF1<0的最小值為2，則SKIPIF1<0______．題組四題組四幾何中的最值1．（2022·河南南陽·高一期末）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖南張家界）如圖，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若M，N是線段BC上的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·湖南）線段SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的一條直徑，直線SKIPIF1<0上有一動點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·廣東廣州·）平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)）已知平面向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成夾角的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·湖南·周南中學(xué)）已知邊長為2的菱形ABCD中，點F為BD上一動點，點E滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．27．（2022·浙江麗水）已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·河南）已知點SKIPIF1<0是圓：SKIPIF1<0上的動點，點SKIPIF1<0是以坐標原點為圓心的單位圓上的動點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8題組五題組五三角的四心1．（2022·湖北武漢）在三棱錐SKIPIF1<0中.作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0.①若三條側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角相等，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心；②若三個側(cè)面SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的二面角相等，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心：③若三組對棱SKIPIF1<0與SKIPIF1<0與SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中有兩組互相垂直，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（

）心以上三個空依次填（

）A．外，垂，內(nèi) B．內(nèi)，外，垂 C．垂，內(nèi)，外 D．外，內(nèi)，垂2．（2022·全國·專題練習(xí)）若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件SKIPIF1<0，則O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心3．（2022·重慶市長壽中學(xué)校）奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點，若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的面積分別記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的SKIPIF1<0很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·重慶市實驗中學(xué)）在平面上有SKIPIF1<0及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：SKIPIF1<0即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若SKIPIF1<0的三邊為a，b，c，現(xiàn)有SKIPIF1<0則O為SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0外接圓的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<