新人教A版必修一 證明不等式 教案

證明不等式

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

證明不等式B能根據(jù)不等式的性質證明一些不等少考

關系式。

知識提要

證明不等式

?比較法比較法是證明不等式中最基本最重要的方法.要證明a>b,最基本的方法就是證

明a-b>0,即把不等式兩邊相減，轉化為比較差與0的大小.若不等式兩邊的數(shù)同正，有時

也通過把不等式兩邊相除，轉化為考察所得的商式與1的大小關系.

?分析法從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論

歸結為判定一個明顯成立的條件，這樣的證明方法叫分析法.

?綜合法利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導

出所要證明的結論成立，這樣的證明方法叫綜合法.

?反證法假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出

矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法.

?放縮法要證明不等式4<8成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將

4放大成C,即4<C,后證C<B,這種證法稱為放縮法.

精選例題

證明不等式

lo若規(guī)定=ad-be,則由尚與由5"I的大小關系為Qb￡R,a.

【答案】I：；b\>I：ri

\a-b\_產(chǎn)—CL\

\baIFbI

【分析】=[a?a—(—b)?b]—[a'b—(—a)<b].

=a2+b2—lab

=(a—b)2

因為aWbf

所以(a-bp>0.

所以^CL-CL

>bb

2.設a=m七=近一W,c=顯—則a,b,c的大小關系為.

【答案】a>c>b

【分析】因為bf，?=熹,

所以b<c.

而小=2,〃=(四—魚)=8-2V12=8-V48<8-V36=2,

所以a>c,

所以a>c>b.

3.已知a+Z?>0,a豐b,則與+工與工+：的大小關系是

azab

【答案】與+白>工+：

azab

4.已知a>0,b>0,TH=1g?/，n=lg^^,則相與九的大小關系為

【答案】m>n

【分析】因為（歷4-Vb）2=a+b+2y[ab>a+b>0,

所以逅+VF>區(qū)亙,

所以TH>71.

5o設a,b為正實數(shù).現(xiàn)有下列命題：

①若M一爐=1,則a-bv1；

②若:--=1,則。一匕<1;

③若IVH—Vb|=1,貝！J|a-b|<l;

④若Ia3—b3|=1,則|a-b\<1.

其中的真命題有（寫出所有真命題的編號）.

【答案】①④

【分析】對于①：???小一人2=1,且a>。，b>0,

a2=1+fo2>1.?,?a>1..,?a+b>1,

2

由小—b=(a—ft)(a+b)=1,?,.a—b<1.A①正確.

對于②:工―工=1,.??上士=1,?,.a-b=ab.又=a>0,b>0,無法確保ab<1,

baab

：.a—b<1不一定正確,②不正確.

對于③：,l迎一傷1=1且a>0力>0,???歷>1,由|a-b|==

\y[a4-VF|>Va>1,

??.③不正確.

對于④：*?eIa3—b3|=1且a>0,b>0.|a3|>1.a>1,

22322

a+ab+b>1.由W—b\=\a-b\\a+ab+b\=1,A\a-b\<1,二④正確.

sin

6.設a>b>l,yi=sin答，y2=^y3=sin*,則%,乃，乃的大小關系是

【答案】丫3<y2V%

7.設a>0,0<b<1,則P=與Q=對（。+1）（。+2）的大小關系是

【答案】P<Q

【分析】.:(a+一(a+l)(a+2)=：>0,且a+|>0,(a+l)(a+2)>0,

Q+—>+l)(a+2),

v0<b<1,

:?P<Q.

8o/+丫2+1與2(%+丫一1)的大小關系為.

【答案】x2+y2+1>2(%+y—1)

【分析】(/+y2+1)—2(%+y-1)=(%—1)2+(y-1)2+1>0.

9.用數(shù)學歸納法證明不等式上+—+???+—>空的過程中，由n=k推導n=k+1時，不等

n+1n+2n+n24

式的左邊增加的式子是.

s室】_____i____

、口k.(2k+i)(2k+2)

【分析】不等式的左邊增加的式子是士+力-左=石式白由，故填rXv

10.設直角三角形的兩條直角邊的長分別為a、b,斜邊長為c,斜邊上的高為h,則有

①a?+戶>?2+h2;

②M+匕3v+狀；

③d+〃>C，+也

@a5+b5<c5+/i5.

其中正確結論的序號是;進一步類比得到的一般結論是

【答案】②④；an+bn<cn+/in,nGN*

【分析】

依題意，得a=csinA,b=ccosX,則

ab

h=—=csirh4cos4

從而‘

an^_bn_cn_a

=cn(sinnA+cosnA—1—cos^Tlsin71/)

=cn(sinnX—1)(1—cosnA)<0,

所以4-Fbn<cn+hn,nEN*.

Ho設直角三角形的兩直角邊的長分別為a/,斜邊長為c,斜邊上的高為九，則有a+b<c+

九成立，某同學通過類比得到如下四個結論：

①合+爐>C?+M；②標+川v+/；③口4+〃>+h4；@U5+b5<C5+/l5.

其中正確結論的序號是；進一步得到的一般結論是.

【答案】②④；an+bn<cn+/in(nGN*)

【分析】如圖所示，設邊b所對的角為。，則a=ccos6,b=csin3,h=ccosOsin。，

所以

an4-bn—(cn+/in)=cn(cosnO+sinn6—1—cos九Jsin71。)

=cn(sinn0—1)(1—cosn6)<0,

所以"1+力九

12.若定義在R上的函數(shù)r(%)滿足〃o)=-1,其導函數(shù)ro)滿足ro)>k>i,則下列結論中

一定正確的有.

①心。，②哨>白③f島)>占④ffe)>占

【答案】①③

【分析】設g(x)=/(x)-k%,由g'(x)=/'(X)-k>0.所以g(x)在R上為增函數(shù)，>0,

5?=/?-1>5(0)=/(0)=-1,所以①正確；又臺〉0,所以g(W)=

f仁)一臺>9(°)=一1'即/(含)〉六’③正確■

由此，也可以判定②④不一定正確.

13o設a>b>0,zn=仿—VF,n=7a—b,則TH,n的大小關系是

【答案】m<n

【分析】取。=2力=1,得znVn.再用分析法證明：

4a—4b<yla—b<=<Vh+yla—b

<=aVb+2Vb?Va—b+a—b

<=2Vb?7a—b>0.

顯然成立.

14o已知a,bGR,a+b=1,求證：(a+b)2+(b+2)2>y.

【解】要證原不等式成立，

只需證(a+2>+(1-a+2)2>y,

只需證a?+4a+4+Q?—6a+9》—,

只需證2a2-2a+1>0,

只需證2一3>0.

而上式顯然成?，故原不等式得證.

15.已知a,力，c,d均為正實數(shù)，試用分析法證明：Va2+b2-Vc2+d2ac+bd.

22

【解】要證A/Q2+b?-Vc+d>ac+bd成立,

只需證(M+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.

即證b2c2+a2d2>2abcd.

也就是(力c—ad)2>0.

因為(左一ad)2>0顯然成立，

所以V02+爐.7c2+d2>ac+bd.

16.已知。力，c均是不全等的正數(shù)，且0<%<1.

求證：10gx等+log%等+10gx^<log』+10g/+10gxC.

【解】要證明logx等+logx等+logx<logxa+\ogxb+logxc,

b+c

2

因為學》VHF>0,手》年>0,Vac>0,

a,/c是不全相等的細數(shù)，'

所以?.警.等>后環(huán)=詆，

ona+bb+ca+c_,

即q,>dbdvcyL.

所以bgx等+10gx等+bgx等<bg”+10gW+Mg”成立.

17.已知a>b>0,c>d>0,比較"-與J-的大小.

a—cb-d

【解】取a=2,b=1,d=—l,c=-2,

則)-=：，—1，猜想.證明如下:

a-c4b-da-cb-d

因為CVdV0,

所以—c>—d>0.

又a>b>0,

所以a-c>b—d>0,

所以「三>——>0,

b-da—c

又a>b>0,

所以看>±.

b-da-c

18o已知a,b是不相等的兩個正數(shù),求證：(a+&)(a3+&3)>(a2+62)2.

因為(a+b)(a3+b3)—(a2+Z?2)2

【解】=(a4+ab3+ba3+b4)—(a4+2a2b2+b，)，

=ab(a—b)2

因為a,bGR+且aWb,

所以以>0,(a—b)2>0,所以ab(a—b)2>0.

所以(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.

19o設a,b,c均為正實數(shù).

⑴若a+b+c=l,求證：a2+b2+c2>|；

【解】因為a+b+c=l,

所以(a+b+c)2=a?+人2+。2+2ab+2bc+lac=1.

因為2ab<a2+b2,2bc<c2+&2,2ac<a2+c2,

所以a?+爐++2ab+2bc+lac=1<3(a2+b2+c2),

所以a2+/)2+c2》：.

(2)求證:產(chǎn)手》審

【解】由已知得a+b+c>0,

欲證手》手，只需證必產(chǎn)》誓必

只需證3(小+b2+c2)>(a+h+c)2,

只需證2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ac>0,

即證(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2>0,

上述不等式顯然成立，故原不等式成立.

20o設a,4c>0,a+b+c=1,求證:43a+1+73b+1+73c+143魚.

【解】不等式在a=b=c=］時.等號成立，此時<3。+1=73b+1=N3c+1

V2.由此可考慮配湊常數(shù)以便利用基本不等式.

因為立?V3^T1<號=若，

同理，V2-V3b+1<魚?V3c+14等,

以上三式相加，并利用a+b+c=1,

信網(wǎng)13a+1+73b+1+V3c+1)<6,

所以V3a+1+73b+1+V3c+1<3魚.

(1)求證:8+V7<2V5；

【解】因為V5+夕和2遍都是正數(shù),所以為了證明,+夕<24，

77

只要證+V7)<(2V5),

只需證10+2舊<20,

即證2舊<10,

即證<5,

即證21<25,

因為21<25顯然成立，所以原不等式成立.

(2)已知a>0,8>0且61+8>2,求證：上士匕^中至少有—個小于2.

ab

【解】假設：—,彳都不小于2,則出》2,詈》2,

abab

因為a>0,b>0,

所以1+b>2a,1+a>2b,

所以1+b+1+a>2(a+b),即a+b42.

這與已知a+b>2矛盾，故假設不成立，從而原結論成立.

22o設函數(shù)/(%)=ax2+b%+c且f(l)=—p3a>2c>2b.

(1)試用反證法證明：a>0.

【解】假設Q40,

因為3a>202b,

所以3a<0,2c<0,2b<0,

將上述不等式相加得3a+2c+2力<0,

因為f⑴=一|，

所以3Q+2C+2b=0,

這與3a+2c+2匕<0矛盾，

所以假設不成立，

所以Q>0.

（2）證明：—3V2<—三.

a4

【解】因為f(l)=a+b+c=—1

所以3a>—b.

因為2c>2b,

所以—3a>4b.

因為a>0,

所以一3<2<—三.

a4

23o當a》2時,求證：Va+1-^Ja<y/a—1—y/a—2.

【解】要證Va+1—y/a<Va-1-Va-2,

只需證A/Q+1+Va-2<份+7a-1,

只需證+1+y/a-2)<(y/a+Va-1)，

只需證a+1+a—2+2J(a+l)(a-2)Va+a—1+2Ja(a—1),

只需證J(a+l)(a—2)<-1),

只需證(a+l)(a-2)<a(a-1),

即證—2V0,而—2V0顯然成_yL,

所以，a+/—y[u<yjct—1—7a—2成立.

24o已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.

（1）若a=匕=c,則（，一1）一1）（十一1）的值為

【解】8

（2）求證GTG-i）（?i）》8.

【解】解法一：分析法

要證G-1)G-1)(!-1)》8成立,

只需匕成立.

abc

因為。+b+C=1,

|—j^^_|j^(a+b+c)—a(a+b+c)-b(a+b+c)-c

>8,

abc

口nb+ca+ca+匕?i>.>.

即-----------成乂，

abc>8

門色、-r(b+c)(a+c)(a+b)2y[bc2>/ac2\[ab

只布證-----：----->------7------>8成立,

a八b八cabc

而巫生■晅8顯然成立.

abc

所以CTCTCT)>8.

解法二：綜合法

因為b+c>2V^>0,a+c>2y[ac>0,a+b>2Vab>0

所以(b+c)(a+c)(a+b)>2y[bc24ac2y[ab,

所以(b+c)(a+c)(a+6)>Babe,

又a>0,b>0,c>0,

所以(b+c)(a+c)(a+b)〉g

又a+b+c=1,

所以(l-a)(l-b)(l-c)

abc

匚匚j、[l—CL1—b1—cc

所以-----

abz---c---->8,

所以GTCTCT)>8.

25.已知a》—5,b》——,a+b=1,求證：72a+1+72b+142V2.

【解】要證”2a+1+72b+1<2V2,

只需證2(a+b)+2+272a+1-72b+1<8.

因為a+b=1,

所以只需證，2a+1-V2b+1<2.

因為a>b>

所以2a+1>0,2b+1》0.

所以〃2a+1-72b+1<(2a+?(2b+i)=2(—+i)=2,

即“2a+1-yj2b+1<2成立.

因此原不等式成立.

26。已知a>0,b>。,求證：—I—》—.

aba+b

【解】因為a>0,b>0,

所以(a+b)0+：)=1+1+^+9》10+2l^--=16(當且僅當3a=b時取等號)，

\abjba'ba

匚匚、1,9、16

所以I一I+W>F?

aba+b

27.已知函數(shù)f(%)=%+E—4,g(x)=kx+3

(1)當a6[3,4]時，函數(shù)〃無)在區(qū)間上的最大值為/(6)，試求實數(shù)6的取值范圍

【解】因為ae[3,4],所以y=f(x)在(1,伍)上遞減，在(而+8)上遞增,

又因為/(無)在區(qū)間[1,澗上的最大強為f(m),

所以f(m)>/(l),解得(m-l)(m-a)>0,

所以771>Qmax，即血>4；

(2)當aG［1,2］時，若不等式If(%i)I-|/(%2)I<0(工1)一9(%2)，對任意%i，%2E

[2,4](%I<%2)恒成立，求實數(shù)上的取值范圍

【解】因為If(%i)I-I/(%2)Ivg(%i)-。3)，

所以I/3)I-g(%i)vIf(%2)I-g(%2)恒成立，

令尸(%)="(%)|一0(%),則尸(%)在［2,4］上遞增.

(—1—k)x----F1,xG［2,2+74—a］

對于=

(1—k)x+——7,xE.［2+V4—CL,4］

(1)當％￡［2,.4—a］時,F(x)=(—1—k)x—^+1,

①當/c=—1時，F(xiàn)(x)=—2+1在上遞增，所以k=—1符合；

②當人<一1時，F(xiàn)(%)=(—1一k)x一三+1在［2,，4—a］上遞增,所以/eV—1符合;

③當k>—1時,只需1~7》2+74-a,即V>=2+V3,

所以—1<k46—4V5,從而k46-4V3；

(2)當%￡(2+-4—a,4］時,9(%)=(1-左)%+三+7,

①當/c=1時下⑺=￡+7在(2+V?=?4］上遞減，所以k=1不符合；

②當k>l時，/0)=(1-々)%+?-7在(2+7￥=54］上遞減，所以憶>1不符合;

③當kVl時,只需/7~742+V4—a，即=1+V2,

所以，k<2y/2-2

綜上可知:/c46—4舊.

28.已知％2=+爐，y2=c2+rf2,且所有字母均為正，求證:％y》ac+bd.

【解】方法—：(分析法)

a,b,c,d,%,y都是正數(shù)，

?,?要證%y>ac+bd成立.

只需證(%y)2>(ac4-bd)2成立，

即證(小+b2)(c2+d2)>a2c2+b2d2+2abed成立，

展開，得a2c2+b2d2+a2d24-b2c2>a2c2+b2d2+2abed,

即a2d2+b2c2>2abcd.

由基本不等式可知,此不等式顯然成立，

???xy>ac+bd.

方法二：(綜合法)

xy=Va2+b2Vc2+d2

=7dze2+b2c2+a2d2+匕2d2

>Va2c2+2abcd+b2d2

=J(ac+bd)2

=ac+bd.

29.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)》4abed.

【解】因為a,b,c,d都是正數(shù),

所以吧戶》返［方>0,

(ab+cd)(ac+bd)

所以>abed,

BP(ah+cd)(ac+bd)>4abcd,

當且僅當ab=cd,ac=bd,即。=d,b=c時，等號成立.

(1)若%<y<0,求證(/+y2)(x—y)>(%2—y2)(x+y);

【解】由題意作差可得(/+y2)(x-y)-(%2一y2)(x+y)=(%-y)[(x2+y2)-

(%+y)2]=—2xy(x—y),

因用％<y<0,

所以%y>0,%-y<0,

所以一2%y(%—y)>0,

所以(%2+y2)(x—y)>(%2—y2)(x+y).

(2)已知a<b,x>y/,a、b、%、/y>0,求證：y74-hvJ-n

【解】由題意可知二-

y+b(x+a)(y+b)，

因為aVb,%>y,a、b、x、y>0,

所以b%-ay>0,

31o求證：對任何a>0,b>0,c>0都有—冒>+爐+—爐一加+)―曲+知+小,其

中等號成立的充要條件是%

【解】構造平面圖形如圖,

A

其中。4=a,OB=b,OC=c^AOB=2LB0C=60°,貝iJzAOC=120°.

由余弦定理得_____________________________

yjd21—ab+b2=J-2+爐_2abeos60°=AB,

因為+所以有

-Ja2—ab-Vb2+-Jb2—bec2>[d2+ac+c2,

其中等號成立的充要條件是48+BC=AC,即4叢C在同一條直線上，此時

SMOC=S—OB+SkBOC>

即

111

-acsinl20°=-absin60°+-Zjcsin60°,

即ac=ab+bc,兩邊同除以abc,得

111

一=—|—,

bac

所以，原命題成立.

32o已知。>0,b>0,a3+b3=2,證明：

(1)(a+b)(a5+b5)>4;

【答案】略

【解】

(a+b)(a54-b5)=a6+ab5+ba54-b6

=(a34-h3)2—2a3b3++加5

=44-ab(a2—b2)2

》4.

于是有(a+b)(a5+b5)>4.

(2)a+/?<2.

【答案】略

【解】

2=a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)

=(a+h)[(a+力/—3ab]

[a]a+b\2

》(a+b)(a+b)2—3,

(a+b)3

-4-

(推導中用到：［a］)

所以a+匕42.

33.下面給出的命題是真命題還是假命題？用分析法證明你的結論.

命題：若a>b>c且a+b+c=0,則/一吒<V3.

【解】命題是真命題，證明如下：

因為a>b>c且a+b+c=0,

所以a>0,c<0.

要證紇遠<V5a,

即證/—ac<3a2.

因為b=—a—c,

所以只需證(a+c)2—ac<3a2,

即證2a2—ac—c2>0,

即證(2a4-c)(a—c)>0.

因為2a+c>a+b+c=0,a—c>0,

所以(2a4-c)(a-c)>0成立.

所以原命題成立.

課后練習

1o已知函數(shù)/(%)=a/+4%—2,若對任意%1，久2ER且％1H不，都有f("；&)<"一)；"第2),

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)對于給定的實數(shù)a,有一個最小的負數(shù)M(a),使得％W0］時，一4</(%)<4都成

立，則當a為何值時，M(Q)最小，并求出M(a)的最小值.

2.設二次函數(shù)f(%)=ax2+bx+c(a>0),方程f(%)一x=。的兩個根%「右滿足。V/<

孫<5.

(1)當％￡(0,%)時,證明％</(%)V%］；

(2)設函數(shù)f(%)的圖象關于直線％=而對稱，證明&<葭.

3o設a、b、cGR,且它們的絕對值都不大于1,求證:ab+be+ca+1》0.

4.設a,辦為不相等的正數(shù)，71WN+，且71>2,求證：an+bn>an~1b+abn-1.

11

5o設a>0,b>0,且。+8=-+-.求證：

ab

(l)a+b>2;

(2)a2+a<2與廬+bV2不可能同時成立.

-1-1i

6.設陽yER,求證：---1---->----.

>+1+x1+y1+xy

7o設/'(%)=a/+辦％+c,當|x|41時，總有|/(%)|41,求證：當|汨42時,|/(x)|<7.

8.已知aGR且a豐1,試比較二一與1+a的大小.

1-a

90已知函數(shù)f(%)=ln(%+1)-署,a是常數(shù)，且a>l.

(1)討論/(%)零點的個數(shù)；

(2)證明：—<ln(l+-)<—,neN*.

v72n+lknJ3n+l

(1)已知x,yeR,且下列三個不等式成立：

(i)|x2+|y2>Qx+|y);

222

(i)|%+|y>gx+|y);

(iii)-%2+-y2>(-x4--y].

44Z\44Z7

根據(jù)上述不等式，請你寫出更一般的結論；

(2)證明(1)題所得的一般結論.

llo已知%GR,求證+4|+|x-5|>9.

12.設a,b,cGR,求證:M+b2+c2>2a+b-2.

13o已知a>b>0,用分析法或綜合法證明：Va-y/b<Va-b.

14.已知1%—a|<京，0<|y-b|<肅，yG(0,M),求證：\xy-ab\<￡.

15oa,凡y均為銳角，且cos2a+cos2s+cos2y=1,求證：tanatan^tany(一

16.設a>b>0,求證：3a3+2b3>3a2b+2ab2.

17o已知a>b>c,試比較a2b+b2c+c2a^ab2+be2+cM的大小.

18.已知函數(shù)/(%)=ae~x—%+1,aGR.

(1)當a=1時，求曲線y=f(%)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若對任意％G(O.+oo),/(%)<0恒成立，求a的取值范圍；

(3)當xW(0,+8)時，求證：2eT—2<：%2—%.

3322

19.已知a,4cGR+,求證:M+b+c>|(a+川+c)(a+b+c).

20.已知a>0,函數(shù)/(x)=/一為％e(0,+8),設無1>0,記曲線y=y(%)在點(X1J(無力)處

的切線為2.

(1)求Z的方程;

(2)設［與x軸交點為(孫0).證明：

111

(i)%2》成；(五)若％1>加，則加<%2V

證明不等式一出門考

姓名成績

1.證明下列不等式：

(l)a(a—fa)>b(a—Z?).

-1

(2)a—1>1—(aGR+).

(3)》2a-b(bER+).

(4)^=+y[b>bGR+)?

2o用分析法或綜合法證明：V3+2V2<2+V7.

3.設/(%)=/+。％+力，求證：