線性代數(shù)習題

班級班級學號姓名密封裝訂線密封裝訂線密封裝訂線課程代碼2100024課程名稱線性代數(shù)B考試時間120分鐘注意：1．答題前，請在密封線內清楚、正確地填寫班級、學號、姓名；2．請將填空題和選擇題的答案填寫在指定的位置，寫在其它地方不得分。一、填空題（每空4分，共24分）1．設，則=；2．設，則（是/不是）向量空間；3．已知3階方陣有特征值-1，1，2，則=；4．設矩陣其中線性無關，且，，則的通解為：；5．設，則的列向量組的一個最大線性無關組為：，=。二、選擇題（每小題4分，共24分）6．行列式求=（）（A）（B）（C）（D）7．設，則中的系數(shù)為()。(A)-1；(B)1；(C)-17；(D)17。8．設均為階可逆方陣，下列各式正確的是()。(A)；(B)；(C)；(D)。9．若4階方陣的行列式等于零，則必有（）(A)中至少有一行向量是其余向量的線性組合(B)中每一行向量都是其余行向量的線性組合(C)中必有一行為零行(D)的行向量組線性無關10．設為階方陣，則（）(A)的特征值一定都是實數(shù)(B)必有個線性無關的特征向量(C)可能有+1個線性無關的特征向量(D)最多有個互不相同的特征值11．設非齊次線性方程組的未知量個數(shù)為，方程個數(shù)為，則在條件()成立時，一定有解。(A)矩陣的列向量組線性無關； (B)矩陣的列向量組線性相關；(C)矩陣的行向量組線性無關； (D)矩陣的行向量組線性相關。三、計算題（46分）12、計算行列式。（6分）13、設矩陣，矩陣滿足，求矩陣。（8分）14、設向量組，向量，問取何值時（1）能由惟一表示？（2）不能由線性表示？（3）能由線性表示但表達式不惟一？（8分）15、已知二次型，記（1）寫出該二次型的矩陣；（2）求一個正交矩陣，使得為對角陣；（3）寫出該二次型在正交變換下的標準型，其中；（4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）16、設，其中，求。（10分）四、應用題（17、18選做1個）（6分）17、某地的道路交叉處通常建成單行的小環(huán)島，如圖所示，請求出該網(wǎng)絡流通解，并找出的最小可能值。（圖上箭頭為車行進方向，數(shù)字為每小時車流量，為所標路段上的車流量）18、一個飲食專家計劃一份膳食，提供一定量的維生素C，鈣和鎂。其中用到了3種食物，它們的質量用適當?shù)膯挝挥嬃俊＿@些食品提供的營養(yǎng)以及食譜需要的營養(yǎng)如下表給出：營養(yǎng)單位食物所含營養(yǎng)（mg）需要的營養(yǎng)總量（mg）食物1食物2食物3維生素C102020100鈣504010300鎂301040200請設立合適的變量建立并求解方程確定該食譜。（精確到小數(shù)點后1位）班級班級學號姓名密封裝訂線密封裝訂線密封裝訂線課程代碼2100024課程名稱線性代數(shù)B考試時間120分鐘注意：1．答題前，請在密封線內清楚、正確地填寫班級、學號、姓名；2．請將判斷題、填空題和選擇題的答案填寫在指定的位置，寫在其它地方不得分。一、判斷題（每小題3分，共12分；正確的打“√”，錯誤的打“×”）1、若向量組線性相關，則向量組線性相關。（）2、。（）3、設是對稱矩陣A的兩個相同的特征值，是對應于的特征向量，則和一定線性相關。（）4、是向量空間。（）二、填空題（每空3分，共15分）5、求函數(shù)中的系數(shù)為；6、設，則=；7、已知四階行列式，則；8、若元非齊次線性方程有唯一解，則它對應的齊次線性方程；（填寫“只有零解”或“有非零解”）9、設A為階方陣，且，則。三、選擇題（每小題3分，共18分）10、設，則（）（A）（B）（C）（D）11、矩陣，則=（）（A）（B）（C）（D）12、設均為階方陣，下列各式正確的是().(A)；(B)；(C)；(D).13、設3階可逆方陣A，且，則（）；（A）4（B）-4（C）16（D）-1614、已知3階方陣的特征值為1，-2，3，則=（）;（A）-245（B）245（C）49（D）-3515、設矩陣其中線性無關，且，，則的通解為().(A)(B)(C)(D)四、計算題（48分）16、計算四階行列式（6分）17、設矩陣和滿足關系式，其中，求矩陣。（6分）18、設向量組，求向量組的秩及一個最大線性無關組，并把其余向量用最大線性無關組線性表示。（12分）19、設有線性方程組，問取何值時，此方程（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無限多個解？并在有無限多個解時求其通解。（12分）20、求一個正交變換，把二次型化為標準形。（12分）五、證明題：（7分）21、設有向量組，試證向量組線性無關。其中：為個互不相等且不為零的常數(shù)?！毒€性代數(shù)B》模擬試卷一一、選擇題1、行列式的值為（）（A）（B）（C）（D）2、（）（A）（B）（C）（D）均不對3、矩陣的秩為（）（A）（B）（C）（D）4、已知非齊次線性方程組的三個解為，則下列哪個仍是的解為（）（A）（B）（C）（D）5、下列關于矩陣的秩的說法正確的是（）（A）秩為的矩陣中一定有不等于的階子式；（B）秩為的矩陣中一定沒有不等于的階子式；（C）秩為的矩陣中一定沒有等于的階子式；（D）秩為的矩陣中一定有不等于的階子式二、填空題1、2、設3元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，是它的兩個不同的解向量，則該方程組的通解為3、設，則中的系數(shù)為4、向量組的秩為5、已知3階方陣的三個特征值為，則6、二次型是否正定：三、計算階行列式（）四、解方程組五、解矩陣方程：六、問取何值時，線性方程組有唯一解？無解？有無窮多解？并在有無窮多解時，求出其通解。七、已知二次型，求一個正交線性變換，將二次型化成標準型，并判斷其正定性。八、證明題設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的基礎解系，證明：線性無關?！毒€性代數(shù)B》模擬試卷二一、填空題（每空3分，共30分）1．設，，則；；2．設，則的行列式;方陣的秩為;3．設向量組：，，，，則的秩為：；的一個最大線性無關向量組為：；4．設四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，已知，，是它的三個解向量，且，，則方程組的通解為：;5．設二次型，則二次型對應的矩陣為：；它是（正/負）定二次型。６．設非奇異方陣有一個特征值，則矩陣必有一個特征值為：。二、舉例說明下列命題是錯誤的（每小題5分，共10分）1．若，則。2．若有唯一解，則有唯一解。三、計算題（共50分）1．計算行列式。（６分）2．設，問是否可逆？若可逆，求其逆陣。（８分）3．解矩陣方程。（８分）4．已知，，，，問(1)，為何值時，不能用線性表示？(2)，為何值時，可由線性表示，且表示式唯一，并寫出表達式；(3)．，為何值時，可由線性表示，且表示式不唯一，并寫出表達式。（1６分）5．設，求一個正交陣,使為對角陣，并寫出對角陣。（1２分）四、證明題（共10分）1．設階方陣滿足，則。(5分)2．設實對稱陣的所有特征值的絕對值都等于１。證明：為正交陣。（５分）《線性代數(shù)B》模擬試卷三一、選擇題（每題4分，共24分）1、行列式的值為：（）(A)0(B)2(C)4(D)82、(A)(B)(C)(D)均不對3、矩陣的秩為：（）(A)1(B)2(C)3(D)44、下列說法正確的是：()(A)(B)(C)(D)5、已知非齊次線性方程組的三個解為,則下列哪個仍是的解()(A)(B)(C)(D)6、已知三階方陣的行列式，則()(A)3(B)9(C)27(D)81二、填空題（每空4分，共24分）1、；2、設與相乘有意義，則=；3、，，則與的夾角為：；4、設方陣滿足，則；5、向量組，，的秩為：；6、已知三階方陣,這里為3階可逆方陣，則；三、計算階行列式（10分）四、（10分）解方程五、（12分）設，，求。六、（12分）求矩陣的特征值及特征向量。七、證明題（8分）設，且向量組線性無關，證明向量組也線性無關?！毒€性代數(shù)B》模擬試卷四一、填空題：（每空4分，共24分）1、.2、設，則中的系數(shù)為；3、已知三階方陣的三個特征值為:，則；4、已知是三階方陣,且,則；5、設三元非齊次線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣的秩為，且它的三個解向量滿足，,則的通解為；6.設,問是不是向量空間？回答：。二、選擇題:（每小題4分，共24分）1、行列式的值為()(A)(B)(C)(D)2、()(A).(B).(C).(D).。3、矩陣的秩為()(A)(B)(C)(D)4、設為矩陣，齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是A的（）(A)列向量組線性無關；(B)列向量組線性相關；(C)行向量組線性無關；(D)行向量組線性相關。5.設線性方程組有個未知量，個方程，且，則此方程組（）(A)時，有解；(B)時，有唯一解；(C)時，有唯一解；(D)時，有無窮多解。6、與向量正交的向量是()(A)(B)(C)(D)三、計算行列式:（6分）四.求向量組，，的秩和一個最大無關組。（8分）五、解矩陣方程：（8分）六、解非齊次線性方程組：（12分）七、設，求一個正交矩陣，使為對角陣。（12分）八、證明題：（6分）設階方陣滿足，其中，為階單位陣，證明可逆并求?！毒€性代數(shù)B》模擬試卷五一、填空題（每空3分，共18分）1．設，，則=；2．設，，則向量與的夾角為；3．設向量組，則的一個最大線性無關組為：4．已知3階方陣有特征值-1，1，2，則=。5．設4元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,且它的三個解向量滿足，,則的通解為：；6．設，則（是/不是）向量空間。二、選擇題（每小題4分，共24分）1．行列式=（）（A）（B）（C）（D）2．設，則中的系數(shù)為。(A)-1；(B)1；(C)-3；(D)3。3．設均為階可逆方陣，下列各式正確的是。(A)；(B)；(C)；(D)。4．設是維向量組，下列命題中正確的是（）。（A）零向量不能由線性表示；（B）如不能由線性表示，則線性無關；（C）如線性相關，不能由線性表示，則線性相關；（D）如中，任意個向量都線性無關，則線性無關。5．已知，為3階非零矩陣，且，則下列敘述正確的是。(A)時，的秩必為1； (B)時，的秩必為2；(C)時，的秩必為2； (D)時，的秩必為1。6．設非齊次線性方程組的未知量個數(shù)為，方程個數(shù)為，則在條件成立時，一定有解。(A)矩陣的列向量組線性無關； (B)矩陣的列向量組線性相關；(C)矩陣的行向量組線性無關； (D)矩陣的行向量組線性相關。三、計算行列式。（8分）四、設，且，求未知矩陣。（8分）五、問取何值時，非齊次線性方程組（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多解？并求出通解。（14分）六、已知二次型，記（1）寫出該二次型的矩陣；（2）求一個正交矩陣，使得為對角陣；（3）寫出該二次型在正交變換下的標準型，其中；（4）該二次型是否為正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）七、設，且與相似，求。（7分）八、設均為正交陣，且，證明。（7分）《線性代數(shù)B》模擬試卷六一、選擇題（每題4分，共24分）1．設，則中的系數(shù)為（）。(A)12；(B)2；(C)-2；(D)-12。2．關于矩陣的乘法，下列結論正確的是（）。(A)若且有兩列，則有兩列；(B)若，則；(C)若和都是矩陣，則和都有意義；(D)若，則或。3．設均為階方陣，則下列等式正確的是（）。(A)；(B)；(C)；(D)。4．關于線性方程組，下列敘述正確的是（）。(A)如果一個方程組有兩個不同的解，則它必然有無窮多解；(B)如果增廣矩陣可以通過初等行變換變成行最簡形，則方程組有解；(C)含個變量個方程的線性方程組至多只有個不同的解；(D)如果方程組有兩個不同的解，則也如此。5．下列向量組中，（）是線性無關的向量組。(A)；(B)；(C)；(D)。6．設為階矩陣，是其伴隨方陣，則下列命題不正確的是（）(A)若可逆，則也可逆；(B)若的秩為，則的秩為；(C)；(D)若可逆，則。二、填空題（每空4分，共24分）7．設，則；8．設，則=；9．設方陣，則；10．設，則矩陣的秩為；11．設3階方陣有特征值，則方陣有特征值；12．設，則向量的夾角為。三、計算下列各題（7小題，共52分）13．計算行列式。（6分）14．設階行列式，為的余子式，計算。(6分)15．已知，求A的逆矩陣。（6分）16．設，且，求未知矩陣。（6分）17．解方程組（6分）18．問取何值時，線性方程組（1）有唯一解（2）無解（3）有無窮多個解？并在有無窮多解時求出解（12分）19．設，求一正交矩陣，使得，其中為對角陣。（10分）《線性代數(shù)B》模擬試卷七一、填空題（每空4分，共24分）1、設，，則2、設，則（是/不是）向量空間3、已知階矩陣有特征值，則4、設矩陣，其中線性無關，且，，則的通解為：5、設，則的列向量組的一個最大線性無關組為：，二、選擇題（每小題4分，共24分）6、設矩陣，則（）（A）（B）（C）