1.1.2-弧度制(兩課時)解析

1.1.2弧度制2024/8/171王山喜文檔-1.1.2弧度制身高：2.26米體重：140千克1米=3.28043英尺1千克=2.2046磅身高：7.41英尺體重：308.6磅2024/8/172王山喜文檔-1.1.2弧度制1790年5月由法國科學家組成的特別委員會，建議以通過巴黎的地球子午線全長的四千萬分之一作為長度單位——米，1791年獲法國國會批準。你知道1米的由來嗎？1960年第十一屆國際計量大會對米的定義作了如下更改：“米的長度等于氪－86原子的2P10和5d1能級之間躍遷的輻射在真空中波長的1650763．73倍”。2024/8/173王山喜文檔-1.1.2弧度制隨著科學技術(shù)的進步，70年代以來，對時間和光速的測定，都達到了很高的精確度。因此，1983年10月在巴黎召開的第十七屆國際計量大會上又通過了米的新定義：“米是1／299792458秒的時間間隔內(nèi)光在真空中行程的長度”。1米的由來2024/8/174王山喜文檔-1.1.2弧度制在平面幾何中研究角的度量，當時是用度做單位來度量角，1°的角是如何定義的？

我們把圓周分成360等份，那么每一等份所對的圓心角的度數(shù)就是1°.這種用度做單位來度量角的單位制叫做角度制.復習引入角度制中，1°＝60′，1′＝60″，1、角度制的定義2024/8/175王山喜文檔-1.1.2弧度制n°r2、弧長公式:3、扇形的面積公式：lOSR2024/8/176王山喜文檔-1.1.2弧度制在角度制下，當把兩個帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時，由于運算進率非十進制，總給我們帶來不少困難；另外，角度制也不利于三角函數(shù)的研究，那么我們能否重新選擇角的單位，使在該單位制下兩角的加、減運算與常規(guī)的十進制加減法一樣去做呢，并且有利于對三角函數(shù)的研究呢？

弧度制引入的必要性在數(shù)學和其他許多科學研究中還要經(jīng)常用到一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？2024/8/177王山喜文檔-1.1.2弧度制在同一個圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一一對應(yīng).當半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧長不相等.探討當n=300時可以計算弧長=12342024/8/178王山喜文檔-1.1.2弧度制OrABLr1A1B1L1L2A2B2Or2與半徑大小無關(guān)2024/8/179王山喜文檔-1.1.2弧度制新課講解一：弧度制

實驗結(jié)果表明：當半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數(shù).稱這個常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長來定義角的大小呢?1弧度的角的大小如何定義呢?2024/8/1710王山喜文檔-1.1.2弧度制我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．1弧度與弧度制的定義

我們把用弧度來作為角的單位的制度稱為弧度制．2024/8/1711王山喜文檔-1.1.2弧度制3radr3rad=3rOABr-3rad2024/8/1712王山喜文檔-1.1.2弧度制A2π弧度=2πrO（B）rr=若=2πr，則∠AOB=此角為周角即為360°360°=2π弧度180°=π弧度2π弧度2024/8/1713王山喜文檔-1.1.2弧度制由180°=π弧度

還可得1°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π180180°=1°×180與角終邊相同的角的集合表示2024/8/1714王山喜文檔-1.1.2弧度制用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結(jié)果，二者就可以相互換算，公式如下：

1°=0.01745rad1rad==57°18′角度制與弧度制的換算

360°=2

rad180°=

rad2024/8/1715王山喜文檔-1.1.2弧度制弧度制與角度制比較：弧度制是以“弧度”為單位的度量角的單制，角度制是以“度”為單位來度量角的單位制；1弧度≠1o；

0弧度=0o，但0弧度與0o不同；（2）1弧度是弧長等于半徑長的圓弧所對的圓心角的大小，而1度是圓周的所對的圓心角的大??；2024/8/1716王山喜文檔-1.1.2弧度制（3）弧度制是十進制，它的表示是用一個實數(shù)表示，而角度制是六十進制；（4）以弧度和度為單位的角，都是一個與半徑無關(guān)的定值?；《戎婆c角度制比較：2024/8/1717王山喜文檔-1.1.2弧度制（1）、把67°30′化成弧度。（2）、把—π

弧度化成度。53解：

解：

角度制與弧度制互換示范

注：今后在用弧度制表示角的時候，弧度二字或rad可以略去不寫。2024/8/1718王山喜文檔-1.1.2弧度制（3）、把-35°化成弧度。（4）、把—π

弧度化成度。34解：

解：

radradpp36735180－35=×=o－－oo2401803434=×=radp2024/8/1719王山喜文檔-1.1.2弧度制1、對于一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)之間的換算要熟記。2、用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”二字通常省略不寫，但用“度”（°）為單位不能省略。3、用弧度為單位表示角時，通常寫成“多少π”的形式。如無特別要求，不用將π化成小數(shù)。注意：度數(shù)0o30o45o60o90o120o135o150o180o270o360o弧度數(shù)0填一填：2024/8/1720王山喜文檔-1.1.2弧度制常用的特殊角的換算角度弧度熟練下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表2024/8/1721王山喜文檔-1.1.2弧度制口答練習.填寫下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π2024/8/1722王山喜文檔-1.1.2弧度制xyoxyo例1、用弧度表示終邊在軸線上的角的集合

xyoxyo2024/8/1723王山喜文檔-1.1.2弧度制注意：（1）關(guān)鍵抓住（2）弧度數(shù)與角度數(shù)是不可以混合寫的××2024/8/1724王山喜文檔-1.1.2弧度制銳角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角：{θ|θ=90°}鈍角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：{θ|θ=180°}周角：{θ|θ=360°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°}0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}鑒別：請用弧度制表示下列角度的范圍。2024/8/1725王山喜文檔-1.1.2弧度制

例2、用弧度制表示常見區(qū)間角（1）第一象限角構(gòu)成的集合（2）第二象限角構(gòu)成的集合（3）第三象限角構(gòu)成的集合（4）第四象限角構(gòu)成的集合（5）第一、四象限角及x正半軸構(gòu)成的集合（6）第一、二象限角及y正半軸構(gòu)成的集合2024/8/1726王山喜文檔-1.1.2弧度制用弧度來度量角，實現(xiàn)角的集合與實數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系：實數(shù)集R角的集合正角零角負角正實數(shù)零負實數(shù)對應(yīng)角的弧度數(shù)

引人弧度制的意義2024/8/1727王山喜文檔-1.1.2弧度制（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：2.下列角的終邊相同的是（）．A．與與與與B．C．

D．

練習B2024/8/1728王山喜文檔-1.1.2弧度制4.5弧度的角所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.將分針撥快15分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是()A.- B.C.- D.CD5.已知π＜α+β＜，-π＜α-β＜-，求2α-β的范圍.

練習2024/8/1729王山喜文檔-1.1.2弧度制

練習2024/8/1730王山喜文檔-1.1.2弧度制1.什么叫1弧度角?2.任意角的弧度的定義.3.“角化弧”時,將n乘以；

“弧化角”時，將α乘以;課堂小結(jié)長度等于半徑的弧所對的圓心角等于1弧度長度等于半徑的弦所對的圓心角等于1弧度嗎？2024/8/1731王山喜文檔-1.1.2弧度制課本作業(yè)P9練習T1、2、3P10習題A組7、82024/8/1732王山喜文檔-1.1.2弧度制思考:如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l,那么α的弧度數(shù)是多少?

角α的弧度數(shù)的絕對值是α的正負由角α的終邊旋轉(zhuǎn)方向決定r為半徑,l為角α所對弧的長新課講解二：弧長和面積公式

2024/8/1733王山喜文檔-1.1.2弧度制扇形的弧長及面積公式

例題

講解2024/8/1734王山喜文檔-1.1.2弧度制(2)設(shè)扇形所對的圓心角為no(αrad)，則(3)又αR=l，所以證明：(1)由公式

例題

講解2024/8/1735王山喜文檔-1.1.2弧度制變式1、扇形AOB中，弧AB所對的圓心角是60o，半徑是50米，求弧AB的長l（精確到0.1米）。

例題

講解變式2、在半徑為R的圓中，240o的中心角所對的弧長為

，面積為2R2的扇形的中心角等于

弧度。2024/8/1736王山喜文檔-1.1.2弧度制變式2、在半徑為R的圓中，240o的中心角所對的弧長為

，面積為2R2的扇形的中心角等于

弧度。解：（1）240o=，根據(jù)l=αR，得（2）根據(jù)S=lR=αR2，且S=2R2.所以α=4.2024/8/1737王山喜文檔-1.1.2弧度制變式3、已知一半徑為R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？

例題

講解2024/8/1738王山喜文檔-1.1.2弧度制

例題

講解例4、如果一扇形的周長為20cm，問扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？解：2024/8/1739王山喜文檔-1.1.2弧度制例5、

扇形AOB中，所對的圓心角是60o，半徑是50米，求的長l（精確到0.1米）。解：因為60o=,所以l