2020-2021學年新教材高中數(shù)學立體幾何初步11.3.1平行直線與異面直線學案

11.3空間中的平行關(guān)系11.3.1平行直線與異面直線必備知識·自主學習一、平行直線如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行,并且方向相同,那么這兩個角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,這兩個角還相等嗎?提示:可能相等,也可能互補,只有這兩種情況.(2)等角定理有什么作用?提示:可以證明兩個角相等.二、異面直線空間中既不平行也不相交的直線.與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面.(1)空間中兩條不相交的直線是異面直線嗎?提示:不一定.空間中不相交的直線可能是異面直線,也可能是平行直線.(2)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎?提示:不一定.可能平行、相交或異面.三、空間四邊形順次連接不共面的4點所構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形.其中4個點都是空間四邊形的頂點.連接不相鄰頂點間的線段稱為空間四邊形的對角線.(1)空間四邊形與四面體是一回事嗎?提示:不是一回事.空間四邊形可以看成由一個四面體的四條棱構(gòu)成的圖形,空間四邊形不是四面體.(2)梯形是空間四邊形嗎?提示:不是.因為梯形是一個平面圖形,它的四個頂點在一個平面上,所以它不是空間四邊形.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.()(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行.()(3)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線,則b與c是異面直線.()提示:(1)×.沒有公共點的兩條直線是平行直線或異面直線.(2)×.在空間中垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行,例如在長方體ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都與棱AA′垂直,但是這兩條直線相交.(3)×.若a,b是異面直線,a,c是異面直線,那么b,c可以平行,可以相交,可以異面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,則∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°【解析】選B.因為AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR與∠ABC相等或互補.因為∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.3.(教材二次開發(fā):例題改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AA1,CC1的中點,則四邊形D1A.正方形 B.菱形 C.矩形 【解析】選B.設正方體的棱長為2,直接計算可知四邊形D1PBQ各邊均為QUOTE,又四邊形D1PBQ是平行四邊形,所以四邊形D1PBQ是菱形.1B1C1D1中,E,F分別是線段C1D,BC的中點,則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是_______【解析】直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交.答案:相交關(guān)鍵能力·合作學習類型一兩直線的平行(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.在如圖所示三棱臺中,平行的直線有幾對?2.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BCQUOTEAD,BEQUOTEFA,G,H分別為FA,FD的中點.(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)判斷C,D,F,E四點是否共面?為什么?【思路導引】1.平行直線是在一個平面內(nèi)沒有公共點的直線,可在三個側(cè)面中尋找.2.(1)證明四邊形BCHG的一組對邊平行且相等.(2)只需證明C,H,F,E四點共面,即可推出C,D,F,E四點共面.【解析】1.由題知三棱臺中平行的直線:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GHQUOTEQUOTEAD,所以GHBC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.(2)共面.理由:由BEQUOTEAF,G為FA的中點知,BEFG,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四點共面.證明空間兩條直線平行的方法(1)平面幾何法.三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等.(2)定義法.用定義證明兩條直線平行,要證明兩個方面:一是兩條直線在同一平面內(nèi);二是兩條直線沒有公共點.(3)空間平行線的傳遞性.用空間平行線的傳遞性證明兩條直線平行,只需找到直線b,使得a∥b,同時b∥c,由空間平行線的傳遞性即可得到a∥c.1.(2020·佛山高一檢測)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱長均為2,D為CC1(1)求多面體ABD-A1B1C1(2)設A1C與AD的交點為E,B1C與BD的交點為F,求證:A1B【解析】(1)多面體ABD-A1B1C1的體積等于三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去三棱錐D-ABC的體積,即QUOTE×22×2-QUOTE×QUOTE×22×1=2QUOTE-QUOTE=QUOTE.(2)在正方形ACC1A1中,QUOTE=QUOTE=QUOTE,在正方形BCC1B1中,QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC和AD的中點,將平面DCEF沿EF翻折起來,使CD到C′D′的位置,G,H分別為AD′和BC′的中點,求證:四邊形EFGH為平行四邊形.【證明】因為在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分別為BC,AD的中點,所以EF∥AB且EF=QUOTE(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因為G,H分別為AD′,BC′的中點,所以GH∥AB且GH=QUOTE(AB+C′D′)=QUOTE(AB+CD),所以GHEF,所以四邊形EFGH為平行四邊形.類型二異面直線的定義及應用(邏輯推理、直觀想象)【典例】1.一個正方體紙盒展開后如圖所示,在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:①AB⊥EF;②EF與MN是異面直線;③MN∥CD.其中,正確結(jié)論的序號是()A.①②B.①③C.②③D.①②③2.已知a,b,c是三條直線,且a與b異面,b與c異面,試判斷a與c的位置關(guān)系,并畫圖說明.【思路導引】1.將正方體表面的展開圖還原成正方體,在正方體中可以直觀作出判斷.2.選擇恰當?shù)钠矫孀鳛橐r托,畫出可能出現(xiàn)的情況.【解析】1.選A.把正方體的平面展開圖還原到原來的正方體如圖所示,AB⊥EF,EF與MN是異面直線,MN⊥CD,只有①②正確.2.直線a與c的位置關(guān)系有三種,如圖所示.直線a與c可能平行(如圖①所示),也可能相交(如圖②所示),還可能異面(如圖③所示).(1)建立空間觀念,全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系.特別關(guān)注異面直線.(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用,會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系.(1)證明兩條直線既不平行又不相交.(2)利用結(jié)論:與一個平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線異面.1.如圖,a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,E,F分別是線段AC和BD的中點,判斷EF和a,EF和b的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【解析】假設EF和a共面,設這個平面為α,則EF?α,a?α.所以A,B,E,F∈α,所以BF?α,AE?α.又因為C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b?α.從而a,b共面于α,這與題設條件a,b是異面直線相矛盾.所以EF和a共面的假設不成立,所以EF和a是異面直線.同理可得EF和b也是異面直線.2.如圖所示,已知α∩β=a,b?β,a∩b=A,且c?α,c∥a.求證:b,c為異面直線.【證明】假設b,c不是異面直線,則b,c一定相交或平行.若b,c相交于一點P,b?β,c?α,又α∩β=a,則P∈b?β,且P∈c?α,所以交點P一定在α,β的交線上,即P∈a,所以a∩c=P,這與已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,則a∥b,這與已知條件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.綜上可知b,c為異面直線.類型三等角定理的應用(邏輯推理、直觀想象)【典例】在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D求證:(1)四邊形EFF1E1為平行四邊形.(2)∠EA1F=∠E1CF1【思路導引】(1)欲證四邊形EFF1E1為平行四邊形可證其一組對邊平行且相等.(2)可結(jié)合(1)利用等角定理證明.【證明】(1)連接BD,B1D1,在△ABD中,因為E,F分別為AB,AD的中點,所以EFQUOTEBD,同理E1F1QUOTEB1D1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,所以四邊形BDD1B1是平行四邊形,所以BDB1D1,所以EFE1F1.所以四邊形EFF1E1為平行四邊形.(2)取A1B1的中點M,連接BM,F1M因為MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四邊形BCF1M所以MB∥CF1,因為A1MEB,所以四邊形EBMA1是平行四邊形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可證:A1F∥E1C,又∠EA1F與∠F1所以∠EA1F=∠E1CF1證明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1(1)求證:四邊形BB1M(2)求證:∠BMC=∠B1M1【證明】(1)因為ABCD-A1B1C1D1所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點,所以AM=A1M1且AM∥A1M所以四邊形AMM1A1為平行四邊形所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四邊形BB1M(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M所以B1M1∥1M1M為平行四邊形,所以C1M1∥∠BMC和∠B1M1C1方法二:由(1)知四邊形BB1M所以B1M11M1M為平行四邊形,所以C1M11C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M課堂檢測·素養(yǎng)達標1.如果兩條異面直線稱為“一對”,那么正方體的12條棱中,異面直線共有() B.24對 C.36對 【解析】選B.如圖所示,正方體中與AB異面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1因為各棱具有相同的位置,且正方體有12條棱,排除兩棱的重復計算,所以異面直線共有QUOTE=24對.2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是()A.平行或異面 C.異面 【解析】選B.假設a與b是異面直線,而c∥a,則c顯然與b不平行(否則c∥b,則有a∥b,矛盾),因此c與b可能相交或異面.3.(多選題)(教材二次開發(fā):練習改編)下列結(jié)論中,錯誤的是()A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角或直角相等C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直,那么這兩個角相等或互補D.如果兩條直線同時垂直于第三條直線,那么這兩條直線互相垂直【解析】選AD.A中,如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補,故選項A錯誤;B中,如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角或直角相等,故選項B正確;C中,如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直,兩角相等或互補,故選項C正確;D中,如果兩條直線同時垂直于第三條直線,那么這兩條直線可能為異面直線,故選項D錯誤.4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分別是AB,AC上的點,且AE∶EB=AF∶FC,則EF與B1C1的位置關(guān)系是【解析】在△ABC中,因為AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1答案:平行1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點,求證:∠DNM=∠D1A【證明】如圖,連接AC,在△ACD中,因為M,N分別是CD,AD的中點,所以MN是△ACD的中位線,所以MN∥AC,MN=QUOTEAC.由正方體的性質(zhì),得AC∥A1C1,AC=A1C所以MN∥A1C1又因為ND∥A1D1,所以∠DNM與∠D1A1而∠DNM與∠D1A1所以∠DNM=∠D1A1課時素養(yǎng)評價十五平行直線與異面直線(15分鐘30分)1.兩個三角形不在同一平面內(nèi),它們的邊兩兩對應平行,那么這兩個三角形 ()A.全等 C.僅有一個角相等 【解析】選D.由等角定理知,這兩個三角形的三個角分別對應相等,所以這兩個三角形相似.2.在三棱錐S-ABC中,與SA是異面直線的是 ()【解析】選C.如圖所示,SB,SC,AB,AC與SA均是相交直線,BC與SA既不相交,也不平行,是異面直線.3.如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有.

【解析】題干圖①中,GH∥②中,G,H,N三點共面,但M?③中,連接MG,GM∥④中,G,M,N三點共面,但H?平面GMN,所以GH與MN異面.答案:②④4.已知在三棱錐A-BCD中,M,N分別為AB,CD的中點,則下列四個結(jié)論:①MN≥QUOTE(AC+BD);②MN≤QUOTE(AC+BD);③MN=QUOTE(AC+BD);④MN<QUOTE(AC+BD).其中正確的是.

【解析】設BC中點為P,連接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<QUOTE(AC+BD),故④正確.答案:④5.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是【解析】(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D1所以四邊形A1BCD1為平行四邊形,所以A1B∥D1C(2)直線A1B與直線B1C答案:(1)平行(2)異面6.如圖,E,F分別是長方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C求證:四邊形B1EDF是平行四邊形.【證明】設Q是DD1的中點,連接EQ,QC1,因為E是AA1的中點,所以EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C所以EQB1C1,所以四邊形EQC1B1所以B1EC1Q.又因為Q,F是矩形DD1C所以QDC1F,所以四邊形DQC1所以C1QDF,又因為B1EC1Q,所以B1EDF,所以四邊形B1EDF為平行四邊形.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA與O1AA.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B11B1不平行1B1不一定平行【解析】選D.如圖①②所示,OB與O1B1不一定平行.2.以下選項中,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,且是所在棱的中點,則直線PQ與RS是異面直線的是 ()【解析】選C.本題容易錯選A或B或D.不能嚴格根據(jù)異面直線的定義對兩直線的位置關(guān)系作出正確判斷,僅憑主觀臆測和對圖形的模糊認識作出選擇.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.3.如圖所示的正方體的平面展開圖,在這個正方體中:①MN∥ED;②CN與BE是異面直線;③DM⊥BN.以上四個結(jié)論中正確的序號是 ()A.①② B.②③ C.③ D.①②③【解析】選C.如圖所示,把正方體的平面展開圖還原到原來的正方體,顯然MN與ED為異面直線,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四個選項中僅有選項C不含①②,故選C.4.已知a,b是兩條不重合的直線,α,β是兩個不重合的平面,則下列說法中正確的是 ()A.若a∥b,b?α,則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線B.若α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線C.若α∥β,a?α,則a⊥βD.若α∩β=b,a?α,則a,b一定相交【解析】選A.A中,a∥b,b?α,則a∥α或a?α,所以不管a在平面內(nèi)還是平面外,結(jié)論都成立,故A正確;B中,直線a與b沒有交點,所以a與b可能異面,也可能平行,故B錯誤;C中,直線a與平面β沒有公共點,所以a∥β,故C錯誤;D中,直線a與平面β有可能平行,故D錯誤.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.a,b,c是空間中的三條直線,下列說法中正確的是 ()A.若a∥b,b∥c,則a∥cB.若a與b相交,b與c相交,則a與c也相交C.若a,b分別在兩個相交平面內(nèi),則這兩條直線可能平行、相交或異面D.若a與c相交,b與c異面,則a與b異面【解析】選AC.由平行線的傳遞性知A正確;若a與b相交,b與c相交,則a與c可能平行、相交或異面,B錯誤;易知C正確;若a與c相交,b與c異面,則a與b可能相交、平行或異面,故D錯誤.6.(多選題)如圖,在四面體A-BCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點,則下列說法中正確的是 ()A.M,N,P,Q四點共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形.【解析】選ABC.由中位線定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.對于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四點共面,故A說法正確;對于B,根據(jù)等角定理,得∠QME=∠CBD,故B說法正確;對于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C說法正確;由三角形的中位線定理,知MQQUOTEBD,NPQUOTEBD,所以MQNP,所以四邊形MNPQ為平行四邊形,故D說法不正確.【補償訓練】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C11是相交直線1是異面直線1是異面直線【解析】1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,故A,B錯誤,直線BN與MB1是異面直線,直線AM與DD1是異面直線,故C,D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D(1)∠DBC的兩邊與∠的兩邊分別平行且方向相同;

(2)∠DBC的兩邊與∠的兩邊分別平行且方向相反.

【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反答案:(1)D1B1C1(2)B1D1【補償訓練】已知角α和角β的兩邊分別平行且一組邊的方向相同,另一組邊的方向相反,若α=45°,則β=.

【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M∈AB1,N∈BC1①AA1⊥MN;②A1C1③MN與A1C1其中正確結(jié)論的序號是.

【解析】考慮極端:M為A,N為B,排除②;M為B1,N為C1,排除③.故填①.答案:①四、解答題(每小題10分,共20分)1B1C1D1中,M,N,P分別是CC1,B1C1,C1D1的中點.求證:∠NMP=∠BA【證明】如圖,連接CB1,CD1,因為CDA1B1,所以四邊形A1B1CD是平行四邊形,所以A1D∥B1C因為M,N分別是CC1,B1C1所以MN∥B1C,所以MN∥A1A1D1所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1.因為M,P分別是CC1,C1D1的中點,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.10.如圖,ABCD-A′B′C′D′為長方體,底面是邊長為a的正方形,高為2a,M,N分別是CD和AD的中點.(1