新教材高中數(shù)學第1章集合與常用邏輯用語1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定課件

1.5.2

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定課標定位素養(yǎng)闡釋1.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.2.能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.3.會判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的否定的真假.4.培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、命題的否定【問題思考】給出下列命題:1.比較(1)和(3),(2)和(4),它們之間有什么關(guān)系?提示:命題(3)是對命題(1)的否定;命題(4)是對命題(2)的否定.2.試判斷以上四個命題的真假.提示:(1)假;(2)真;(3)真;(4)假.3.填空:(1)一般地,對一個命題進行否定,就可以得到一個新的命題,這一新命題稱為原命題的否定.(2)一個命題和它的否定不能同時為真命題,也不能同時為假命題,只能一真一假.二、全稱量詞命題的否定【問題思考】1.寫出下列命題的否定:(1)所有的正比例函數(shù)都是一次函數(shù);(2)每一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式.提示:(1)并非所有的正比例函數(shù)都是一次函數(shù).(2)并非每一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)形式.2.怎樣用存在量詞改寫上述兩個命題的否定?提示:(1)存在一個正比例函數(shù)不是一次函數(shù).(2)存在一個有理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.3.以上兩個命題的否定與原命題在形式上有什么變化?提示:這兩個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題.4.填表:5.做一做:命題“?x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是(

)A.?x∈R,都有x2-x+1≤0B.?x∈R,使x2-x+1>0C.?x∈R,使x2-x+1≤0D.以上均不正確解析:原命題為全稱量詞命題,其否定為存在量詞命題.故選C.答案:C三、存在量詞命題的否定【問題思考】1.寫出下列命題的否定:(1)有些矩形是正方形;(2)?x∈R,x3-1=0.提示:(1)沒有一個矩形是正方形.(2)不存在x∈R,x3-1=0.2.怎樣用全稱量詞改寫上述兩個命題的否定?提示:(1)每一個矩形都不是正方形.(2)?x∈R,x3-1≠0.3.以上兩個命題的否定與原命題在形式上有什么變化?提示:這兩個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題.4.填表:5.做一做:命題“?x≥0,2x=3”的否定是(

)A.?x<0,2x≠3 B.?x≥0,2x≠3C.?x≥0,2x≠3 D.?x<0,2x≠3解析:因為原命題為存在量詞命題,所以其否定為全稱量詞命題,即?x≥0,2x≠3.答案:B【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式是唯一的.(×)(2)全稱量詞命題的否定一定是存在量詞命題,存在量詞命題的否定一定是全稱量詞命題.(√)(3)存在量詞命題與其否定的真假可以相同.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

全稱量詞命題的否定與真假判斷【例1】

寫出下列全稱量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)所有矩形的對角線相等;(2)不論m取什么實數(shù),x2+x-m=0必有實數(shù)根;(3)等圓的面積相等,周長相等.解:(1)該命題的否定:有的矩形對角線不相等.是假命題.(2)該命題的否定:存在實數(shù)m,使得x2+x-m=0沒有實數(shù)根.當Δ=1+4m<0,即

時,方程沒有實數(shù)根,故為真命題.(3)該命題的否定:存在一對等圓,其面積不相等或周長不相等.是假命題.若題(2)變?yōu)椤安徽搈取什么實數(shù),關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0都無實數(shù)根”,試寫出其否定,并判斷其真假.解:該命題的否定:存在實數(shù)m,使關(guān)于x的方程x2+2mx+m2+1=0有實數(shù)根.由于Δ=(2m)2-4(m2+1)=-4<0,故方程無實數(shù)根.所以其否定為假命題.反思感悟全稱量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)全稱量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式應該是先把全稱量詞改為存在量詞,再對命題p(x)進行否定,即“?x∈M,p(x)”.所以全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.(2)若全稱量詞命題為真命題,則其否定命題就是假命題;若全稱量詞命題為假命題,則其否定命題就是真命題.【變式訓練1】

命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(

)A.?x∈R,|x|+x2<0 B.?x∈R,|x|+x2≤0C.?x∈R,|x|+x2<0 D.?x∈R,|x|+x2≥0解析:根據(jù)全稱量詞命題的否定形式知,命題“?x∈R,|x|+x2≥0”的否定為“?x∈R,|x|+x2<0”.故選C.答案:C探究二

存在量詞命題的否定與其真假判斷【例2】

寫出下列存在量詞命題的否定并判斷真假:(1)?x>1,使x2-2x-3=0;(2)存在一個實數(shù)x,使得x2+x+1≤0;(3)至少有一個點(x,y),滿足y=2x+1.解:(1)該命題的否定:?x>1,x2-2x-3≠0.是假命題.(2)該命題的否定:對所有實數(shù)x,都有x2+x+1>0.利用配方法可得其否定為真命題.(3)該命題的否定:對所有的點(x,y),都不滿足y=2x+1.是假命題.反思感悟存在量詞命題的否定形式與判斷真假的方法(1)存在量詞命題的形式是:“?x∈M,p(x)”,其否定形式是先把存在量詞改為全稱量詞,再對命題p(x)進行否定,即“?x∈M,

p(x)”,所以存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.(2)存在量詞命題的否定的真假性與存在量詞命題相反;要說明一個存在量詞命題是真命題,只需要找到一個實例即可.【變式訓練2】

寫出下列存在量詞命題的否定,并判斷其真假.(1)有些被5整除的整數(shù)末位是0;(2)存在x∈R,x>2;(3)存在x∈R,x2<0.解:(1)該命題的否定:所有被5整除的整數(shù)末位都不是0.是假命題.(2)該命題的否定:任意x∈R,有x≤2,是假命題.(3)該命題的否定:任意x∈R,x2≥0,是真命題.易

錯

辨

析忽略隱含量詞致錯【典例】

寫出下列命題的否定.(1)有理數(shù)是實數(shù);(2)能被8整除的數(shù)都能被4整除.錯解:(1)該命題的否定:有理數(shù)不是實數(shù).(2)該命題的否定:能被8整除的數(shù)不能被4整除.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:由于有些全稱量詞命題或存在量詞命題隱含了量詞,從而導致未變化量詞而直接否定結(jié)論出現(xiàn)錯誤.正解:(1)原命題省略了全稱量詞“所有的”,可以改寫為“所有的有理數(shù)都是實數(shù)”,故原命題的否定為:至少存在一個有理數(shù)不是實數(shù).(2)原命題省略了全稱量詞“每一個”,可以改寫為“每一個能被8整除的數(shù)都能被4整除”,故原命題的否定為:有些能被8整除的數(shù)不能被4整除.防范措施1.對于隱含了量詞的命題的否定,先補全量詞再進行否定.要注意對其進行改寫進而找出量詞,同時應把握每一個命題的含義,寫出否定形式后最好結(jié)合它們的真假性(一真一假)進行驗證.2.注意對全稱量詞命題和存在量詞命題的否定形式的理解,培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).隨

堂

練

習1.命題“存在x∈R,2x≤0”的否定是(

)A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x∈R,2x≥0C.對任意的x∈R,2x≤0 D.對任意的x∈R,2x>0答案:D2.命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(

)A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)答案:D3.存在量詞命題“有些奇數(shù)是合數(shù)”的否定是

,這是

命題