人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 2.2.1-2.2.2同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

2．2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2．2.1直線與平面平行的判定2．2.2平面與平面平行的判定[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義.2.會(huì)用圖形語言、文字語言、符號(hào)語言準(zhǔn)確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能運(yùn)用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡單問題．[知識(shí)鏈接]1．直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、直線在平面內(nèi)．2．直線a與平面α平行的定義：直線與平面無公共點(diǎn)．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．直線與平面平行的判定定理語言敘述符號(hào)表示圖形表示平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α2.平面與平面平行的判定定理語言敘述符號(hào)表示圖形表示一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝A,a∥β，b∥β))?α∥β要點(diǎn)一線面平行判定定理的應(yīng)用例1如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．求證：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.證明(1)∵EH為△ABD的中位線，∴EH∥BD.∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.規(guī)律方法1.利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．2．證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平行公理等．跟蹤演練1如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，M為SC的中點(diǎn)，求證：SA∥平面MDB.證明連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM.∵M(jìn)為SC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，∴OM∥SA.∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，∴SA∥平面MDB.要點(diǎn)二面面平行判定定理的應(yīng)用例2如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)D，E分別是BC與B1C1的中點(diǎn)．求證：平面A1EB∥平面ADC1.證明由棱柱性質(zhì)知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以C1E綊DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形，因此EB∥C1D，又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.連接DE，同理，EB1綊BD，所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED綊B1B.因?yàn)锽1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性質(zhì))，所以ED綊A1A，則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以A1E∥AD，又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.規(guī)律方法1.要證明兩平面平行，只需在其中一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線平行于另一個(gè)平面．2．判定兩個(gè)平面平行與判定線面平行一樣，應(yīng)遵循先找后作的原則，即先在一個(gè)面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線，若找不到再作輔助線．跟蹤演練2如圖，三棱錐PABC中，E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)．證明平面GFE∥平面PCB.證明因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AC，AP的中點(diǎn)，所以EF∥BC，GF∥CP.因?yàn)镋F，GF?平面PCB，BC，CP?平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.要點(diǎn)三線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用例3已知底面是平行四邊形的四棱錐PABCD，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論，并說出點(diǎn)F的位置．解如圖，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OE，過B點(diǎn)作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥CE，交PC于點(diǎn)F，連接BF.∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，∴平面BGF與平面AEC無公共點(diǎn)，∴BF與平面AEC無公共點(diǎn)．∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD的中點(diǎn)，∴E是GD的中點(diǎn)．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中點(diǎn)．而GF∥CE，∴F為PC的中點(diǎn)．因此，當(dāng)點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC.規(guī)律方法要證明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線．要證明線面平行，又需根據(jù)線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線，即：eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up7(線面平行),\s\do5(的判定))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up7(面面平行),\s\do5(的判定))eq\x(面面平行)跟蹤演練3如圖，S是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是SA，BD上的點(diǎn)，且eq\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB).求證：MN∥平面SBC.解連接AN并延長交BC于P，連接SP，因?yàn)锳D∥BC，所以eq\f(DN,NB)＝eq\f(AN,NP)，又因?yàn)閑q\f(AM,SM)＝eq\f(DN,NB)，所以eq\f(AM,SM)＝eq\f(AN,NP)，所以MN∥SP.又MN?平面SBC，SP?平面SBC，所以MN∥平面SBC.1．過直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不可能作出B．只能作出一個(gè)C．能作出無數(shù)個(gè)D．上述三種情況都存在答案D解析設(shè)直線外兩點(diǎn)為A、B，若直線AB∥l，則過A、B可作無數(shù)個(gè)平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個(gè)平面與l平行；若直線AB與l相交，則過A、B沒有平面與l平行．2．能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b答案D解析A錯(cuò)誤，若b?α，a∥b，則a∥α或a?α；B錯(cuò)誤，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α；C錯(cuò)誤，若滿足此條件，則a∥α或a?α或a與α相交；D正確．3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則()A．α內(nèi)的所有直線與l異面B．α內(nèi)不存在與l平行的直線C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)的直線與l都相交答案B解析直線l不平行于平面α，且l?α，所以l與α相交，故選B.4．在正方體EFGHE1F1G1H1中，下列四對(duì)截面彼此平行的一對(duì)是()A．平面E1FG1與平面EGH1B．平面FHG1與平面F1H1GC．平面F1H1H與平面FHE1D．平面E1HG1與平面EH1G答案A解析如圖，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可證H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關(guān)系是________．答案CD∥α解析因?yàn)锳B∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α.1.直線與平面平行的關(guān)鍵是在已知平面內(nèi)找一條直線和已知直線平行，即要證直線和平面平行，先證直線和直線平行，即由立體向平面轉(zhuǎn)化，由高維向低維轉(zhuǎn)化．2．證明面面平行的一般思路：線線平行?線面平行?面面平行．3．準(zhǔn)確把握線面平行及面面平行兩個(gè)判定定理，是對(duì)線面關(guān)系及面面關(guān)系作出正確推斷的關(guān)鍵．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知三個(gè)平面α，β，γ，一條直線l，要得到α∥β，必須滿足下列條件中的()A．l∥α，l∥β，且l∥γB．l?γ，且l∥α，l∥βC．α∥γ，且β∥γD．l與α，β所成的角相等答案C解析eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ?α與γ無公共點(diǎn),β∥γ?β與γ無公共點(diǎn)))?α與β無公共點(diǎn)?α∥β.2．下列圖形中能正確表示語句“平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥β”的是()答案D解析A中不能正確表達(dá)b?β；B中不能正確表達(dá)a∥β；C中也不能正確表達(dá)a∥β；D正確．3．在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MC1與平面AA1B1B的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．相交或平行答案B解析如圖，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等且不為零，則α與β的位置關(guān)系為()A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案C解析若三點(diǎn)分布于平面β的同側(cè)，則α與β平行，若三點(diǎn)分布于平面β的兩側(cè)，則α與β相交．5．點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則空間四面體的六條棱中與平面EFGH平行的條數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案C解析如圖，由線面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夾在兩個(gè)平面間的三條平行線段相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為________．答案平行或相交解析三條平行線段共面時(shí)，兩平面可能平行也可能相交，當(dāng)三條平行線段不共面時(shí)，兩平面一定平行．7．如圖所示的幾何體中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，求證：DF∥平面ABC.證明如圖所示，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，CG，∵F，G分別是BE，AB的中點(diǎn)，∴FG∥AE，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)AE.又∵AE＝2a，CD＝a，∴CD＝eq\f(1,2)AE.又AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG，∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴DF∥CG.又CG?平面ABC，DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.二、能力提升8．已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是()A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β答案D解析如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，則AB∥平面DC1，AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以A錯(cuò)誤；取BB1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以B錯(cuò)誤；可證AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，又平面AC與平面BC1不平行，所以C錯(cuò)誤；很明顯D是面面平行的判定定理，所以D正確．9．三棱錐SABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，則EG與平面SBC的關(guān)系為________．答案平行解析如圖，延長AG交BC于F，則由G為△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如圖是正方體的平面展開圖．在這個(gè)正方體中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．答案①②③④解析以ABCD為下底面還原正方體，如圖：則易判定四個(gè)命題都是正確的．11．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC的中點(diǎn)，連接AD，DC1，A1B，AC1，求證：A1B∥平面ADC1.證明連接A1C，設(shè)A1C∩AC1＝O，再連接OD.由題意知，A1ACC1是平行四邊形，所以O(shè)是A1C的中點(diǎn)，又D是CB的中點(diǎn)，因此OD是△A1CB的中位線，即OD∥A1B.又A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究與創(chuàng)新12.如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別為棱AB，CC1，AA1，C1D1的中點(diǎn)．求證：平面CEM∥平面BFN.證明因?yàn)镋，F(xiàn)，M，N分別為其所在各棱的中點(diǎn)，如圖連接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易證四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以ME∥NF.連接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF為平面BFN中兩相交直線，ME，MD1為平面CEM中兩相交直線，故平面CEM∥平面BFN.13．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形