人教A版必修二高中數(shù)學第一章 1.1 第1課時同步課堂導學案【含詳細解析】

1．1空間幾何體的結(jié)構(gòu)第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征[學習目標]1.通過對實物模型的觀察，歸納認知簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.2.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來判斷、描述現(xiàn)實生活中的實物模型．[知識鏈接]觀察下列圖片，你知道這些圖片所表示的物體在幾何中分別叫什么名稱嗎？答(1)、(8)為圓柱；(2)為長方體；(3)、(6)為圓錐；(4)、(10)為圓臺；(5)、(7)、(9)為棱柱；(11)、(12)為球；(13)、(16)為棱臺；(14)、(15)為棱錐．[預習導引]1．空間幾何體(1)概念：如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫做空間幾何體．(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體(如圖)，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點．2．幾種常見的多面體多面體定義圖形及表示相關概念棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.如圖可記作：棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相平行的面.側(cè)面：其余各面．側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點：側(cè)面與底面的公共頂點.棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.如圖可記作，棱錐SABCD底面(底)：多邊形面．側(cè)面：有公共頂點的各個三角形面．側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點：各側(cè)面的公共頂點．棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.如圖可記作：棱臺ABCDA′B′C′D′上底面：原棱錐的截面．下底面：原棱錐的底面．側(cè)面：其余各面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊．頂點：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點.要點一棱柱的結(jié)構(gòu)特征例1下列關于棱柱的說法：(1)所有的面都是平行四邊形；(2)每一個面都不會是三角形；(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的序號是________．答案(3)(4)解析(1)錯誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；(2)錯誤，棱柱的底面可以是三角形；(3)正確，由棱柱的定義易知；(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，所以說法正確的序號是(3)(4)．規(guī)律方法棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)兩個面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征．跟蹤演練1下列關于棱柱的說法錯誤的是()A．所有的棱柱兩個底面都平行B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互相平行C．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D．棱柱至少有五個面答案C解析對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．要點二棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例2下列關于棱錐、棱臺的說法：(1)棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；(2)棱錐的側(cè)面只能是三角形；(3)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是________．答案(1)(2)(3)解析(1)正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；(2)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；(3)正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；(4)錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．規(guī)律方法判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2)直接法：棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點延長后相交于一點跟蹤演練2棱臺不具有的性質(zhì)是()A．兩底面相似B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱長都相等D．側(cè)棱延長后相交于一點答案C解析由棱臺的概念(棱臺的產(chǎn)生過程)可知A，B，D都是棱臺具有的性質(zhì)，而側(cè)棱長不一定相等．要點三多面體的表面展開圖例3畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖．解表面展開圖如圖所示：規(guī)律方法多面體表面展開圖問題的解題策略：(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．(2)已知展開圖：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．跟蹤演練3一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC＝________答案60°解析將平面圖形翻折，折成空間圖形，如圖．1．三棱錐的四個面中可以作為底面的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D解析由于三棱錐的每一個面均可作為底面，應選D.2．棱柱的側(cè)面都是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．矩形答案B解析由棱柱的性質(zhì)可知，棱柱的側(cè)面都是四邊形．3．如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案C解析可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體．4．下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(僅填相應序號)．答案①③④⑥⑤解析結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．5.如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后將水槽傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體的形狀是________．答案四棱柱解析由于傾斜角度較小，所以傾斜后水槽中水形成的幾何體的形狀應為四棱柱．1．棱柱、棱錐、棱臺的關系在運動變化的觀點下，棱柱、棱錐、棱臺之間的關系可以用下圖表示出來(以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例)．2．(1)各種棱柱之間的關系①棱柱的分類棱柱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(直棱柱\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正棱柱,一般的直棱柱)),斜棱柱))②常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關系(2)棱柱、棱錐、棱臺在結(jié)構(gòu)上既有區(qū)別又有聯(lián)系，具體見下表：名稱底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤飧咂叫杏诘酌娴慕孛胬庵崩庵叫星胰鹊膬蓚€多邊形平行四邊形平行且相等與底面全等直棱柱平行且全等的兩個多邊形矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等正棱柱平行且全等的兩個正多邊形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于側(cè)棱與底面全等棱錐正棱錐一個正多邊形全等的等腰三角形有一個公共頂點且相等過底面中心與底面相似其他棱錐一個多邊形三角形有一個公共頂點與底面相似棱臺正棱臺平行且相似的兩個正多邊形全等的等腰梯形相等且延長后交于一點與底面相似其他棱臺平行且相似的兩個多邊形梯形延長后交于一點與底面相似一、基礎達標1．在棱柱中滿足()A．只有兩個面平行B．所有面都平行C．所有面都是平行四邊形D．兩底面平行，且各側(cè)棱也相互平行答案D解析由棱柱的定義可得只有D成立．2．四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個頂點()A．四條側(cè)棱、四個頂點B．八條側(cè)棱、四個頂點C．四條側(cè)棱、八個頂點D．六條側(cè)棱、八個頂點答案C解析四棱柱有四條側(cè)棱、八個頂點(可以結(jié)合正方體觀察求得)．3．下列說法中，正確的是()A．有一個底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐B．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱臺的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形答案A4．觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是()A．①是棱柱B．②不是棱錐C．③不是棱錐D．④是棱臺答案B解析結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐，故B錯誤．5．某同學制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒(如圖)，則這個正方體禮品盒的表面展開圖應該為()答案A解析兩個eq\x(☆)不能并列相鄰，B、D錯誤；兩個eq\x(※)不能并列相鄰，C錯誤，故選A.也可通過實物制作檢驗來判定．6．下列說法正確的有________．①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個公共點；③棱臺的側(cè)面有的是平行四邊形，有的是梯形；④棱臺的側(cè)棱所在直線均相交于同一點；⑤多面體至少有四個面．答案①②④⑤解析棱柱是由一個平面多邊形沿某一方向平移而形成的幾何體，因而側(cè)面是平行四邊形，故①對．棱錐是由棱柱的一個底面收縮為一個點而得到的幾何體，因而其側(cè)面均是三角形，且所有側(cè)面都有一個公共點，故②對．棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后，截面與底面之間的部分，因而其側(cè)面均是梯形，且所有的側(cè)棱延長后均相交于一點(即原棱錐的頂點)，故③錯④對．⑤顯然對．因而正確的有①②④⑤.7.如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個面、幾個頂點、幾條棱？解這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體．有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．二、能力提升8．在正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數(shù)共有()A．20B．15C．12D．10答案D解析正五棱柱任意不相鄰的兩條側(cè)棱可確定一個平面，每個平面可得到正五棱柱的兩條對角線，5個平面共可得到10條對角線，故選D.9．在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體是________．(寫出所有正確結(jié)論的編號)①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；④每個面都是等邊三角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體．答案①③④⑤解析在正方體ABCD－A1B1C1D1上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何體的4個頂點，這些幾何體是：①矩形，如四邊形ACC1A1；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體，如A－A1BD；④每個面都是等邊三角形的四面體，如A－CB1D1；⑤每個面都是直角三角形的四面體，如A－A1DC，所以填①③④⑤10．如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點，沿正方體表面從點A到點M的最短路程是________cm.答案eq\r(13)解析由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm,3cm，故兩點之間的距離是eq\r(13)cm.若以BB1為軸展開，則A，M兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1,4，故兩點之間的距離是eq\r(17)cm.故沿正方體表面從點A到點M的最短路程是eq\r(13)cm.11.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A、B、C重合，重合后記為點P.問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個幾何體共有幾個面，每個面的三角形有何特點？(3)每個面的三角形面積為多少？解(1)如圖，折起后的幾何體是三棱錐．(2)這個幾何體共有4個面，其中△DEF為等腰三角形，△PEF為等腰直角三角形，△DPE和△DPF均為直角三角形．(3)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－eq\f(1,2)a2－a2－a2＝eq\f(3,2)a2.三、探究與創(chuàng)新12．長方體ABCDA1B1C1D1(如圖所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，現(xiàn)有一甲殼蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．解把長方體的部分面展開，如圖所示．對甲、乙、丙三種展開圖利用勾股定理可得AC1的長分別為eq\r(90)、eq\r(7