廣州市2017-2018年高二年級下冊期末預(yù)測數(shù)學試題含解析

廣州市重點名校2017-2018學年高二下學期期末預(yù)測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知。=0.3°3,b=0.3勺c=1.30-3,則它們的大小關(guān)系是

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

【答案】A

【解析】

由指數(shù)函數(shù)y=0.3%的性質(zhì)可得0<03?3<0.3°3<1,而因此1.3°3>0.3°3>0."3,即

c>a>bo選A。

2國+i+V3+?

2.已知函數(shù)y(x)=,2；］的最大值為W，最小值為小，則M+加等于()

A.0B.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

【詳解】

2.2國+2+%3%3x3

因為/(%)=；=2+^^,所以尸(x)=/(x)—2=^^是奇函數(shù)，

2岡+12同+12因+1

則由奇函數(shù)的性質(zhì)/(%)+Gnin(X)=0，

又因為4ax(%)=源(%)-2，%⑴=糯⑶-2，

即尺Tax(%)=M-2,411n(x)=m—2,

故A/+加一4=0,即M+機=4,應(yīng)選答案C.

3.復(fù)數(shù)魯?shù)墓渤瘡?fù)數(shù)為()

2+3/

A.3+2，B.3—2，C.2+3zD.2—3z

【答案】B

【解析】

分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由復(fù)數(shù)的運算法則可知：

相…)=3+2,

2+3，2+3,

則復(fù)數(shù)公的共朝復(fù)數(shù)為3-2，.

本題選擇B選項.

點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

4.為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個同學各自獨立做了15次和20次試驗，并且

利用線性回歸方法，求得回歸直線為k和12,已知在兩人的試驗中發(fā)現(xiàn)對變量X的觀測數(shù)據(jù)的平均值恰好

相等，都為s,對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t,那么下列說法正確的是（）

A.直線11和直線12有交點（s,t）B.直線11和直線12相交，但交點未必是點（s,t）

C,直線11和直線12必定重合D.直線h和直線12由于斜率相等，所以必定平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)回歸直線過樣本數(shù)據(jù)中心點，并結(jié)合回歸直線的斜率來進行判斷。

【詳解】

由于回歸直線必過樣本的數(shù)據(jù)中心點，則回歸直線（和回歸直線4都過點（sj）,做了兩次試驗，兩條回

歸直線的斜率沒有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點（S/）,若斜率相等，則兩回歸直

線重合，所以，A選項正確，B、C、D選項錯誤，故選：A.

【點睛】

本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過樣本數(shù)據(jù)的中心點”這個結(jié)論，同時也要抓住回歸直線的斜

率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎(chǔ)題。

5.已知尤是函數(shù)/（x）=x（ln依+1）的極值點，則實數(shù)a的值為（）

e

11

A.—rB.—C.1D.e

ee

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)/（x）=x（歷依+1）取極值點x=〉時導(dǎo)函數(shù)為0可求得a的值.

【詳解】

函數(shù)/（x）=x{lnax+1）的極值點,

所以/'（x）=（/〃at+l）+l=2+/〃a；

因為x是函數(shù)/（x）=x（Eax+l）的極值點，

則/?［』）=2+/"a』=0；

所以山&'=一2；

e

解得a=士

則實數(shù)a的值為L；

e

故選：B.

【點睛】

考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.

6.由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)的個數(shù)是()

A.144B.192C.216D.240

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得，滿足條件的五位數(shù)，個位數(shù)字只能是0或5,分別求出個位數(shù)字是?；?時，所包含的情況，

即可得到結(jié)果.

【詳解】

因為由0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)，個位數(shù)字只能是0或5,萬位不

能是0；

當個位數(shù)字是0時，共有6=120種可能；

當個位數(shù)字是5時，共有=96種情況；

因此，由0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的5位數(shù)的個數(shù)是120+96=216

個.

故選C

【點睛】

本題主要考查排列的問題，根據(jù)特殊問題優(yōu)先考慮的原則，即可求解，屬于常考題型.

7.已知函數(shù)f(x)=sinx-COSX,且f'(x)=2/(%),其中f'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則；+5而X=

cos-x-sin2x

()

19191111

A.------B.—C.—D.-----

5533

【答案】A

【解析】

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后由(x)=2f(x),求出sinx與cosx的關(guān)系，同時求出tanx的值，

化簡要求解的分式，最后把tanx的值代入即可.

詳解：因為函數(shù)f(x)=sinx-cosx,所以f'(x)=cosx+sinx,

由f'(x)=2f(x),得：cosx+sinx=2sinx-2cosx,即3cosx=sinx,

所以tanx=3.

l+sin2x_sin2%+cos2x+sin2x_2sin2x+cos2x_2tan2x+l_19

所以

cos2x-sin2xcos2x-2sinxcosxcos2x-2sinxcosxl-2tanx5

故答案為A.

點睛：(1)本題主要考查求導(dǎo)和三角函數(shù)化簡求值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化計算

1?2?22?2

能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是l,+sinx=sin：+cosx+sm十

cosx-sm2xcosx-2sinxcosx

2sinx+cosx2tanx+1;與田工打中7?22

——---------------二----------?這里利用了1的變式，l=sincr+cos.

cosx-2sinxcosx1-2tan%

8.下圖是一個算法流程圖，則輸出的x值為

x=2?n=O

x=2x+1.臺

CiD

~i的

A.95B.47C.23D.11

【答案】B

【解析】

運行程序，x=2,n=0,判斷是，x=5,n=l,判斷是，x=ll,n=2,判斷是，x=23,n=3,判斷

是，x=47,〃=4,判斷否，輸出x=47.

9.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補

種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學期望為

A.100B.200C.300D.400

【答案】B

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為則。?3(1000,0.1),x=2&,所以

E(X)=2E0=2x1000x0.1=200

考點：二項分布

【方法點睛】

一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定

它服從某常見的典型分布(如二項分布X?B(n,p)),則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的

期望公式(E(X)=np)求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.

io.已知函數(shù)/食)在了〉。上可導(dǎo)且滿足獷'‘(龍)-/。)〉。，則下列一定成立的為

于(兀)/(e)、

A.B./(7T)</(e)

7Te

/⑺/(e)〃、4、

C.D./(7T)>/(e)

Ee

【答案】A

【解析】

易知(△當=才叫”“),獷。)一/(%)<0在(0,+8)上恒成立，

在(0,+8)上單調(diào)遞減，又6<萬,二幺或</@.

xne

本題選擇C選項.

點睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從

表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性

解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的

技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一

種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

11.用指數(shù)模型y=ce-去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z=lny,變換后得到線性回歸直線方

程z=0.3尤+4,則常數(shù)c的值為()

A.e4B.e°3C.0.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

我們根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)：loga(MN)=logaM+logaN,logaNn=nlogaN,即可得出Inynlnlcekx紜Inc+lneMUnc+kx,

可得z=lnc+kx,對應(yīng)常數(shù)為1=Inc,c=e1.

【詳解】

y=cekx,

二.兩邊取對數(shù)，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx,

令z=lny,可得z=lnc+kx,

z=0.3x+l,

--InC—1,

c=e1.

故選A.

【點睛】

本題考查的知識點是線性回歸方程，其中熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，是解答此類問題的關(guān)鍵.線性回歸直

線過樣本中心點，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最

好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點.線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，對

于具有確定關(guān)系的兩個變量是不適用的，線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的估計值，不是準確值.

12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=E、，則復(fù)z=()

1-1

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】C

【解析】

【分析】

利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的募運算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)到最簡形式.

【詳解】

1+z(1+z)(l+z)2i

解：復(fù)數(shù)z=-----

1-Z(1-0(1+02

故選：C.

【點睛】

本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,兩個復(fù)數(shù)相除,分子和分母同時除以分母的共朝復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題

13.通常，滿分為100分的試卷，60分為及格線，若某次滿分為100分的測試卷，100人參加測試，將

這100人的卷面分數(shù)按照[24,36),[36,48),…,[84,96]分組后繪制的頻率分布直方圖如圖所示.由于及格

人數(shù)較少，某位老師準備將每位學生的卷面分采用“開方乘以10取整”的方式進行換算以提高及格率(實

數(shù)。的取整等于不超過。的最大整數(shù))，如：某位學生卷面49分，則換算成70分作為他的最終考試成績，

則按照這種方式，這次測試的及格率將變?yōu)?

【答案】0.82.

【解析】

【分析】

通過題設(shè)中的頻率分布直方圖可計算不進行換算前36分以上(含36分)的學生的頻率，此頻率就是換算

后的及格率.

【詳解】

先考慮不進行換算前36分以上(含36分)的學生的頻率，該頻率為1-0.015x12=0.82,換算后，原來

36分以上(含36分)的學生都算及格，故這次測試的及格率將變?yōu)?.82.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

102

14.-S(l+x)=an+alx+a2x+弓。％”,貝！)4+02+Go=.

【答案】1023

【解析】

【分析】

分別將x=0,1代入求解即可

【詳解】

將x=0代入得g=l；將x=1代入得吸°=4+q++?0

故％+為+%)=21°-1=1023

故答案為1023

【點睛】

本題考查二項式展開式中項的系數(shù)和，考查賦值法和方程的思想，是基礎(chǔ)題

15.復(fù)數(shù)3+二在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第象限.

【答案】四

【解析】

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和加法運算公式得到結(jié)果即可.

__“，21+z2(l-z)1+z,.1+i3i

詳解：復(fù)數(shù)----1-----=------------1-----=1-H-----=-----

1+i2(l+z)(l-02

31

對應(yīng)的點為(彳，-彳)位于第四象限.

故答案為：四.

點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等,考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考

必考，常見考點有：點坐標和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)

的模長的計算.

16.120,168的最大公約數(shù)是.

【答案】24

【解析】

168=120x1+48,120=48x2+24,48=24x2,

?.120,168的最大公約數(shù)是24.

答案：24

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知等軸雙曲線丁=。2(。>0)的右焦點為尸，。為坐標原點，過尸作一條漸近線的垂線

尸尸且垂足為P,|歷卜夜.

(1)假設(shè)過點/且方向向量為Z=(L2)的直線/交雙曲線。于A、3兩點，求厲.瓦的值；

(2)假設(shè)過點F的動直線/與雙曲線。交于Af、N兩點，試問：在x軸上是否存在定點P,使得麗?麗

為常數(shù)？若存在，求出點尸的坐標；若不存在，試說明理由.

【答案】(1)y；(2)存在，P(l,0).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據(jù)P點為過產(chǎn)作一條漸近線的垂線/P的垂足，

以及|。尸|=，5,可求出雙曲線中c的值，借助雙曲線中a,b,c的關(guān)系，得到雙曲線方程.根據(jù)直線/

的方向向量以及7點的坐標，可得直線/的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，解出玉+七，七/的值，代入

OAOB^>即可求出04OB的值.

(2)先假設(shè)存在定點P,使得PM-PN為常數(shù)，設(shè)出直線/的方程,與雙曲線方程聯(lián)立，解藥+々，%工2，

用含左的式子表示，再代入PATPN中，若PM-PN為常數(shù)，則結(jié)果與人無關(guān)，求此時機的值即可.

【詳解】

(1)設(shè)右焦點坐標為尸(c,0),(c>0),

雙曲線為等軸雙曲線，則漸近線為y=±x,

JT

由對稱性可知，右焦點尸到兩條漸近線距離相等，且NPO斤=7.

AOPF為等腰直角三角形，則由|OP|=拒引|=c=2

又等軸雙曲線中，c2=2a2^a2=2

二等軸雙曲線。的方程為：寸一寸二？.

設(shè)A(玉，％),B(X2,必)為雙曲線。與直線/的兩個交點，

廠(2,0),直線/的方向向量為d=(1,2),

二直線/的方程為一后，即y=2(x—2)

代入雙曲線。的方程，可得，X2-4(X-2)2=2=>3X2-16%+18=0

.?—印平L6,

而OA-OB=%尤2+M%=xix2+（%一2）（%2—2）=5%%2—8（玉+%）+16=5

(2)假設(shè)存在定點P,使得FM./W為常數(shù)，

其中，河(石，％),N(X2,斗)為雙曲線C與直線/的兩個交點的坐標，

①當直線/與％軸不垂直是，設(shè)直線/的方程為了=左。-2),

代入雙曲線。的方程，可得(1—左2)%2+4k2]—(4左2+2)=0,

4"24^2+?

由題意可知，k=±l,則有斗+々=3^,XW=\，

k—1k—1

2

PMPN=-m)(x2-m)+Z:(x1-2)(x2-2)

2

=(4k+1)%馬-(2左N+m)5+x2)+4k2+m

一(A+l)(4F+2)-2(24+㈤

-THL

—42—1左2_]rH-/V

2(1—2%)左2+224(1—7”)2

=------------------\-m=——-----\-m+2(1-2m)

左2—1左2—1

要使PATPN是與女無關(guān)的常數(shù)，當且僅當機=1,此時，PMPN=-1-

②當直線/與x軸垂直時，可得點Af(2,夜)，N(2,-夜)，

若機=1,PM?PN=—1亦為常數(shù)?

綜上可知，在x軸上是否存在定點PQ,0),使得PM.PN=-1為常數(shù).

【點睛】

本題考查等軸雙曲線的方程、直線與雙曲線位置關(guān)系中定點、定值問題，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合

思想、分類討論思想的綜合應(yīng)用，對運算求解能力的要求較高.

18.Eftlf(x)=xex—cue—x.

⑴若f(x)在(-0),-1]上單調(diào)遞增,[—1,0]上單調(diào)遞減，求f(九)的極小值；

(2)當x>0時，恒有〃尤)20,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)0(2)(-oo,l]

【解析】

【分析】

(1)先求導(dǎo)，再由題意可得？(-1)=0,從而求得2a=1,從而化簡F(x)=(x+1)(ex-1),從而確

定極小值點及極小值.

(2)對f(x)的導(dǎo)函數(shù)進行分析，當時，可得f(x)單增，求得f(x)的最小值為0,當a>l時,

可得f(x)在(0,Ina)上單減，且f(0)=0,不滿足題意，綜合可得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

(1)因為/(%)在(—8,—I上單調(diào)遞墻[TO]上單調(diào)遞減，所以r(-i)=o.

因為/'(X)=(%+1)6*-2公一1,所以2。一1=0,°=；.

所以/'(X)=(X+1),一x—1=(x+l)(ex-1),

所以/(%)在上單調(diào)遞增,[—1,0]上單調(diào)遞減,[0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(%)的極小值為"0)=0.

(2)/(%)=%(eT-ax-1),令g(x)=e*-依一1,則g'(x)=e'—a.若aW1,則xG(0,+8)時，g,x)>0,

g(x)為增函數(shù)，而g(0)=0,所以當x20時,g⑺之0,從而/(x)>0.

若a>1,則xw(0,Ina)時,g'(x)<0,g(x)為減函數(shù),g(0)=。，故xe(0,Ina)時,g(x)<0,從而

/(x)<0,不符合題意.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-8,1].

【點睛】

本題考查了單調(diào)性的應(yīng)用及函數(shù)極值的概念，考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查了分類討論的數(shù)學思想，屬

于難題.

19.小明某天偶然發(fā)現(xiàn)班上男同學比女同學更喜歡做幾何題，為了驗證這一現(xiàn)象是否具有普遍性，他決定

在學校開展調(diào)查研究：他在全校3000名同學中隨機抽取了50名，給這50名同學同等難度的幾何題和代

數(shù)題各一道，讓同學們自由選擇其中一道題作答，選題人數(shù)如下表所示：

幾何題代數(shù)題合計

男同學22830

女同學81220

合計302050

(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)？

(2)用以上列聯(lián)表中女生選做幾何題的頻率作為概率，從該校所有女生(該校女生超過1200人)中隨機

選5名女生，記5名女生選做幾何題的人數(shù)為X,求X的數(shù)學期望E(X)和方差。(X).

附表:

pgkJ0.150.100.050.0250.0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

n(ad-bc)2

參考公式：K2其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

【答案】(l)有；(2)

【解析】

【分析】

⑴計算K?與5.024比較，即可判斷是否有97.5%的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān).

2

(2)顯然X~B(5，w),可直接利用公式計算數(shù)學期望E(X)和方差。(X).

【詳解】

(1)由列聯(lián)表知

Q=50(22X12-8x8)2;型-5556>5.。24

30x30x20x209

故有97.5%的把握認為選代數(shù)題還是幾何題與性別有關(guān)

Q2

(2)由表知20位女生選幾何題的頻率為—

205

故乂~5(5,|)

rx,aA

...E(X)=5x—=2；D(X)=5x-x-=-.

5555

【點睛】

本題主要考查獨立性檢驗統(tǒng)計思想，二項分布的數(shù)學期望和方差的計算.意在考查學生的計算能力，閱讀

理解能力和分析能力，難度不大.

20.已知函數(shù)f(x)=ln(ax)+bx在點(1,f(l))處的切線是y=0；

(I)求函數(shù)f(x)的極值；

(II)當些2/(%)+—x{m<0)恒成立時,求實數(shù)m的取值范圍(e為自然對數(shù)的底數(shù))

exe

【答案】(1)Ax)的極大值為/。)=0,無極小值；

⑵[l-e,0).

【解析】

分析：(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得/'。)=0解得b,再根據(jù)/。)=0得a,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點確定單調(diào)區(qū)間,

rnyInv1]

根據(jù)單調(diào)區(qū)間確定極值，(2)先化簡不等式為一丁之-----+—2,再分別求左右兩個函數(shù)最值得左邊最

exe

rn1

小值與右邊最大值同時取到，則不等式轉(zhuǎn)化為一之--1,解得實數(shù)m的取值范圍.

ee

詳解：

(1)因為/(x)=ln(G；)+Zzx,所以f(%)+6b

CLJCX

因為點(L/。))處的切線是>=0,所以/'。)=〃+1=0,且/(l)=lna+6=0,

所以〃=e,人=-1,即/(x)=lnx-x+l.

1]—X

所以尸(x)=--1=——，所以在(0,1)上遞增，在(1,轉(zhuǎn))上遞減，

JCX

所以/(力的極大值為/。)=0,無極小值

(2)當牛+匕￡耳相<0)恒成立時，由(1)/(x)=lnx-x+l,

即下之------十——2(加<0)恒成h,

exe

、./\mx-、lnx+11-…，/、m(l-x],.z、Inx

設(shè)8(》)=丁,/2(%)=-----+—2,則g[x)=二乙〃，(%)=,

e尤ee尤r

又因為m<0,所以當0<x<l時，g'(xX(),〃(x》0；當x〉l時，g'(x)>0,〃'(x)<0.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,依)上單調(diào)遞增，且⑺而小且⑴二個；

人⑺在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減，A(x)max=A(1)=1-1.

e

所以g(x),/z(x)均在X=1處取得最值，所以要使g(X)>刈力恒成立，

只需gah/Mxu，即:nJt

解得加21-e,又機<0,所以實數(shù)機的取值范圍是[1—e,0).

點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最

值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化

為函數(shù)的最值問題.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-a2%+2a(aeR)

(1)若函數(shù)“X)在[o,g]上遞增，在上遞減，求實數(shù)a的值.

(2))討論“X)在(1,+8)上的單調(diào)性；

(3)若方程x-Inx-加=0有兩個不等實數(shù)根4斗,求實數(shù)m的取值范圍，并證明玉9<L

【答案】(1)a=+y/2(2)見解析(3)mw(l,+8),見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出％=(是極值點，由此根據(jù)極值點對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0求解出。的值，并注意驗證

是否滿足；

(2)先求解出了'(X),然后結(jié)合所給區(qū)間對。進行分類討論，分別求解出/(%)的單調(diào)性；

(3)構(gòu)造函數(shù)/z(無)=x-ln無(x>O),g(x)=%,分析的取值情況，由此求解出力的取值范圍；將

證明下乙<1通過條件轉(zhuǎn)化為證明"--2In々>0,由此構(gòu)造新函數(shù)/Xx)=x-工一2Inx(x〉1)進行

%2%

分析證明.

【詳解】

(1)由于函數(shù)函數(shù)〃尤)在［o,g］上遞增，在上遞減，

由單調(diào)性知x=g是函數(shù)的極大值點，無極小值點，所以尸(；)=0,

'?*f'(x)——a2,

X

1-2r1

故2—〃2=0=〃=±行，此時/(x)=——滿足1=彳是極大值點,

x2

所以a=±A/2;

(2)Vf^x^=］wc—a1x+2a,

???

①當a=0時,f(x)=工〉0"(x)在(1,+向上單調(diào)遞增.

②當片21,即aW-1或時，/(x)<0,

.?./(X)在(L+8)上單調(diào)遞減.

③當一1<〃<1且QWO時，

由八力=0得

令小)>0得1<X<［；令r(x)<0得X〉：.

.../(%)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當a=0時，/(%)在(L+8)上遞增；

當aW-l或.21時，/(九)在。,內(nèi))上遞減;

當—1<”1且awO時，/(%)在］1,,］上遞增，在上遞減.

1X—1

(3)h(x)=x-lnx(x>0),g(x)=m,h\x)=1——=------

xx

1x—1

當X￡(O,1)時，/(x)=l——=——<0,版處=%—lnx(x>0)單調(diào)遞減；

XX

,1V,—1

當％￡(l,+oo)時，h(x)=l——=------>0,/z(x)=x-lnx(x>0)單調(diào)遞增;

xx

故h(x)在％=1處取得最小值為/z(l)=1

又當%—>0,h(x)f+oo;x—>+oo,h(x)f+oo,由圖象知：me(1,+oo)

不妨設(shè)玉<X2，則有。(七一<1，

%入2<10看<——=力(再)>力(一)

x2x2

/z(%i)=/z(x2)=「./z(玉)-/z(—)=/z(x2)-/z(—)

尤2X2

—(%2-In%)一(----In—)—%2---------2Inx?

*^2*^2*^2

]]91

令p(x)=x------21nM%>1),〃'(%)=1+=——=(1)2>0

xXXX

???P。)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故P(X)>p(l)=0

即x2---21nx2>0,/z(玉)>/z(—),/.再馬<1

X?犬2

【點睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合運用，涉及到根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)、分類討論法分析函數(shù)的單調(diào)性、雙變量構(gòu)

造函數(shù)問題，難度較難.(1)已知X。是/(尤)的極值點，利用/■'(%)=0求解參數(shù)值后，要注意將參數(shù)值

帶回驗證是否滿足；(2)導(dǎo)數(shù)中的雙變量證明問題，一般的求解思路是：先通過轉(zhuǎn)化統(tǒng)一變量，然后構(gòu)造

函數(shù)分析單調(diào)性和取值范圍達到證明的目的.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx+——.

JC

(I)若加=1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(X)之根+1—X在［L+8)上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(I)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+⑹，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；(II)(y,2］

【解析】

【分析】

(1)求出/(X),當枕=1時，求出/■'0)>0,/'0)<0的解即可；

(2)所求的問題為Inx4—+x--120在［1,+8)上怛成立，設(shè)g(x)=lnxH----x—m—1,xe［1,+oo),

xX

注意g⑴=0,所以g(x)在xe［l,+8)遞增滿足題意，若存在區(qū)間工無0)遞減，則不滿足題意，對。分類

討論，求出g(x)單調(diào)區(qū)間即可.

【詳解】

(I)當機=1時，/(x)=lnx+—(x>0),

x

則/'(X)=/一：■=

所以當x>i時，ra)>o,/(%)單調(diào)遞增；

當。<%<1時，r(x)<o,/(尤)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為。,內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

(II)由/(九)2相+1-X,得lnx+生+%—加一12。在［1,+8)上恒成立.

^g(x)=lnx+—+x-m-l,則且'(1)='-彳+］=%

設(shè)/z(x)=九2+%-m(x>l),

①當機《2時，/z(x)>0,則g'。)>。在［1,y)上恒成立，

g(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g(l)=0在［1,+8)恒成立，

所以當機V2時，lnx+'+兄-機-1之。在［1,+8)上恒成立；

②當加>2時，令人(％)=%2+%一加=o,

得l+g/或「疝礪(舍去).

1222

所以當xe1,-1+^+4—時，g'(x)<0,

則g(x)是1,T+力+4”上的減函數(shù)；

I2)

—1+A/1+4rri./\

當-----------,+8時，g(x)>0,

I2)

—1+

則g(x)是-----------,+8上的增函數(shù).

I2)

所以當xe1,-1+^+4—時，g(x)<g(l)=O.

12)

177_

因此當相>2時，lnx+—+1一加一120不恒成立.

x

綜上所述，實數(shù)機的取值范圍是(-8,2].

【點睛】

本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、不等式恒成立，考查分類討論思想，確定分類標準是

解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

廣州市重點名校2018-2019學年高二下學期期末預(yù)測數(shù)學試題

一、選擇題：本題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.(2X+1)(無+1)5的展開式中N的系數(shù)為()

A.1B.9C.10D.11

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)組合的知識可求(X+1)5展開式的含V和犬的項，分別乘以(2%+1)的常數(shù)項和一次項，合并同類項

即可求解.

【詳解】

因為(X+1)5展開式中含X5項的系數(shù)為痣=1,含X4項的系數(shù)為C；=5,乘以(2%+1)后含X5項的系數(shù)為

1x1+2x5=11,故選D.

【點睛】

本題主要考查了用組合知識研究二項展開式的特定項的系數(shù)，屬于中檔題.

__=2x

2.d+y2=］經(jīng)過伸縮變換后所得圖形的焦距()

U=3y

A.275B.2y/13C.4D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

用廣，y表示出X,y,代入原方程得出變換后的方程，從而得出焦距.

【詳解】

_x,

由Fl；得x2,,代入f+y2=1得二+21=1,

b=3yy49

/3

二橢圓的焦距為2,9-4=2加，故選A.

【點睛】

本題主要考查了伸縮變換，橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)=x?+2x*(2),則函數(shù)f(x)的解析式為()

A.f(x)=x2+8xB.f(x)=x2-8x

C.f(x)—x+2xD.f(x)—X2~2X

【答案】B

【解析】

【分析】

求函數(shù)/(%)在x=2處的導(dǎo)數(shù)即可求解.

【詳解】

)=*+2加2)?.?"，(力=2升2/⑵.令x=2,得/'(2)N+2/⑵,

⑵=—4.故〃力=爐—8%.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)定義的運用.求解/(尤)在x=2處的導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.已知函數(shù)/(%)=562工+(0-6)靖一。夕+伏。16夫)在％=1時取得極大值，則。的取值范圍是()

A.(-co,-e)B.(-oo,0)C.(-e,0)D.[0,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】

先對Ax)進行求導(dǎo)，然后分別討論a.0和。<0時的極值點情況，隨后得到答案.

【詳解】

1,

由/(x)*+(a-er)/+￡H)得

/'0)=62"+(。-6)"-。6=(，'+。)("一6),當。..0時，/+a>0,由/'(x)>0,得X〉1,由/'(無)<0,

得x〈l.所以/⑴在x=l取得極小值，不符合;當a<0時,令/'5)=0,得X=1或ln(-a),為使/(無)在

x=l時取得極大值，則有l(wèi)n(—a)>l,所以a<一e,所以選A.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)極值點中含參問題，意在考查學生的分析能力和計算能力，對學生的分類討論思想要求

較高，難度較大.

5.設(shè)4={目—4<x<4},B={%|X2+2X-3>0},集合AB=()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.[-4,-3)o(l,4]D.[-4,-l)o(3,4]

【答案】C

【解析】

分析：由題意首先求得集合B,然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.

詳解：求解二次不等式/+2x-3可得3={x|X〉1或x<—3},

結(jié)合交集的定義可知：Ac3=H，-3)U(1,4].

本題選擇C選項.

點睛：本題主要考查集合的表示方法，交集的定義及其運算等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解

能力.

6.劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學家，他采用了以直代曲、無限趨近、內(nèi)夾外逼的思想，創(chuàng)立了割圓術(shù)，

即從半徑為1尺的圓內(nèi)接正六邊形開始計算面積，如圖是一個圓內(nèi)接正六邊形，若向圓內(nèi)隨機投擲一點，

則該點落在正六邊形內(nèi)的概率為（）

\\//

\\/J

A3B若C百D3有

無"2%2萬

【答案】D

【解析】

【分析】

由面積公式分別計算出正六邊形與圓的面積，由幾何概型的概率計算公式即可得到答案

【詳解】

6gr

x

由圖可知：p=s正六邊形_T_3y3,

S圓兀2TC

故選D.

【點睛】

本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題。

7.已知實數(shù)a*滿足且log?=2,則仍=（）

1

A.-B.2C.4D.8

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由logab=2,可得a2=b,從而得a^=a2a，解出a,匕的值即可得結(jié)果.

【詳解】

實數(shù)a1滿足logab=2,故a?=b,

又由ab=ba得：aa=a2a>

解得：a=2,或a=0（舍去），

故b=4，

ab=8,故選D.

【點睛】

本題考查的知識點是指數(shù)的運算與對數(shù)的運算，意在考查靈活應(yīng)用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.

8.設(shè)奇函數(shù)/(尤)=sin(o尤+?)+cos(0x+0)(0〉0,［同<()的最小正周期為〃，則()

jryr37r

A./(》)在(0,］)上單調(diào)遞減B.7(x)在(丁，下)上單調(diào)遞減

44

JTjr37r

C."X)在(0,工)上單調(diào)遞增D.7(x)在(7,下)上單調(diào)遞增

244

【答案】B

【解析】

分析：利用輔助角公式將函數(shù)進行化簡，根號函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論.

詳解：

/(x)=sinkcox+(p)+cos(a>x+(p)~氏sink+0+?),

27r

?.?函數(shù)的周期是不，，T=-=7V，：.(D=2,

a)

/(x))是奇函數(shù)，.?.9+(=左萬，k&Z,

即9=左萬一2，k&Z,|9?|<y,當左=0時，(P-

即/(x)=-Jlsinlx,

則/(%)在］單調(diào)遞減,

故選：B.

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的

關(guān)鍵.

9.以A(L3),8(-5,1)為端點的線段的垂直平分線方程是

A.3x-y+8=0B.3x+y+4=0c.3x-y+6=0D.3x+y+3=0

【答案】B

【解析】

【分析】

求出A3的中點坐標，求出AB的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程.

【詳解】

因為A(l,3),B(-5,1),

,3-11

所以的中點坐標(-2,2),直線AB的斜率為汜=

1+53

所以AB的中垂線的斜率為：-3,

所以以A(l,3),3(—5,1)為端點的線段的垂直平分線方程是y-2=-3(x+2),即3x+y+4=0.

故選：B

【點睛】

本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，直線方程的求法，考查計算能力.

10.等差數(shù)列｛an｝中，ai+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛an｝的公差為

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

ai+as^lO,34^7,—id2

(2at44d=10,

i3d=7

11.