山東省臨沂市莒南縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期中質(zhì)量檢測八年級(jí)數(shù)學(xué)試題第I卷選擇題共30分一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1.使有意義的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則，解得，故選：D．2.下列計(jì)算正確的是（）A.＝ B.﹣＝ C.×＝6 D.÷＝4【答案】B【解析】【分析】利用二次根式運(yùn)算法則運(yùn)算及即可．【詳解】解：A、不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故選項(xiàng)正確；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的加減乘除運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)算是解題關(guān)鍵．3.下列二次根式中，不是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．本題考查的是最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是最簡二次根式，不符合題意；B、是最簡二次根式，不符合題意；C、，不是最簡二次根式，符合題意；D、是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．4.△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A. B.∠A＝∠B+∠CC.∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D.a＝6，b＝8，c＝10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理及三角形內(nèi)角和定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A.∵，∴，∴，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.設(shè)∠A=3x，則∠B=4x，∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠C=5×15°=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D.∵，∴此三角形是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．也考查了三角形內(nèi)角和定理，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．5.如圖，公路，互相垂直，公路的中點(diǎn)與點(diǎn)被湖隔開，若測得的長為，則，兩點(diǎn)間的距離為（）A.0.6km B.1.2km C.1.5km D.2.4km【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，代入求出即可．【詳解】解：，，為的中點(diǎn)，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本考考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，能根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出是解此題的關(guān)鍵．6.綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形為平行四邊形．圖1~圖3是其作圖過程．（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)O；（2）連接，在的延長線上截取；（3）連接，，則四邊形即為所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）A.兩組對(duì)邊分別平行 B.兩組對(duì)邊分別相等C.對(duì)角線互相平分 D.一組對(duì)邊平行且相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)作圖步驟可知，得出了對(duì)角線互相平分，從而可以判斷．【詳解】解：根據(jù)圖1，得出的中點(diǎn)，圖2，得出，可知使得對(duì)角線互相平分，從而得出四邊形為平行四邊形，判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是：對(duì)角線互相平分，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握基本的作圖方法及平行四邊形的判定定理．7.如圖，周長為，相交于點(diǎn)O，交于E，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出，根據(jù)線段垂直平分線得出，求出，代入求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴的周長是：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出，主要培養(yǎng)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，8.如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，當(dāng)吸管底部在O點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分b最短，此時(shí)本題就是圓柱形的高；當(dāng)吸管底部在A點(diǎn)時(shí)吸管在罐內(nèi)部分b最長，此時(shí)a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．【詳解】解：如圖，當(dāng)吸管底部在地面圓心時(shí)吸管在罐內(nèi)部分b最短，此時(shí)b就是圓柱形的高，即b＝12；∴a＝16﹣12＝4，當(dāng)吸管底部在飲料罐的壁底時(shí)吸管在罐內(nèi)部分b最長，b13，∴此時(shí)a＝3，所以3≤a≤4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．9.如圖，過對(duì)角線的交點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則：①；②圖中共有4對(duì)全等三角形；③若，，則；④；其中正確的結(jié)論有（）A.①④ B.①②④ C.①③④ D.①②③【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，判斷①，根據(jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，得出6對(duì)全等三角形，進(jìn)而判斷②，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出的取值范圍，判斷③，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴；故①正確，由平行四邊形的中心對(duì)稱性，全等三角形有：，，，，，共6對(duì)，故②錯(cuò)誤；∵，∴，∴，∴，故③正確；∵，∴；故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，D是內(nèi)部一點(diǎn)，，且，依次取，，，的中點(diǎn)，并順次連接得到四邊形，則四邊形的面積是（）A.12 B. C.24 D.48【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，先根據(jù)三角形中位線定理可得，，，從而可得，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)矩形的判定可得平行四邊形是矩形，最后利用矩形的面積公式求解即可得．【詳解】解：點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，且，，同理可得：，，，四邊形是平行四邊形，，，又，，平行四邊形是矩形，則四邊形的面積是，故選：A．第Ⅱ卷非選擇題共90分二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．11.已知是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)是整數(shù)，即可求解．【詳解】∵，∵是整數(shù)，∴是一個(gè)平方數(shù)，∴正整數(shù)的最小值為：，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡，理解“被開方數(shù)是平方數(shù)，那么二次根式的值為整數(shù)”是解題的關(guān)鍵．12.已知，化簡：______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義化簡計(jì)算即可．詳解】解：，=，∵，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值，解題關(guān)鍵是明確，能熟練化簡絕對(duì)值．13.化簡后與最簡二次根式的被開方數(shù)相等，則_________.【答案】5【解析】【分析】本題先將化簡為最簡二次根式，繼而利用題干信息“被開方數(shù)相同”列方程求解．【詳解】，其中被開方數(shù)為6；的被開方數(shù)為，故有：，則．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的化簡以及對(duì)二次根式概念的理解，需注意化簡原則為被開方數(shù)不含分母,也不含能開的盡方的因數(shù)或因式．14.如圖，已知O是□ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，AC=38mm，BD=24mm，AD=14mm，那么△OBC的周長等于__________．【答案】45mm【解析】【詳解】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，所以△OBC的周長=OB+OC+BC=19+12+14=45mm．故答案為：45mm．15.《算法統(tǒng)宗》記載古人丈量田地的詩：“昨日丈量地回，記得長步整三十．廣斜相并五十步，不知幾畝及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，記得長方形田的長為30步，寬和對(duì)角線之和為50步．不知該田的面積有多少？請(qǐng)幫他算一算，該田的面積為___________平方步．【答案】480【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求得長方形的寬，然后由矩形的面積公式即可解答．【詳解】解：設(shè)該矩形的寬為x步，則對(duì)角線為步，由勾股定理，得，解得，故該矩形的面積為（平方步）．故答案是：480．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用方程思想求得矩形的寬是解答本題的關(guān)鍵．16.如圖，平行四邊形的活動(dòng)框架，當(dāng)時(shí)，面積為，將從扭動(dòng)到，則四邊形面積為_______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含有角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，，作，交于點(diǎn)，則，從而即可得到．添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，面積為，，將從扭動(dòng)到，，作，交于點(diǎn)，如圖所示，，，故答案為：．三、解答題：本題共8小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）9【解析】【分析】（1）先化簡成最簡二次根式，再根據(jù)二次根式加減法法則計(jì)算即可；（2）先利用完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可得答案．【詳解】（1）=4=；（2）．=84+1+=94+=9．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．18.如圖，在四邊形中，，E，F(xiàn)，M分別是，，的中點(diǎn)，連接，，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】此題主要考查三角形的線段證明，解題的關(guān)鍵是熟知三角形中位線與直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【詳解】證明：，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，，，M是的中點(diǎn)，．，．19.如圖，E，F(xiàn)是四邊形的對(duì)角線上兩點(diǎn)，，，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】本師考查全等三角形判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．先由得，再證明，得，，繼而得，即可由平行四邊形判定定理得出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形．20.如圖，是菱形的對(duì)角線，，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且垂直平分，垂足為E，連接，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】由垂直平分線可得，由菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：為的垂直平分線，，∴，四邊形是菱形，∴，∴，∴的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．21.已知：和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)在延長線上．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)邊角邊證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】和都是等腰直角三角形，，，，，，，在和中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得出是解本題的關(guān)鍵．22.△ABC如圖所示．（1）利用尺規(guī)作圖法作?ABCD（保留作圖痕跡，不用寫作法）；（2）在（1）所作的?ABCD中，連接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的長．【答案】（1）見解析；（2）10【解析】【分析】（1）分別以A，C為圓心，BC，AB為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，CD即可；（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OB即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，平行四邊形ABCD即為所求；理由：∵，，∴四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD即為所求；（2）設(shè)AC交BD于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝8，∴AO＝OC＝4，OB＝OD，∵∠BAC＝90°，AB＝3，∴，∴BD＝2OB＝10．【點(diǎn)睛】本題考查作圖，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出OB，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出BD．23.【閱讀材料】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)以及二次根式有關(guān)概念，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)以下結(jié)果：當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值，最小值為2．【模仿探究】請(qǐng)利用以上結(jié)果解決下面的問題：（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)a的值；【應(yīng)用意識(shí)】（2）如圖，某學(xué)校為開展勞動(dòng)課，需要在直角墻角處修建形如的蔬果園，要求蔬果園的面積為20平方米，斜邊AB需要用柵欄圍上，求柵欄AB的最小值．【答案】（1）最小值為4，；（2）【解析】【分析】（1）仿照材料中的例子，可求得；（2）利用三角形面積公式設(shè)出兩條直角邊，勾股定理求得斜邊AB的式子，求最小值；本題考查了二次根式的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握三角形面積公式和勾股定理．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值，最小值為4．（2）設(shè)，則，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值，最小值為80．24.實(shí)踐探究如圖①，把一個(gè)長方形的紙片對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，若得到一個(gè)正方形，剪口與折痕應(yīng)成______度的角．知識(shí)應(yīng)用(1)小明按照以上方法剪出兩個(gè)邊長為的全等正方形，如圖②所示擺放，則四邊形的面積為______．(2)小明發(fā)現(xiàn)，正方形在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形面積之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，如圖③寫出該數(shù)量關(guān)系，并予以證明．拓展延伸小明剪了兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且．如圖④放置，其中點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，