定積分在物理學中的應用市公開課一等獎省賽課獲獎課件

定積分在物理學中應用前面我們已經(jīng)介紹了定積分在幾何方面應用，我們看到，在利用定積分處理幾何上諸如平面圖形面積、平面曲線弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等問題時，關(guān)鍵在于寫出所求量微元定積分在物理方面應用關(guān)鍵也是如此，希望大家注意怎樣寫出所求量微元——微功、微壓力、微引力等第1頁由物理學知道，假如一個物體在常力F作用下，使得物體沿力方向作直線運動，物體有位移s時，力F對物體所作功為：W=F*s這個公式只有在力F是不變情況下才適用，但在實際問題中，物體在運動過程中所受到力是改變。下面我們經(jīng)過例子來說明怎樣利用微元法來求變力所作功。例1已知彈簧每伸長0.02m要用9,8N力，求把彈簧拉長0,1m需作多少功一、變力沿直線作功第2頁當我們拉長彈簧時，需要克服彈性力作功，由Hoke定律，彈性力F與伸長量x之間有函數(shù)關(guān)系：F=kx

k——彈性系數(shù)用微元法由題設9.8=0.02k

k=490要求是變力所作功F=490x

取x為積分變量積分區(qū)間為[0,0.1]彈簧由x處拉到x+dx處，由F(x）連續(xù)性，當dx很小時，彈性力F(x)改變很小，可近似地看作是不變（常力）解第3頁于是在小區(qū)間[x，x+dx]上對應變力F所作功近似于把變力F看作常力F=490x所作功例2發(fā)射火箭需要計算克服地球引力所作功，設火箭質(zhì)量為m，問將火箭垂直地向上發(fā)射到離地面高H時，需作多少功。并由此計算初速度最少為多少時，方可使火箭脫離地球引力范圍第4頁解取

ox

軸豎直向上xoRR+H地球半徑設為R質(zhì)量為M，由萬有引力定律，即x=R時火箭所受引力就是火箭重力mg火箭所受地球引力隨火箭發(fā)射高度

x而改變當火箭在地面上代入上式為了發(fā)射火箭，必須克服地球引力，克服地球引力外力F與f大小相等第5頁下面用微元法來求變力所作功。取x為積分變量所須作功為了使火箭脫離地球引力范圍，也就是說要把火箭發(fā)射到無窮遠處第6頁則動能為所以要使火箭脫離地球引力范圍，須有代入上式得——第二宇宙速度這功是由火箭上動能轉(zhuǎn)化而來，若火箭離開地面時初速度為第7頁半徑為R，高為H圓柱形貯水桶，盛滿了水，問將水桶中水全部吸出須作多少功？解這個問題即使不是變力作功問題，不過因為吸出一樣重量不一樣深度水時所作功是不一樣，所以也要用定積分來計算。能夠了解水是一層一層地被吸到桶口在區(qū)間[y,y+dy]上對應一小薄柱體該水柱重為將這一小水柱提到桶口所經(jīng)過距離例3第8頁將以上幾例解法普通化可得若一物體在變力

F(x)作用下，沿力方向（ox軸）作直線運動，當物體由x=a移到x=b時，變力F(x)對物體所作功為

第9頁由物理學知道，一水平放置在液體中薄板，其面積為A，距液面深度為h，則該薄板一側(cè)所受壓力P等于液體壓強

p

與受力面積乘積，而壓強等于深度與比重乘積，于是但在實際問題中，往往需要計算與液面垂直放置薄板一側(cè)所受壓力，因為薄板在不一樣深度處壓強不一樣，因而不能直接應用上述公式進行計算，需要采取微元法，利用定積分來計算。例4設半徑為R圓形水閘門，水面與閘頂平齊，求閘門一側(cè)所受壓力。二、液體側(cè)壓力第10頁取坐標系如圖oxyy+dy2Ry奇函數(shù)偶函數(shù)四分之一圓面積x解第11頁邊長為a,

b矩形薄板，與液面成角斜沉于液體中，長邊平行于液面而位于深h

處，設

a>b液體比重為，求板一側(cè)所受壓力。解如圖建立坐標系坐標為x處液體深度為xx+dxab例5第12頁得液體側(cè)壓力計算公式將以上幾例解法普通化第13頁由萬有引力定律：兩個質(zhì)量分別為相距為r質(zhì)點間引力若要計算一細長桿對一質(zhì)點引力，此時因為細桿上各點與質(zhì)點距離是改變，所以不能直接利用上述公式計算。例6設有一長為l質(zhì)量為M均勻細桿，另有一質(zhì)量為m質(zhì)點和桿在一條直線上，它到桿近端距離為a，求細桿對質(zhì)點引力。三、引力第14頁取x為積分變量該小段細桿質(zhì)量為若把問題改為求細桿對位于它一端垂線上距桿a處質(zhì)量為m質(zhì)點引力。第15頁解

取坐標系如圖0l·ma取x為積分變量該小段細桿質(zhì)量為若把問題改為求細桿對位于它一端垂線上距桿a處質(zhì)量為m質(zhì)點引力。第16頁解如圖建立坐標系第17頁尤其是怎樣在詳細問題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內(nèi)容真正地把握公式是非常必要，相反假如僅滿足于套用公式處理一些簡單問題而不求甚解，那么碰到一些稍有靈活性問題，便可能束手無策，不知怎樣下手。四、平均值和均方根關(guān)于定積分在物理方面應用，除了應熟記各個公式結(jié)果外，還須了解其推導過程第18頁關(guān)于定積分應用說明三點：1。選擇適當坐標系2。善于依據(jù)問題性質(zhì)和要求結(jié)構(gòu)積分元素，主要是選擇好參數(shù)，并能正確地確定出積分限，3。詳細計算定積分時，要尤其注意和充分而且慎重應用對稱性及等量關(guān)系以簡化定積分計算，對此，熟悉區(qū)域或曲線形狀，對于處理問題是十分有益。第19頁利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題．（注意熟悉相關(guān)物理知識）思索題一球完全浸沒水中，問該球面所受總壓力與球浸沒深度有沒有關(guān)系？它所