a6.微分方程模型省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第1頁在研究實際問題時，經(jīng)常會聯(lián)絡(luò)到一些變量改變率或?qū)?shù)，這么所得到變量之間關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反應(yīng)是變量之間間接關(guān)系，所以，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。求解微分方程有三種方法：1）求準(zhǔn)確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。第2頁建立微分方程模型方法（1）依據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中定理或經(jīng)過試驗檢驗規(guī)律等來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知定理與規(guī)律尋找微元之間關(guān)系式，與第一個方法不一樣是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。第3頁（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟等學(xué)科實際問題中，許多現(xiàn)象規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜，建模時在不一樣假設(shè)下去模擬實際現(xiàn)象，建立能近似反應(yīng)問題微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬一些實際現(xiàn)象。第4頁觀眾廳地面設(shè)計1問題提出在影視廳或匯報廳，經(jīng)常會為前邊觀眾遮擋住自己視線而苦惱。顯然，場內(nèi)觀眾都在朝臺上看，假如場內(nèi)地面不做成前低后高坡度模式，那么前邊觀眾必定會遮擋后面觀眾視線。試建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計良好匯報廳地面坡度曲線。第5頁建立坐標(biāo)系oo—處于臺上設(shè)計視點bb—第一排觀眾眼睛到x軸垂直距離xyadda—第一排觀眾與設(shè)計視點水平距離d—相鄰兩排排距—視線升高標(biāo)準(zhǔn)x—表示任一排與設(shè)計視點水平距離求任一排x與設(shè)計視點o豎直距離函數(shù)使此曲線滿足視線無遮擋要求。問題第6頁2問題假設(shè)觀眾廳地面縱剖面圖一致，只需求中軸線上地面起伏曲線即可。同一排座位在同一等高線上。每個坐在座位上觀眾眼睛與地面距離相等。每個坐在座位上觀眾頭與地面距離也相等。所求曲線只要使觀眾視線從緊鄰前一個座位人頭頂擦過即可。第7頁3建模設(shè)眼睛升起曲線應(yīng)滿足微分方程初始條件obxyadd1）從第一排起，觀眾眼睛與o點連線斜率隨排數(shù)增加而增加，而眼睛升起曲線顯然與這些直線皆相交，故此升起曲線是凹。第8頁2）選擇某排和相鄰排oyx-dC(x,0)C2(x+d,0)MM2M1xN1ABN相同于D第9頁再計算相同于第10頁4模型求解微分不等式（比較定理）設(shè)函數(shù)定義在某個區(qū)域上，且滿足1）在D上滿足存在唯一性定理條件；2）在D上有不等式則初值問題與解在它們共同存在區(qū)間上滿足第11頁第12頁所求曲線近似曲線方程（折衷法）折衷法第13頁5總結(jié)與討論有時只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型討論obxyadd1）視點移動時升起曲線怎樣求得？2）怎樣降低地面坡度？調(diào)整參數(shù)、相鄰排錯位。3）衡量經(jīng)濟指標(biāo)？座位盡可能多、升起曲線占據(jù)空間盡可能少等。第14頁

一古尸年代判定問題

在巴基斯坦一個洞穴里，發(fā)覺了含有古代尼安德特人特征人骨碎片，科學(xué)家把它帶到試驗室，作碳代測定，分析表明，與百分比僅僅是活組織內(nèi)6.24%，能否判斷此人生活在多少年前？第15頁

年代測定：活體中碳有一小部分是放射性同位素，這種放射性碳是因為宇宙射線在高層大氣中撞擊引發(fā)，經(jīng)過一系列交換過程進(jìn)入活組織內(nèi)，直到在生物體內(nèi)到達(dá)平衡濃度，這意味著在活體中，數(shù)量與穩(wěn)定數(shù)量成定比，生物體死亡后，交換過程就停頓了，放射性碳便以每年八千分之一速度降低。背景第16頁設(shè)t為死后年數(shù)，第17頁年代測定修訂：

1966年，耶魯試驗室MinzeStuiver和加利福尼亞大學(xué)圣地亞哥分校HansE.Suess在一份匯報中指出：在2500到100前這段時間中測得結(jié)果有差異，其根本原因在于那個年代，宇宙射線放射性強度減弱了，偏差峰值發(fā)生在大約60以前。他們提出了一個很成功誤差公式，用來校正依據(jù)碳測定出23到60前這期間年代：

真正年代＝第18頁

二范.梅格倫（VanMeegren）偽造名畫案第二次世界大戰(zhàn)比利時解放后，荷蘭保安機關(guān)開始搜捕納粹分子合作者，發(fā)覺一名三流畫家H.A.Vanmeegren曾將17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan.Vermeer一批名貴油畫盜賣給德寇，于1945年5月29日通敵罪逮捕了此人。Vanmeegren被捕后宣稱他從未出賣過荷蘭利益，全部油畫都是自己偽造，為了證實這一切，在獄中開始偽造Vermeer畫《耶穌在學(xué)者中間》。當(dāng)他工作快完成時，又得悉他可能以偽造罪被判刑，于是拒絕將畫老化，以免留下罪證。第19頁為了審理這一案件，法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加國際專門小組，采取了當(dāng)初最先進(jìn)科學(xué)方法，動用了X-光線透視等，對顏料成份進(jìn)行分析，終于在幾幅畫中發(fā)覺了當(dāng)代物質(zhì)諸如當(dāng)代顏料鈷藍(lán)痕跡。這么，偽造罪成立，Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在獄中心臟病發(fā)作而死去。不過，許多人還是不相信其余名畫是偽造，因為，

Vanmeegren在獄中作畫實在是質(zhì)量太差，所找理由都不能使懷疑者滿意。直到后，1967年，卡內(nèi)基梅隆大學(xué)科學(xué)家們用微分方程模型處理了這一問題。第20頁原理著名物理學(xué)家盧瑟夫（Rutherford）指出：

物質(zhì)放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)原子數(shù)。設(shè)時刻原子數(shù)為，則有為物質(zhì)衰變常數(shù)。初始條件第21頁半衰期碳-14鈾-238鐳-226鉛-210能測出或算出，只要知道就可算出這正是問題難處，下面是間接確定方法。斷代。第22頁油畫中放射性物質(zhì)白鉛（鉛氧化物）是油畫中顏料之一，應(yīng)用已經(jīng)有余年，白鉛中含有少許鉛(Pb210)和更少許鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)礦中提取出來時，Pb210絕大多數(shù)起源被切斷，因而要快速蛻變，直到Pb210與少許鐳再度處于放射平衡，這時Pb210蛻變恰好等于鐳蛻變所補足為止。第23頁鈾238鐳226鉛210釙210鉛206（放射性）（無放射性）第24頁假設(shè)（1）鐳半衰期為16，我們只對17世紀(jì)油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳最少還有原量90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。（2）釙半衰期為138天輕易測定，鉛210半衰期為22年，對要判別300多年顏料來說，每克白鉛中每分鐘釙衰變數(shù)與鉛210衰變數(shù)可視為相等。第25頁建模設(shè)時刻每克白鉛中含鉛210數(shù)量為，為制造時刻每克白鉛中含鉛210數(shù)量。為鉛210衰變常數(shù)。則油畫中鉛210含量第26頁求解均可測出?？伤愠霭足U中鉛衰變率，再于當(dāng)初礦物比較，以判別真?zhèn)?。礦石中鈾最大含量可能2~3%，若白鉛中鉛210每分鐘衰變超出3萬個原子，則礦石中含鈾量超出4%。第27頁測定結(jié)果與分析畫名釙210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Em