第01講 二次根式的概念（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+3類(lèi)熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）

第01講二次根式的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次根式的定義②二次根式有無(wú)意義的條件掌握二次根式的定義，能夠熟練判斷二次根式。掌握二次根式有無(wú)意義的條件，能夠根據(jù)此條件熟練求值。知識(shí)點(diǎn)01二次根式的定義二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式。其中叫做二次根號(hào)，叫做被開(kāi)方數(shù)。判斷一個(gè)式子是不是二次根式需判斷是不是含有二次根號(hào)以及被開(kāi)方數(shù)是否大于等于0。兩者必須同時(shí)滿足?！炯磳W(xué)即練1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A．，被開(kāi)方數(shù)是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；B．，三次根式，故此選項(xiàng)不合題意；C．，是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；D．，被開(kāi)方數(shù)有可能是負(fù)數(shù)，二次根式無(wú)意義，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．知識(shí)點(diǎn)02二次根式有無(wú)意義的條件二次根式有意義的條件：二次根式有意義必須滿足二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0。即中，。注意：當(dāng)二次根式存在在分母的位置時(shí)，被開(kāi)方數(shù)只能大于零?！炯磳W(xué)即練1】2．若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥6 B．x≥﹣6 C．x≤﹣6 D．x≤6【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得6+x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：6+x≥0，解得：x≥﹣6，故選：B．題型01判斷二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義：形如（a≥0）的式子，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、無(wú)意義，故A不符合題意；B、不是二次根式，故B不符合題意；C、是二次根式，故C符合題意；D、無(wú)意義，故D不符合題意；故選：C．【變式1】若a為任意實(shí)數(shù)，則下列各式中是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．當(dāng)a＜0時(shí)，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)a＜﹣1時(shí)，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，不是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式2】已知：a、b均為實(shí)數(shù)，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)二次根式的定義（根指數(shù)是2，被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)）判斷即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3個(gè)，故選：C．【變式3】若是二次根式，則x的取值范圍是x≥﹣3．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案為：x≥﹣3．【變式4】若是二次根式，則x的取值范圍是（）A．x為非負(fù)數(shù) B．x≠1 C．x≥1 D．x＞1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開(kāi)方數(shù)大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故選：D．題型02根據(jù)二次根式有意義的條件求取值范圍【典例1】若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≤1．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案為：x≤1．【變式1】若式子有意義，則x的取值范圍是x≥1且x≠2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意義，必須x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案為：x≥1且x≠2．【變式2】若二次根式有意義，則x的取值范圍是x＜2．【分析】根據(jù)二次根式被開(kāi)放數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式的分母不為零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意義，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案為：x＜2．【變式3】若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x≥﹣1且x≠3．【分析】根據(jù)分式有意義時(shí)分母不等于0，二次根式有意義時(shí)被開(kāi)方數(shù)大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范圍是x≥﹣1且x≠3．故答案為：x≥﹣1且x≠3．【變式4】若，則（）A．a(chǎn)≥6 B．a(chǎn)≥0 C．0≤a≤6 D．a(chǎn)為一切正實(shí)數(shù)【分析】由二次根式可知要使有意義，則根號(hào)里面的數(shù)不能小于0，再進(jìn)行列式計(jì)算即可．【解答】解：由題可知，，解得a≥6，故選：A．【變式5】若＝在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，則x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵＝在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故選：D．題型03利用二次根式有意義的條件求值【典例1】若，則a+b的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意義，必須2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故選：A．【變式1】若x，y都是實(shí)數(shù)，且y＝，則xy的值是（）A．﹣ B． C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x，y的值，再代入xy計(jì)算即可．【解答】解：由題意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴xy＝．故選：C．【變式2】如果實(shí)數(shù)a滿足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019【分析】根據(jù)二次根式（a≥0）確定a的范圍，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：由題意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故選：A．【變式3】已知：，則（﹣x）y＝﹣．【分析】根據(jù)二次根式為非負(fù)數(shù)，列不等式組可得x的值，進(jìn)而得到y(tǒng)的值，代入求值即可．【解答】解：由題意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【變式4】已知x、y為實(shí)數(shù)，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出，從而得出x、y的值，代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：x＝4，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的定義分別判斷即可．【解答】解：A、的被開(kāi)方數(shù)﹣2＜0，不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是三次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、的被開(kāi)方數(shù)a2+1＞0，是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；D、的被開(kāi)方數(shù)a﹣1有可能小于0，即當(dāng)a＜1時(shí)不是二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．若式子是二次根式，則a的值不可以是（）A．0 B．﹣2 C．2 D．4【分析】根據(jù)二次根式的定義得出a≥0，再得出選項(xiàng)即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有選項(xiàng)B符合，選項(xiàng)A、選項(xiàng)C、選項(xiàng)D都不符合，故選：B．3．當(dāng)a＝﹣2時(shí)，二次根式的值為（）A．2 B． C． D．±2【分析】把a(bǔ)＝﹣2代入二次根式，即可解決問(wèn)題．【解答】解：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，二次根式＝＝＝2．故選：A．4．當(dāng)x＝2時(shí)，下列二次根式?jīng)]有意義的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：當(dāng)x＝2時(shí)，，，，故選項(xiàng)A、B、C不符合題意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即沒(méi)有意義，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．5．若有意義，則a的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．2 D．6【分析】直接利用二次根式的定義得出a的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：有意義，則a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故選：D．6．若有意義，則x可以?。ǎ〢．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可得．【解答】解：由題意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故選：A．7．已知代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x≠0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件得到x≥0且，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故選：D．8．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，且，則|y﹣x|的值是（）A．1 B．9 C．4 D．5【分析】根據(jù)二次根式有題意的條件可求解x，y值，進(jìn)而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故選：A．9．二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出x的取值范圍，進(jìn)而在數(shù)軸上表示即可．【解答】解：二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則1﹣x≥0，解得：x≤1，則實(shí)數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為：．故選：C．10．已知，則2xyz的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz計(jì)算，得出2xyz的值，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反數(shù)是．故選：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序號(hào)）【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指數(shù)是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案為：②④．12．如果是二次根式，那么x應(yīng)滿足的條件是x≥1．【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由題意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．13．如果，那么xy的值是100．【分析】先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求出x的值，進(jìn)而求出y的值，再代入xy計(jì)算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴xy＝102＝100．故答案為：100．14．如果，那么x+y的平方根為±．【分析】根據(jù)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根為±．故答案為：±．15．要使式子有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意義，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥1且x≠2．故答案為：x≥1且x≠2．16．當(dāng)x分別取下列值時(shí)，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接將（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意開(kāi)方時(shí)容易出錯(cuò)．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，進(jìn)而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出對(duì)應(yīng)的立方根．【解答】解：∵要有意義，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是實(shí)數(shù)，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行解題即可；（2）將求出的x與y代入進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）由題可知，，解得x＝，將x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）將x與y代入得＝＝．19．（1）已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同平方根分別是a+3與2a﹣15，求這個(gè)數(shù)．（2）已知x，y為實(shí)數(shù)，且，求的平方根．【分析】（1）先根據(jù)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出這個(gè)數(shù)的一個(gè)平方根，即可得出這個(gè)正數(shù)；（2）先根據(jù)二次根式有意義的條件得出x＝9，從而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)不同平方根分別是a+3與2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴這個(gè)數(shù)一個(gè)平方根為4+3＝7，∴這個(gè)數(shù)為72＝49；（2）∵x，y為實(shí)數(shù)，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根為．20．（1）已知2b+1的平方根為±3，3a+2b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平