93三重積分2省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

2024/8/18§9.3三重積分一、三重積分概念二、三重積分計算第1頁2一、三重積分概念類似二重積分處理問題思想,采取

引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻物質(zhì),求分布在內(nèi)物質(zhì)可得“大化小,常代變,近似和,求極限”處理方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為第2頁定義.設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分性質(zhì)與二重積分相同.性質(zhì):比如以下中值定理.在有界閉域

上連續(xù),則存在使得V為

體積,

“乘積和式”極限記作3第3頁二、三重積分計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體經(jīng)過計算該物體質(zhì)量引出以下各計算最終,推廣到普通可積函數(shù)積分計算.密度函數(shù),方法:4第4頁方法1.投影法(“先一后二”)該物體質(zhì)量為細(xì)長柱體微元質(zhì)量為微元線密度≈記作5第5頁方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高柱形薄片質(zhì)量為該物體質(zhì)量為面密度≈記作6第6頁其中

為三個坐標(biāo)例1.計算三重積分所圍成閉區(qū)域.解:面及平面7投影D截面Dx第7頁例2.計算三重積分解:用“先二后一”8第8頁

例3計算其中由所圍成.分析：若用“先二后一”,則有計算較繁!9第9頁所圍,故可思索:若被積函數(shù)為f(y)時,怎樣計算簡便?表為解:10第10頁例將化為累次積分,其中

由所圍成.11第11頁2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分就稱為點(diǎn)M

柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面12第12頁如圖所表示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量相互分離.13第13頁其中

為由例1.計算三重積分所圍解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.14第14頁例2.計算三重積分解:

在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=15第15頁例3.計算其中解:利用對稱性16第16頁3.利用球坐標(biāo)計算三重積分就稱為點(diǎn)M

球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面17第17頁如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中適用范圍:1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量相互分離.18第18頁例1.計算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面19第19頁例2.求曲面所圍立體體積.解:

由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于

xoz

20第20頁和球面所圍成,計算解:利用對稱性用球坐標(biāo)21例3.設(shè)

由錐面第21頁內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡練,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可分離.圍成;22第2