高等數(shù)學(xué)-極限與連續(xù)省公開(kāi)課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

第二章極限與連續(xù)

§2.1數(shù)列極限§2.2函數(shù)極限§2.3變量極限§2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量§2.5極限運(yùn)算法則§2.6兩個(gè)主要極限§2.7利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限§2.8函數(shù)連續(xù)性11/145第二章

§2.1數(shù)列極限定義：由無(wú)窮多個(gè)數(shù)，組成有序一列數(shù)：稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列中各個(gè)數(shù)稱為數(shù)列項(xiàng)，稱為通項(xiàng)。數(shù)列能夠看成以正整數(shù)為自變量函數(shù)。(一)數(shù)列22/145例1

例2

例3

這種數(shù)列稱為常數(shù)數(shù)列。例4

例5

33/1451.數(shù)列極限定性描述引例1.設(shè)有半徑為

r

圓,迫近圓面積S.如圖所表示,可知當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限迫近S

(劉徽割圓術(shù))

,用其內(nèi)接正n

邊形面積(二)數(shù)列極限44/145“割之彌細(xì),所失彌小，割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”它包含了“用已知迫近未知,用近似迫近準(zhǔn)確”主要極限思想我國(guó)古代魏末晉初出色數(shù)學(xué)家劉徽指出：55/145引例２

例1中數(shù)列起源于我國(guó)一篇古典名著.公元

前四世紀(jì)，我國(guó)春秋時(shí)期哲學(xué)家莊子（約公元前

369－前286）在《莊子·天下篇》一書(shū)中有一段

富有哲理名句：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不

竭”.我們把逐日取下棰長(zhǎng)度順次列出來(lái).便得到數(shù)列當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限迫近066/145定義設(shè)數(shù)列,實(shí)數(shù)。假如無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)則稱數(shù)列以為極限，記作

或此時(shí)，稱數(shù)列收斂.不然（即時(shí)，不以任何常數(shù)為極限）,稱數(shù)列發(fā)散。

77/145說(shuō)明：(1).引例1中，圓面積(2).引例2中，剩下棒頭長(zhǎng)度88/145觀察上例中，數(shù)列極限：例2中,例3中,例4中,不存在；時(shí),數(shù)列沒(méi)有固定改變趨勢(shì)，發(fā)散。當(dāng)例5中，不存在。當(dāng)時(shí),數(shù)列改變趨勢(shì)為無(wú)限增大，發(fā)散。記

99/1452、數(shù)列極限定量描述逐次加入定量成份，把極限定性描述轉(zhuǎn)為定量描述。(1)假如無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)則稱數(shù)列以為極限.(2)當(dāng)充分大時(shí)，任意小，則稱數(shù)列以為極限.

(3)

,當(dāng)充分大時(shí)，則稱數(shù)列以為極限.

(4)當(dāng)n>N時(shí),總有則稱數(shù)列以為極限.1010/145定義:若數(shù)列及常數(shù)a有以下關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂,不然稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋(動(dòng)態(tài)地看定義):即或則稱該數(shù)列極限為a,當(dāng)n>

N

時(shí),全部點(diǎn)都落在內(nèi)。只有有限個(gè)點(diǎn)落在鄰域之外。1111/145幾點(diǎn)注意1212/1451313/145例6.已知證實(shí)數(shù)列極限為1.

證:所以,取則當(dāng)時(shí),就有故由定義來(lái)證，當(dāng)時(shí),就有當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化1414/145例6.已知證實(shí)數(shù)列極限為1.

證2:欲使只要所以,取則當(dāng)時(shí),就有故1515/145“ε－N”定義證實(shí)步驟，分三步：第一步，給定任意正數(shù)ε；第二步，由尋找正整數(shù)N，這是關(guān)鍵一步；第三步，按照定義模式寫(xiě)出結(jié)論.1616/145例7.已知證實(shí)證:欲使只要取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與

相關(guān),但不唯一.不一定取最小N.說(shuō)明:

取放大！1717/145例8.設(shè)證實(shí)等比數(shù)列證:欲使只要即亦即所以,取則當(dāng)n>N時(shí),就有故極限為0.為何限制，能夠限制嗎？1818/145(三)收斂數(shù)列性質(zhì)(補(bǔ)充內(nèi)容)證實(shí)思想:用反證法.1.收斂數(shù)列極限唯一.及且假設(shè)選ε,使aε鄰域與bε鄰域不相交,當(dāng)n>max(N1,N2)時(shí),xn同時(shí)在這兩鄰域內(nèi),矛盾1919/145證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.所以收斂數(shù)列極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足不等式2020/145例4.證實(shí)數(shù)列是發(fā)散.

證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1開(kāi)區(qū)間使當(dāng)n>N時(shí),有所以該數(shù)列發(fā)散.2121/1452.收斂數(shù)列一定有界.即假如直觀證實(shí)思想鄰域內(nèi)有幾乎全部xn鄰域內(nèi)外只有有限個(gè)xn說(shuō)明:此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.2222/145證:

取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證實(shí)收斂數(shù)列必有界.有說(shuō)明:此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.比如,雖有界但不收斂.數(shù)列2323/1453.收斂數(shù)列保號(hào)性.若且時(shí),有直觀:2424/145證實(shí)思想:若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取問(wèn):a>b時(shí),會(huì)有什么結(jié)論?2525/145推論2:若數(shù)列從某項(xiàng)起推論1:若且時(shí),有2626/145第二章

§2.2函數(shù)極限函數(shù)極限問(wèn)題是研究當(dāng)自變量趨向于改變趨勢(shì)或趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)自變量改變過(guò)程有六種形式:

趨向于一點(diǎn)

趨向于無(wú)窮2727/145(一)自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)極限時(shí)函數(shù)極限定義仿數(shù)列極限定義(不論多么小)，有：描述任意地靠近表示靠近過(guò)程2828/145定義.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)極限,或若記作2929/145注意3030/145例9.證實(shí)證:故對(duì)任意當(dāng)時(shí),所以總有3131/145例10.證實(shí)證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有所以只要3232/145例11.證實(shí)證:故取當(dāng)時(shí),必有所以欲使3333/145例12.證實(shí):當(dāng)證:欲使且而可用所以只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),確保.必有放大只要“大”<ε則“小”必<ε3434/1453535/145(二)左極限和右極限3636/145左極限:當(dāng)時(shí),有類似地，定義右極限！3737/145右極限:當(dāng)時(shí),有定理1.想一想3838/145例13.設(shè)函數(shù)討論時(shí)極限是否存在.解:因?yàn)轱@然所以不存在.利用定理1.3939/145由定理1可知，假如左極限和右極限最少有一個(gè)不存在，或者存在但不相等，則函數(shù)極限不存在.定理1慣用于證實(shí)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限不存在.解:因?yàn)轱@然所以利用定理1.例14.研究當(dāng)時(shí)，極限。4040/145(三)自變量x絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)情形如圖所表示，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)絕對(duì)值無(wú)限變小，時(shí)，該函數(shù)以常數(shù)為極限，記作可見(jiàn)當(dāng)4141/145定義(定性)

.設(shè)時(shí)極限,記作則稱常數(shù)A為函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，A為常數(shù)。假如在過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限趨近于確定值A(chǔ).4242/145定義(定量)設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若時(shí)極限,則稱常數(shù)A為函數(shù)直線y=A為曲線水平漸近線4343/145直線y=A仍是曲線y=f(x)

漸近線.兩種特殊情況:時(shí)極限,記作則稱A為函數(shù)假如在過(guò)程中,對(duì)應(yīng)函數(shù)值無(wú)限趨近于確定值A(chǔ).幾何意義:4444/145比如，都有極限，就不存在極限。4545/145例15.用定義證實(shí)證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有所以只要4646/145例16.用定義證實(shí)證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有所以只要即同理，可用定義證實(shí)4747/145(四)函數(shù)極限性質(zhì)

4848/145局部保號(hào)定理

定理2.若且A>0,則存在(A<0)4949/145證:已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)鄰域上(<0)定理2.若且A>0,則存在以A>0為例5050/145定理3.若在某去心鄰域內(nèi),且則證:用反證法.則由定理2,某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(一樣可證情形)存在假設(shè)A<0,條件矛盾,故5151/145思索:若定理3中條件改為是否必有不能!如推論:若且則利用極限四則運(yùn)算法則證實(shí).提醒:令5252/145第二章

§2.3變量極限定義若在此改變過(guò)程中極限,記作則稱常數(shù)A為變量綜合各類極限定義,得普通變量極限定義:5353/145定義若在那個(gè)時(shí)刻之后為有界變量.則稱變量定理若為有界變量.變量反之,有界變量未必有極限.5454/145第二章

§2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量(一)無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大變量稱為無(wú)窮大5555/145定義

.若任給M>0,總有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大,①(正數(shù)X),記作總存在5656/145又如鉛直漸近線。5757/145比如，漸近線直線為曲線鉛直漸近線.1.無(wú)窮大是變量,不能與很大數(shù)混同;注5858/145(二)無(wú)窮小定義.若時(shí),函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)無(wú)窮小.極限為零變量,稱為無(wú)窮小.1、無(wú)窮小量概念5959/145當(dāng)比如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小.說(shuō)明:2.零是能夠作為無(wú)窮小唯一數(shù)!1.無(wú)窮小是變量,不能與很小數(shù)混同;6060/145其中

(x)

為時(shí)無(wú)窮小量.定理.(無(wú)窮小與函數(shù)極限關(guān)系)意義1.將普通極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題

(無(wú)窮小);6161/145證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量其它改變過(guò)程類似可證.其中

為時(shí)無(wú)窮小量.定理16262/1452、無(wú)窮小量性質(zhì)

性質(zhì)1.有限個(gè)無(wú)窮小代數(shù)和還是無(wú)窮小.由此可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.以三個(gè)無(wú)窮小和為例！設(shè)無(wú)窮小無(wú)窮小只需證實(shí)，兩個(gè)無(wú)窮小和，仍為無(wú)窮小。分析：6363/145時(shí),有證:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)所以來(lái)證6464/145說(shuō)明:無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!比如，性質(zhì)2.

有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小.

即6565/145證:當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故6666/145推論2

.常數(shù)與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小.推論2.有限個(gè)無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小.推論1.

有極限變量與無(wú)窮小乘積是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小6767/145例14.求解:

利用性質(zhì)2可知說(shuō)明:

y=0是漸近線.注意，有主要公式：函數(shù)極限與自

變量改變過(guò)

程相關(guān)。6868/145(三)無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則據(jù)此定理,關(guān)于無(wú)窮大問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.性質(zhì)3.

說(shuō)明:6969/145(四)無(wú)窮小量階比較都是無(wú)窮小,引例.但可見(jiàn)無(wú)窮小趨于0速度是多樣.觀察各極限7070/145定義.若則稱

是比

高階無(wú)窮小,若若若或設(shè)是自變量同一改變過(guò)程中無(wú)窮小,記作則稱

是比

低階無(wú)窮小;則稱

是

同階無(wú)窮小;則稱

是

等價(jià)無(wú)窮小,記作比如

,當(dāng)～時(shí)7171/145例15.證實(shí):當(dāng)時(shí),～證:～7272/145第二章

§2.5極限運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無(wú)窮小)于是由性質(zhì)1可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理.若7373/145說(shuō)明:此定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減情形.定理.若則有證實(shí)略.說(shuō)明:此定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘情形.推論1.(C為常數(shù))推論2.(n為正整數(shù))7474/145例16.設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:7575/145定理.若且B≠0,則有證實(shí)略例17.設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:若不能直接用商運(yùn)算法則.若7676/145

x=3時(shí)分母為0!例18.練習(xí)求7777/145例19.求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因7878/145例20.求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式7979/145普通有以下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))8080/145例21求解注意兩個(gè)同號(hào)無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量，

兩個(gè)異號(hào)無(wú)窮大量之和是“∞－∞”型不定式.

本例求極限方法稱為有理化法.8181/145第二章

§2.6兩個(gè)主要極限(一)極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則(略).1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1-數(shù)列)直觀:8282/145當(dāng)時(shí),有想證證實(shí)直觀:n>N2時(shí)n>N1時(shí)n>max(N1,N2)時(shí)8383/145證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),取則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故8484/145夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1-變量)直觀:例1.證實(shí)證實(shí)：8585/145例2.證實(shí)證實(shí)：8686/145例3.證實(shí)證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由8787/1452.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)

(證實(shí)略)8888/145例.設(shè)證實(shí)數(shù)列極限存在.證:利用二項(xiàng)式公式,有8989/145大大正又比較可知9090/145依據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無(wú)理數(shù),其值為即有極限.又9191/145圓扇形AOB面積(二)兩個(gè)主要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

面積＜＜△AOD面積故有9292/145例4.求解:例5.求解:令則所以原式9393/145例6.求解:原式=例.已知圓內(nèi)接正n邊形面積為證實(shí):證:說(shuō)明:計(jì)算中注意利用9494/1452.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則9595/145當(dāng)則從而有故說(shuō)明:此極限也可寫(xiě)為時(shí),令9696/145例.求解:令則說(shuō)明

：若利用則原式9797/145例7.求解:例8.求解:9898/145例.計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題：每期結(jié)算一次，本利和為設(shè)本金為，利率為，期數(shù)為。每期結(jié)算次，期本利和為假如馬上產(chǎn)生，馬上結(jié)算，即期本利和為9999/145第二章

§2.7利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限～～定理1.證:即即100100/145定理2.設(shè)且存在,則證:等價(jià)無(wú)窮小替換定理比如,在極限乘除

運(yùn)算中，等價(jià)

無(wú)窮小能夠相

互替換！101101/145設(shè)對(duì)同一改變過(guò)程,

,

為無(wú)窮小,說(shuō)明:無(wú)窮小性質(zhì)Th1～2,(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)得簡(jiǎn)化一些極限運(yùn)算下述規(guī)則.若

=o(

),比如,(2)因式代替規(guī)則:界,則比如,

102102/145例1.求解:原式103103/145例2.求解:原式104104/145例3.求解:原式不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意105105/145例4.證實(shí)證實(shí):106106/145第二章

§2.8函數(shù)連續(xù)性可見(jiàn),函數(shù)在點(diǎn)（一）、函數(shù)連續(xù)性定義定義:在某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備以下條件:存在;且有定義,存在;107107/145continue若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上連續(xù)函數(shù).例1在上連續(xù).(有理整函數(shù))例2

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)集合記作只要都有連續(xù)函數(shù)圖形是一條連續(xù)而不間斷曲線.108108/145對(duì)自變量增量有函數(shù)增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有以下等價(jià)命題:109109/145例3.

證實(shí)函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).一樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).110110/145例4.

證實(shí)函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說(shuō)明在內(nèi)連續(xù).來(lái)證要使只要即取即可111111/145例5證由定義知112112/145例6解右連續(xù)但不左連續(xù),113113/145在在（二）、函數(shù)間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)某去心鄰域內(nèi)有定義,則以下情形這么點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn).在無(wú)定義;114114/145間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中最少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn).為跳躍間斷點(diǎn).為無(wú)窮間斷點(diǎn).為振蕩間斷點(diǎn).115115/145為其無(wú)窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).比如:116116/145顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).117117/145例7解118118/145小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限最少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷類型在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)形式119119/145可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx120120/145（三）、連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則極限性質(zhì)輕易把極限性質(zhì)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)性質(zhì),如121121/145定理1.在某點(diǎn)連續(xù)有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和,差,積,(利用極限四則運(yùn)算法則證實(shí))商(分母不為0)運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù).在其定義域內(nèi)連續(xù)比如,122122/145定理2.連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)反函數(shù)比如,在上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)(遞減).(證實(shí)略)在[－1,1]上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).123123/145在上連續(xù)單調(diào)遞增,其反函數(shù)在上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如,

124124/145定理3定理4.連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)是連續(xù).即:設(shè)函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且即加強(qiáng)條件有:注意定理4是定理3特殊情況.(證實(shí)略)125125/145意義極限符號(hào)能夠與函數(shù)符號(hào)交換;例8.求解:原式126126/145例9.是由連續(xù)函數(shù)鏈所以在上連續(xù).復(fù)合而成,127127/145三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們定義域內(nèi)是連續(xù).★★★基本初等函數(shù)連續(xù)性★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))（四）、初等函數(shù)連續(xù)性Ex128128/145基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)比如,連續(xù)區(qū)間為(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))連續(xù)區(qū)間為定義域?yàn)樗运鼰o(wú)連續(xù)點(diǎn)而定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)區(qū)間.129129/145例10.討論

連續(xù)性。解:130130/145連續(xù)性。例10.討論131131/145(五)利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限1.利用初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限例11.求解:初等函數(shù)在例12求解:132132/145例13.