小學(xué)1-6年級(jí)數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析附34個(gè)必考公式

小學(xué)1-6年級(jí)數(shù)學(xué)難點(diǎn)解析，附34個(gè)必考公式

一年級(jí)契數(shù)

一年級(jí)的孩子剛剛踏入小學(xué).不論是學(xué)習(xí)習(xí)慣還是學(xué)習(xí)方法，都需要全面的培養(yǎng)和

正確的引導(dǎo)，這就需要家長(zhǎng)對(duì)整個(gè)六年的小學(xué)學(xué)習(xí)有一個(gè)全面的規(guī)劃。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

巧算與速算的基本知識(shí)：對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說，計(jì)算是學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)遇到的第一個(gè)

問題。如果能夠在看似無序的算式中尋找到一定的規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，那么學(xué)生一定

能夠增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。另外，計(jì)算與速算是各種后續(xù)問

題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，首先就要過計(jì)算這關(guān)。

認(rèn)識(shí)并學(xué)會(huì)數(shù)各種基本圖形：正方形、長(zhǎng)方體、圓和立方體等是小學(xué)學(xué)習(xí)中最常見

的圖形。通過系統(tǒng)的指導(dǎo)，使一年級(jí)的學(xué)生能夠計(jì)算出各種基本圖形的個(gè)數(shù)；使學(xué)

生建立起有序思維，為建立思維模式打下基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的枚舉法：枚舉法對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說的確是有一定的困難。在華數(shù)課

本中，介紹這一難題時(shí)采用數(shù)數(shù)這種更為直觀的方式，將復(fù)雜抽象的問題形象化，

便于孩子們理解。

枚舉法訓(xùn)練的重點(diǎn)在于有序的思維方式，學(xué)習(xí)之初將抽象問題形象化，能夠更好地

引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)思考，建立起自己的思維方式。

數(shù)字的奇與偶、不等與相等等關(guān)于數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)論問題是后續(xù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)

重點(diǎn)，而這學(xué)期將要學(xué)到的：數(shù)字的奇與偶、不等與相等等無疑將會(huì)是今后學(xué)習(xí)的

基礎(chǔ)，在這里我們把數(shù)論問題分解為各種類型逐一講解，使華教學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)。

二年級(jí)奧數(shù)

二年級(jí)是開發(fā)孩子智力、形成良好思維習(xí)慣的最佳時(shí)期，學(xué)習(xí)奧數(shù)不僅能夠極大地

鍛煉孩子的思維能力，也能為孩子之后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生

家長(zhǎng)來說，激發(fā)孩子對(duì)華數(shù)的興趣是最主要的。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

計(jì)算要過關(guān)：對(duì)于二年級(jí)學(xué)生的奧數(shù)學(xué)習(xí)來說，最先碰到的問題就是計(jì)算問題，計(jì)

算問題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

根據(jù)學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況，孩子還沒有學(xué)習(xí)乘除法的列豎式，尤其是乘法的列豎式

在二年級(jí)華數(shù)的學(xué)習(xí)中要求的比較多，比如華數(shù)課本下冊(cè)第三講速算與巧算中就多

次用到了乘法，另外一些應(yīng)用題中也會(huì)有所應(yīng)用。所以對(duì)于學(xué)習(xí)下冊(cè)華數(shù)的學(xué)生，

首先計(jì)算關(guān)一定要過。

枚舉是難點(diǎn)：對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來說，有序思維和抽象思維是匕匕較困難的，對(duì)于問

題，二年級(jí)的學(xué)生更多的愿意以湊數(shù)來嘗試解答問題。

而枚舉法的問題需要的就是孩子的有序思維，比如華數(shù)課本上冊(cè)幾枚硬幣湊錢的方

法，下冊(cè)的整數(shù)拆分都屬于枚舉法的問題。這類問題不僅要求孩子要有序，同時(shí)直

觀性不強(qiáng)，對(duì)于孩子理解有一定困難。建議家長(zhǎng)可以比較抽象的問題形象化，比如

上面舉到的漢堡和汽水的例子就更加形象。

應(yīng)用題要接觸：二年級(jí)華教課本下冊(cè)中的后幾講已經(jīng)接觸到了應(yīng)用題部分，對(duì)于倍

數(shù)等概念也有學(xué)習(xí)，建議學(xué)有余力的孩子可以適當(dāng)接觸三年級(jí)中的部分問題，但是

難度不要像三年級(jí)華數(shù)課本中那樣大。

三年級(jí)奧數(shù)

三年級(jí)的奧數(shù)學(xué)習(xí)是小學(xué)奧數(shù)最重要的基礎(chǔ)階段，只有牢固掌握了三年級(jí)奧數(shù)最基

本的知識(shí)技巧，才能有效的促進(jìn)今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終在競(jìng)賽、以及小升初中有所

斬獲。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

三年級(jí)屬于奧數(shù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)階段，孩子進(jìn)入三年級(jí)以后，隨著年齡的增長(zhǎng)，孩子的

計(jì)算能力，認(rèn)知能力，邏輯分析能力相比于一、二年級(jí)有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是

奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以能否把握住三年級(jí)這一黃金

時(shí)段，關(guān)系到以后小升初的成與敗。

下面就簡(jiǎn)要介紹一下三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。

1.運(yùn)用運(yùn)算定律及性質(zhì)速算與巧算

計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本知識(shí)，也是學(xué)好奧數(shù)的基礎(chǔ)。能否又快又準(zhǔn)的算出答案，是

歷年數(shù)學(xué)競(jìng)賽考察的一個(gè)基本點(diǎn)。在三年級(jí)，主要學(xué)習(xí)了加法與乘法運(yùn)算定律，其

中應(yīng)用乘法分配率是競(jìng)賽中考察巧算的一大重點(diǎn);除此之外，競(jìng)賽中還時(shí)常考察帶

符號(hào)“搬家"與添括號(hào)/去括號(hào)這兩種通過改變運(yùn)算順序進(jìn)而簡(jiǎn)便運(yùn)算的思路。例如：

17x5+17x7+13x5+13x7

問題解析：由于四個(gè)加項(xiàng)沒有公共的乘數(shù)，不能直接應(yīng)用乘法分配率?？梢钥紤]先

分組應(yīng)用乘法分配率，在觀察的思路，原式=(17x5+17x7)+(13x5+13x7)

=17x(5+7)+13x(5+7)=17x12+13x12=(17+13)x12=30x12

2,學(xué)習(xí)假設(shè)思想解決雞兔同籠問題

雞兔同籠問題源于我國(guó)1500年前左右的偉大數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中記載的

31題，"今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”翻譯成

現(xiàn)代文就是說有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，

有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

問題解析：我們知道每只雞2只腳，每只兔子4只腳，我們不妨假設(shè)籠子里面只有

雞，那么應(yīng)該有只腳，而事實(shí)上有94只腳，原因就是我們把一部分兔子假設(shè)成了

雞。

我們知道，每只兔子比雞多2只腳，那么一共應(yīng)該有只兔子，剩下了35-12=23只

雞。

對(duì)于一般的雞兔同籠問題，我們有雞數(shù)=(兔的腳數(shù)總頭數(shù)-總腳數(shù))(兔的腳數(shù)-

雞的腳數(shù))

兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞的腳數(shù)總頭數(shù))(兔的腳數(shù)-雞的腳數(shù))

3.平均數(shù)應(yīng)用題

"平均數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念在同學(xué)們的日常學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常用到。例如，三年級(jí)上

學(xué)期期末考完試，可以計(jì)算全班同學(xué)的數(shù)學(xué)"平均成績(jī)"，同學(xué)與爸爸媽媽三個(gè)人

的“平均年齡"等等，都是我們經(jīng)常碰?」的求平均數(shù)的問題。

根據(jù)我們所舉的例子，可以總結(jié)出求平均數(shù)的一般公式：總數(shù)和+人數(shù)（或個(gè)數(shù)）=

平均數(shù)。比如說人大附小三年級(jí)（一）班第2小組5名同學(xué)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)成績(jī)分

別是93,95,98,97,90,那么第2小組5名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均分是多少呢？

問題解析：根據(jù)我們總結(jié)的公式，首先可以求出第2小組5名同學(xué)數(shù)學(xué)的總分一共

是93+95+98+97+92=475,所以他們的平均分是475+5=95（分）。

4.和差倍應(yīng)用題

和差倍問題是由和差問題、和倍問題、差倍問題三類問題組成的。

和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，一般

可應(yīng)用公式：數(shù)量和一對(duì)應(yīng)的倍數(shù)和="1"倍量；

差倍問題就是已知大小兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題，一

般可應(yīng)用公式：數(shù)量差+對(duì)應(yīng)的倍數(shù)差="1"倍量；

和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題一般可應(yīng)用

公式：大數(shù)=（數(shù)量和+數(shù)量差）+2，小數(shù)=（數(shù)量和-數(shù)量差）-2。

為了幫助我們理解題意，弄清題目中兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法

以線段的相對(duì)長(zhǎng)度來表示兩種量間的關(guān)系，以便于找到解題的途徑。

5.年齡問題

基本的年齡問題可以說是和差倍問題生活化的典型應(yīng)用。同時(shí)，年齡問題也有其鮮

明的特點(diǎn)：任何兩個(gè)人之間的年齡差保持不變。解決年齡問題，關(guān)鍵就是要抓住以

上兩點(diǎn)。例如：哥哥兩年后的年齡是弟弟年齡的2倍，今年哥哥比弟弟大5歲，那

么今年弟弟多少歲？

問題解析：由于兩人之間的年齡差不變，在2年之后哥哥仍然比弟弟大5歲，那時(shí)

哥哥是弟弟年齡的2倍，這就變成了一道差倍問題，也就是說弟弟的年齡在2年后

是5+（2-1）=5（歲），所以今年弟弟5-2=3（歲）。

四年級(jí)集數(shù)

四年級(jí)是一個(gè)承前啟后的階段，學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度和廣度有所增加，各種競(jìng)賽任務(wù)和

招生考試的成績(jī)重要性大大增加。

不論自己的孩子是剛剛開始學(xué)習(xí)奧數(shù)，還是已經(jīng)著手為競(jìng)賽、升學(xué)做準(zhǔn)備，如何更

好的完成四年級(jí)的學(xué)習(xí)計(jì)劃，如何做好四年級(jí)和五年級(jí)的過渡，如何規(guī)劃小升初之

前的這兩年時(shí)間是每個(gè)家長(zhǎng)都要面對(duì)的問題。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

1、計(jì)算：計(jì)算是貫穿整個(gè)小學(xué)階段的重點(diǎn)，每個(gè)年級(jí)奧數(shù)的學(xué)習(xí)都以計(jì)算為基礎(chǔ)，

較好的計(jì)算能力是學(xué)好其它章節(jié)，取得優(yōu)異成績(jī)的保證。

每個(gè)年級(jí)的計(jì)算有每個(gè)年級(jí)的特點(diǎn)，四年級(jí)的計(jì)算以加入了小數(shù)的計(jì)算為主，對(duì)于

奧數(shù)撤出扎實(shí)的同學(xué)并且希望在五年級(jí)取得一些成績(jī)的同學(xué)還應(yīng)該加入一些分?jǐn)?shù)的

計(jì)算。

四年級(jí)計(jì)算應(yīng)該掌握的重點(diǎn)題型有多位數(shù)的計(jì)算，小數(shù)的基本運(yùn)算，小數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)

算等。其中，多位數(shù)的計(jì)算主要以通過縮放講多位數(shù)湊成各位數(shù)全是9的多位數(shù)，

再利用乘法的分配率進(jìn)行計(jì)算。小數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算主要與等差數(shù)列求和、乘法的分配

率和結(jié)合率、換元法等結(jié)合在一起，需要同學(xué)們對(duì)各種題型熟練的掌握，尤其是多

位數(shù)的計(jì)算。

最后，小數(shù)計(jì)算的重點(diǎn)還是最基礎(chǔ)的小數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，在初學(xué)小數(shù)時(shí)由于

小數(shù)點(diǎn)的原因計(jì)算經(jīng)常出錯(cuò)，如果計(jì)算不準(zhǔn)確，再好的方法和技巧都無從談起。

所以，四年級(jí)學(xué)習(xí)計(jì)算的重點(diǎn)在于以基礎(chǔ)計(jì)算為主，掌握各種簡(jiǎn)便運(yùn)算技巧，提高

準(zhǔn)確度和速度。

2、平均數(shù)問題：在學(xué)習(xí)平均數(shù)問題的時(shí)候一定要先對(duì)平均數(shù)的概念有很好的理解。

我們?cè)谑谡n過程中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)同學(xué)在解平均數(shù)問題時(shí)經(jīng)常犯一個(gè)錯(cuò)，尤其是

在行程問題中的一道題，錯(cuò)誤率最高。

小明從學(xué)校到家速度為12,從家到學(xué)校速度為24，問往返的平均速度是多少？很

多同學(xué)答案都是18,誤以為平均數(shù)度就是速度的平均，這是不對(duì)的。

在學(xué)習(xí)平均數(shù)問題的時(shí)候還要會(huì)利用基準(zhǔn)數(shù)處理一大串?dāng)?shù)據(jù)的求和問題和求平均數(shù)

的問題。很多復(fù)雜的平均數(shù)問題都是可以利用濃度三角的方法來解決的，尤其是思

維導(dǎo)引中后面的一些復(fù)雜的平均數(shù)問題，同學(xué)們應(yīng)該嘗試用濃度三角的方法來解決

平均數(shù)問題。

平均數(shù)問題的學(xué)習(xí)對(duì)以后濃度問題的學(xué)習(xí)很有好處，因?yàn)榇蟛糠制骄鶈栴}的題型和

濃度問題的題型從本質(zhì)上來講是相同的。

3、行程問題：四年級(jí)行程問題要掌握以下各類的問題：相遇問題、追及問題、火車

相遇問題、流水行船問題、多次相遇問題等。

首先，我們要對(duì)基本的相遇問題和追及問題有非常深刻的了解，在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常

有同學(xué)到六年級(jí)了對(duì)于追及問題中兩個(gè)人所走的時(shí)間是否相等還經(jīng)常容易出錯(cuò)。

其次，我們要熟悉并掌握火車相遇問題和流水行船問題這兩個(gè)行程問題中最基本的

專題，對(duì)我們后面復(fù)雜行程問題的學(xué)習(xí)起到非常大的幫助。

最后，要掌握行程問題中解決復(fù)雜問題常用的技巧，劃線段的習(xí)慣，并養(yǎng)成良好、

簡(jiǎn)潔的解題習(xí)慣。

畫線段圖的方法是解決很多復(fù)雜行程問題常用的方法，很多同學(xué)在畫線段圖的時(shí)候

不夠簡(jiǎn)潔，常常畫出的線段圖中多余的線段和條件太多，導(dǎo)致畫出的線段圖比題目

本身還復(fù)雜，無法分析求解。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)該盡量模仿老師，養(yǎng)成良好的解題

習(xí)慣。

4、排列組合：排列組合是對(duì)上學(xué)期所學(xué)的加法原理和乘法原理兩講的一個(gè)升華。在

加法原理和乘法原理中大家對(duì)分步和分類有了一定程度的理解和掌握，排列組合在

此鄲出上提供了更專業(yè)更有效解決計(jì)數(shù)問題的方法。

在排列組合中首先要對(duì)排列組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算、排列與組合的區(qū)

別等有很好的理解，尤其是排列和組合的區(qū)分上，需要對(duì)一些經(jīng)典例題的掌握從而

來理解排列和組合的區(qū)別。

同時(shí)，很多問題好需要結(jié)合分類分步方法和排列組合的原理來解題，并不是單純的

排解組合公式的應(yīng)用。對(duì)于一些基礎(chǔ)不好的同學(xué)，一定要在熟練掌握加法原理和乘

法原理之后再來學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)。對(duì)于一些排列組合常見的題型和常用的方法

要做到信手拈來。

5、幾何計(jì)數(shù)與周期性問題：幾何計(jì)數(shù)和周期性問題相對(duì)于行程和排列組合來說是兩

個(gè)較小的專題，但是也是各大競(jìng)賽和入學(xué)考試常見題型，尤其是很多綜合題同時(shí)包

含數(shù)論和周期性問題的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是競(jìng)賽和備考的重中之重。

幾何級(jí)數(shù)的掌握要從線段、角、三角形、長(zhǎng)方形開始，學(xué)會(huì)用簡(jiǎn)單的方法來解決復(fù)

雜計(jì)數(shù)問題的步驟。而周期性問題常和等差數(shù)列、數(shù)論結(jié)合在一起，同學(xué)在做題題

時(shí)經(jīng)常容易出錯(cuò)，需要在這方面的加大做題量。

五年級(jí)契數(shù)

五年級(jí)下學(xué)期是小升初前的最后一個(gè)學(xué)期，對(duì)于整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起著至關(guān)

重要的作用，只有這一關(guān)過好了，才可能在小升初的備考中游刃有余。所以這學(xué)期

的奧數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)該有更強(qiáng)的針對(duì)性，針對(duì)自己的實(shí)際情況和目標(biāo)選擇合適的班型。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

五年級(jí)屬于小學(xué)高年級(jí)，孩子進(jìn)入五年級(jí)以后，隨著年齡的增長(zhǎng)，孩子的計(jì)算能力，

認(rèn)知能力，邏輯分析能力都比以前有很大的提高，這個(gè)時(shí)期是奧數(shù)思維形成的關(guān)鍵

時(shí)期，是學(xué)奧數(shù)的黃金時(shí)段，所以是否把握住五年級(jí)這個(gè)黃金時(shí)段，關(guān)系到以后小

升初的成與敗。

那么在整個(gè)五年級(jí)階段都有哪些重點(diǎn)知識(shí)呢？為了孩子更好的把握五年級(jí)的學(xué)習(xí)重

點(diǎn)，下面就介紹一下五年級(jí)的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。

1.迸入數(shù)學(xué)寶庫(kù)的分析方法一遞推方法：任何事物的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，奧

數(shù)也是一樣，對(duì)于復(fù)雜問題，我們不妨先從最簡(jiǎn)單的情況入手，通過處理簡(jiǎn)單的問

題，我們可以從中得到規(guī)律或者訣竅，從而來解決復(fù)雜的問題，這就是遞推方法。

比如說：平面上2008條直線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？同學(xué)們第一眼看到這個(gè)問題時(shí)，肯

定會(huì)想畫2008條直線相交然后再數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，那該是多麻煩?。∑鋵?shí)我們可以先

來解決簡(jiǎn)單點(diǎn)的情況，分別找到1條、2條、3條、4條……這些直線有多少個(gè)交點(diǎn)。

1條直線最多有0個(gè)交點(diǎn)

2條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)

3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)

4條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)

5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)

6條直線最多有15個(gè)交點(diǎn)

所以2008條直線有1+2+3+4+5+...+2007=2015028個(gè)交點(diǎn)。

那么聰明的你，你能算出2008條直線最多可以把圓分成幾部分么？

2.變化無窮.形跡不定的行程問題：提到行程問題，同學(xué)們可能就感到頭疼，的確

不錯(cuò)，因?yàn)樾谐虇栴}中各個(gè)物體的速度、時(shí)間、路程都在變化，而且各個(gè)物體都是

在運(yùn)動(dòng)中，位置是隨著時(shí)間在變化，所以分析起來就很麻煩。

為了更好的解決這個(gè)問題，我們把行程問題進(jìn)行了細(xì)分：基本行程（單個(gè)物體）、

平均速度、相遇、追及、流水行船、火車過橋、火車錯(cuò)車、鐘表問題、環(huán)形線路上

行程。

只要我們掌握這些每個(gè)小類型中的訣竅，形成一種分析思路，復(fù)雜的行程問題無非

是這些類型的變形而已，解決起來就容易多了。

3.抽象而又雜亂的數(shù)論問題：數(shù)論是從五年級(jí)的核心知識(shí)，無論是在哪本教材里，

都用了很多的章節(jié)來講解數(shù)論。

要想解決復(fù)雜的數(shù)論問題，我們首先得掌握數(shù)論的基本知識(shí)：數(shù)的奇偶性、約數(shù)（現(xiàn)

在叫因數(shù)八倍數(shù)、公約數(shù)及最大公約數(shù)、公倍數(shù)及最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、分

解質(zhì)因數(shù)、整除.余數(shù)及同余等。

這些基本知識(shí)點(diǎn)里又有些非常有代表性的例題，只要能掌握好這些知識(shí)點(diǎn)，然后做

一定量的數(shù)論綜合習(xí)題，碰到難的數(shù)論問題我們就容易解決了。

4.有趣的抽屜原理：生活中有很多有趣的事情，比如說：把4個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜

里，無論你怎么放，總有某個(gè)抽屜里至少有2個(gè)蘋果，這就是抽屜原理。

對(duì)于抽屜原理我們只要找到蘋果的個(gè)數(shù)a與抽屜的個(gè)數(shù)b,我們就可以得到下面的結(jié)

論：

若a+b=r......

當(dāng)q=0時(shí)，我們就說總有某個(gè)抽屜里至少有r個(gè)蘋果；

當(dāng)qO時(shí)，我們就說總有某個(gè)抽屜里至少有（r+1）個(gè)蘋果。

比如說把32個(gè)蘋果放進(jìn)8個(gè)抽屜里，因?yàn)?2+8=4,無論怎么放，總有某個(gè)抽屜

里有4個(gè)蘋果。如果把35個(gè)蘋果放進(jìn)8個(gè)抽屜里，因?yàn)?5+8=4……3,無論怎么

放，總有某個(gè)抽屜里有4+1=5個(gè)蘋果。

但是大部分的奧數(shù)題是沒有告訴我們抽屜的個(gè)數(shù)的，那樣我們就得自己構(gòu)造抽屜，

從而找出抽屜的個(gè)數(shù)。

5.圖形面積計(jì)算：求圖形的面積也是奧數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于這類題我們首先要掌

握好各種基本圖形的面積計(jì)算公式，然后記住一些重要的結(jié)論：比如說三角形的等

積變形、直角三角形中30度所對(duì)的邊是斜邊的一半、勾股定理、梯形中蝴蝶翅膀

原理、相似三角形中邊與面積的關(guān)系。

在計(jì)算面積時(shí)的方法有：直接計(jì)算法、割補(bǔ)法、方程法等。在圖形面積計(jì)算中，難

題往往得添加輔助線，這個(gè)就是難點(diǎn)所在，因?yàn)樘砑虞o助線非常靈活，這就要我們

多做些這方面的題，多積累一些添加輔助線的技巧，做到心中有數(shù)。

六年級(jí)奧數(shù)

現(xiàn)在正是小升初特別關(guān)鍵的一個(gè)時(shí)期，無論從信息還是自身的學(xué)習(xí)方面都要做好充

分的準(zhǔn)備。

下面主要說說當(dāng)機(jī)會(huì)擺在面前的時(shí)候我們應(yīng)該怎樣去把握住它，首先要明確一點(diǎn)，

小升初并不是我們的最終目標(biāo)，而只是為了孩子今后的學(xué)習(xí)打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)。

所以我們一定要重視孩子學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，舉個(gè)很簡(jiǎn)單的例子：很多同學(xué)做題的時(shí)

候?qū)忣}不認(rèn)真，經(jīng)常把會(huì)做的題目做錯(cuò)，即使是最厲害的學(xué)生，如果把題目看錯(cuò)了，

那也是不可能把題目做對(duì)的。

這一點(diǎn)特別特別的重要，無論是小升初還是今后的中考高考，因?yàn)楝F(xiàn)在的衡量標(biāo)準(zhǔn)

其實(shí)并不是比誰更"聰明"，而是比誰更認(rèn)真，學(xué)習(xí)更扎實(shí)。

從最近的一些學(xué)校的考試我們就可以看出一個(gè)趨勢(shì)，就是題量大，時(shí)間段，對(duì)于單

位時(shí)間內(nèi)的做題效率有很高的要求，這個(gè)效率體現(xiàn)在兩個(gè)方面，就是速度和正確率。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：

1、分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)問題，比和比例：

這是六年級(jí)的重點(diǎn)內(nèi)容，在歷年各個(gè)學(xué)校測(cè)試中所占比例非常高，重點(diǎn)應(yīng)該掌握好

以下內(nèi)容：

對(duì)單位1的正確理解，知道甲比乙多百分之幾和乙比甲少百分之幾的區(qū)別；

求單位1的正確方法，用具體的量去除以對(duì)應(yīng)的分率，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系是重點(diǎn)；

分?jǐn)?shù)比和整數(shù)比的轉(zhuǎn)化，了解正匕次口反比關(guān)系；

通過對(duì)"份數(shù)"的理解結(jié)合比例解決和倍（按比例分配）和差倍問題；

2、行程問題:

應(yīng)用題里最重要的內(nèi)容，因?yàn)榫C合考察了學(xué)生比例，方程的運(yùn)用以及分析復(fù)雜問題

的能力，所以常常作為壓軸題出現(xiàn)，重點(diǎn)應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：

路程速度時(shí)間三個(gè)量之間的比例關(guān)系，即當(dāng)路程一定時(shí)，速度與時(shí)間成反比；速度

一定時(shí)，路程與時(shí)間成正比；時(shí)間一定時(shí)，速度與路程成正比。特別需要強(qiáng)調(diào)的是

在很多題目中一定要先去找到這個(gè)“一定"的量；

當(dāng)三個(gè)量均不相等時(shí)，學(xué)會(huì)通過其中兩個(gè)量的比例關(guān)系求第三個(gè)量的比；

學(xué)會(huì)用比例的方法分析解決一般的行程問題;

有了以上基礎(chǔ)，進(jìn)一步加強(qiáng)多次相遇追及問題及火車過橋流水行船等特殊行程問題

的理解，重點(diǎn)是學(xué)會(huì)如何去分析一個(gè)復(fù)雜的題目，而不是一味的做題。

3、幾何問題：

幾何問題是各個(gè)學(xué)?？疾斓闹攸c(diǎn)內(nèi)容，分為平面幾何和立體幾何兩大塊，具體的平

面幾何里分為直線形問題和圓與扇形；立體幾何里分為表面積和體積兩大部分內(nèi)容。

學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：

等積變換及面積中比例的應(yīng)用；

與圓和扇形的周長(zhǎng)面積相關(guān)的幾何問題，處理不規(guī)則圖形問題的相關(guān)方法；

立體圖形面積：染色問題、切面問題、投影法、切挖問題；

立體圖形體積：簡(jiǎn)單體積求解、體積變換、浸泡問題。

4、數(shù)論問題:

?？純?nèi)容，而且可以應(yīng)用于策略問題，數(shù)字謎問題，計(jì)算問題等其他專題中，相當(dāng)

重要，應(yīng)重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：

掌握被特殊整數(shù)整除的性質(zhì)，如數(shù)字和能被9整除的整數(shù)一定是9的倍數(shù)等；

最好了解其中的道理，因?yàn)檫@個(gè)方法可以用在許多題目中，包括一些數(shù)字謎問題；

掌握約數(shù)倍數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用分解質(zhì)因數(shù)法，短除法，輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公

因數(shù)和最小公倍數(shù)；

學(xué)會(huì)求約數(shù)個(gè)數(shù)的方法，為了提高靈活運(yùn)用的能力，需了解這個(gè)方法的原理；

了解同余的概念，學(xué)會(huì)把余數(shù)問題轉(zhuǎn)化成整除問題，下面的這個(gè)性質(zhì)是非常有用的：

兩個(gè)數(shù)被第三個(gè)數(shù)去除，如果所得的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)的差就能被這個(gè)數(shù)整

除；

能夠解決求一個(gè)多位數(shù)除以一個(gè)較小的自然數(shù)所得的余數(shù)問題，例如求

1011121314...9899除以11的余數(shù)，以及求20082008除以13的余數(shù)這類問題。

5、計(jì)算問題：

計(jì)算問題通常在前幾個(gè)題目中出現(xiàn)概率較高，主要考察兩個(gè)方面，一個(gè)是基本的四

則運(yùn)算能力，同時(shí)，一些速算巧算及裂項(xiàng)換元等技巧也經(jīng)常成為考察的重點(diǎn)。我們

應(yīng)該重點(diǎn)掌握以下內(nèi)容：

計(jì)算基本功的訓(xùn)練；

利用乘法分配率進(jìn)行速算與巧算；

分小數(shù)互化及運(yùn)算，繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算；

估算與比較；

計(jì)算公式應(yīng)用。如等差數(shù)列求和，平方差公式等；

裂項(xiàng)，換元與通項(xiàng)公式。

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34個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)必考公式

1、和差倍問題：

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個(gè)數(shù)的和與差

幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)

幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)

公式適用范圍

已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

公式

①（和-差）+2=較小數(shù)

較小數(shù)+差=較大數(shù)

和-較小數(shù)=較大數(shù)

②（和+差）+2=較大數(shù)

較大數(shù)-差=較小數(shù)

和-較大數(shù)=較小數(shù)

和X倍數(shù)+1）=小數(shù)

小數(shù)x倍數(shù)=大數(shù)

和-小數(shù)=大數(shù)

差X倍數(shù)-1）=小數(shù)

小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

關(guān)鍵問題

求出同一條件下的

和與差

和與倍數(shù)

差與倍數(shù)

2、年齡問題的三個(gè)基本特征：

①兩個(gè)人的年齡差是不變的；

②兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；

③兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3、歸一問題的基本特點(diǎn)：

問題中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)"單一量"，題目一般用"照這樣的速度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：

根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量;

4、植樹問題：

基本類型

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

封閉曲線上植樹

基本公式

棵數(shù)=段數(shù)+1

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)

棵數(shù)=段數(shù)-1

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)

棵數(shù)=段數(shù)

棵距X段數(shù)=總長(zhǎng)

關(guān)鍵問題

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

5、雞兔同籠問題：

基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題'假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；

③每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；

④再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)x總頭數(shù)-總腳數(shù)）一（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)x總頭數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問題:

基本概念：

一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分

組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思路：

先將兩種分配方案進(jìn)行I:匕較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總

份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）一兩次每份數(shù)的差

基本特點(diǎn)：

對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：

確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。

7、牛吃草問題:

基本思路：

假設(shè)每頭牛吃草的速度為"1"份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種

差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量。

基本特點(diǎn)：

原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；

關(guān)鍵問題：

確定兩個(gè)不變的量。

基本公式：

生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）一（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；

總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；

&周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律:

周期現(xiàn)象：

事物在運(yùn)動(dòng)變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：

我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。

關(guān)鍵問題:

確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除;

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9、平均數(shù)：

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進(jìn)行計(jì)算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)

為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均

數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體.

例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：

?=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，

也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。

抽屜原則二：

如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m,那么必有一個(gè)抽屜至少有：

④k=[n/m]+1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。

◎k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。

理解知識(shí)點(diǎn)：

[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問題：

構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。

11、定義新運(yùn)算：

基本概念：

定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。

基本思路：

嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)

律進(jìn)行運(yùn)算。

關(guān)鍵問題：

正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義.

注意事項(xiàng)：

①新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。

②每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。

12.數(shù)列求和：

等差數(shù)列:

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：

首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用al表示；

項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；

通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：

等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：al,an,d,n,sn,,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四

個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。

基本公式：

通項(xiàng)公式：an=al+(n-1)d;

通項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)一l)x公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)xn+2;

數(shù)列和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))x項(xiàng)數(shù)+2;

項(xiàng)數(shù)公式：n=(an+al)+d+1;

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+1;

公差公式:d=(an-al))+(n-1);

公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）一（項(xiàng)數(shù)-1）；

關(guān)鍵問題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13、二進(jìn)制及其應(yīng)用：

十進(jìn)制：

用0~9十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位

上的2表示200,所以234=200+30+4=2x102+3x10+4。

=Anx10n-l+An-1xl0n-2+An-2xl0n-3+An-3xl0n-4+An-4xl0n-5+An-6xl0n-7++A3

xl02+A2xl01+Alxl00

注意：N0=1;N1=N（其中N是任意自然數(shù)）

二進(jìn)制：

用0~1兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

（2）-Anx2n-l+An-1x2n-2+An-2x2n-3+An-3x2n-4+An-4x2n-5+An-6x2n-7

+......+A3x22+A2x21+Alx20

注意：不是就是

An010

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而

上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一

直找到差為0,按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。

14、加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)：

加法原理：

如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方

法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：ml+m2.......+mn種不同的

方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的分類方法。

基本特征：

每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：

如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有ml種方法，不管第1步用哪一種方法，第2

步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：

mixm2.......xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的完成步驟。

基本特征：

每一步只能完成任務(wù)的一部分。

直線：

一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。

直線特點(diǎn)：

沒有端點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。

線段：

直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。

線段特點(diǎn)：

有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。

射線：

把直線的一端無限延長(zhǎng)。

射線特點(diǎn):

只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長(zhǎng)度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+...+（點(diǎn)數(shù)-1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+...+（射線數(shù)一1）；

③數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：

④數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=lxl+2x2+3x3+...+行數(shù)x歹！j數(shù)

15、質(zhì)數(shù)與合數(shù):

質(zhì)數(shù)：

一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。

合數(shù)：

一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：

如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù).

分解質(zhì)因數(shù)：

把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分

解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式:

N=，其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且al<a2<a3V......<an0<span="">

求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：

P=(rl+l)x(r2+l)x(r3+l)x......x(rn+l)

互質(zhì)數(shù)：

如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16、約數(shù)與倍數(shù)：

約數(shù)和倍數(shù)：

若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù).

公約數(shù)：

幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù).

2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。

3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m.

例如:12的約數(shù)有L2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

L分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48......;

18的倍數(shù)有：18、36、54、72......;

那么12和18的公倍數(shù)有:36、72、108……;

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

17、數(shù)的整除：

基本概念和符號(hào)：

L整除：如果一個(gè)整數(shù)a,除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被

整除或能整除,記作

bbab|a0

2、常用符號(hào):整除符號(hào)T,不能整除符號(hào)""；因?yàn)榉?hào)所以的符號(hào)

整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后T立數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后T立數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除,那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用：

基本概念：

對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q......r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做

a除以b的不完全商.<span="">

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19、余數(shù)、同余與周期：

同余的定義：

①若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對(duì)于模m同余。

②已知三個(gè)整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對(duì)于模m同余，記作amb(modm),讀作a同

余于b模m。

同余的性質(zhì)：

①自身性:aHa(modm);

②對(duì)稱性：若a=b(modm),則bma(modm);

③傳遞性：若a=b(modm),bmc(modm),則a=c(modm);

④和差性:若a=b(modm),c=d(modm),則a+c=b+d(modm),a-c=b-d(modm);

⑤相乘性:若a=b(modm),c=d(modm),則axembxd(modm);

⑥乘方性：若a=b(modm),則an=bn(modm);

⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,則axe三bxc(modmxc);

關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí):

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個(gè)自然數(shù)M,n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3);

②一個(gè)自然數(shù)M,X表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M

=Y-X或M=ll-(X-Y)(mod11);

費(fèi)爾馬小定理：

如果P是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-lHl(modp)。

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位"1"平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù).

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位"1"平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。

②對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)

關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理

方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)

算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是

始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的

分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21、分?jǐn)?shù)大小的比較：

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行匕匕較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率

的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行匕匕較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)匕匕較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)h匕較。

22、分?jǐn)?shù)拆分:

將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：

23.完全平方數(shù):

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、L4、5、6、9;反之不成立。

2.除以3余0或余1;反之不成立。

3.除以4余0或余1;反之不成立。

4.約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：

X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：

(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

(X-Y)2=X2-2XY+Y2

24、比和比例：

比：

兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。

比值：

比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

比例：

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：

兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：

若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。

反比例：

若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。

比例尺：

圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：

把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25、綜合行程:

基本概念：

行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：

路程=速度X時(shí)間；路程+時(shí)間=速度；路程+速度=時(shí)間

關(guān)鍵問題：

確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式）

追及問題：追及時(shí)間=路程差:速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）乂順?biāo)畷r(shí)間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時(shí)間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度川罐-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意

兩個(gè)量，求第三個(gè)量。

26、工程問題：

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時(shí)間

②工作效率=工作總量+工作時(shí)間

③工作時(shí)間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為"1"（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)

基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.

關(guān)鍵問題：

確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理:

條件分析一假設(shè)法：

假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)

情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛

盾，那么a一定是奇數(shù)。

條件分析一列表法：

當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條

件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，

運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。

條件分析一圖表法：

當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示"是，有"等

肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線

表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。

邏輯計(jì)算：

在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供

一