2024新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1講選擇題填空題的解法學(xué)案含解析

第1講選擇題、填空題的解法方法思路概述高考選擇題、填空題留意多個學(xué)問點(diǎn)的小型綜合,滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法,體現(xiàn)利用基礎(chǔ)學(xué)問深度考基礎(chǔ)、考實(shí)力的導(dǎo)向;使作為中低檔題的選擇題、填空題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型.因此能否在選擇題、填空題上獲得高分,對高考數(shù)學(xué)成果影響重大.解答選擇題、填空題的基本策略是精確、快速.(1)解題策略:小題巧解,不需“小題大做”,在精確、快速、合理、簡潔的原則下,充分利用題設(shè)和選擇支這兩方面供應(yīng)的信息作出推斷.先定性后定量,先特別后一般,先間接后干脆,多種思路選最簡.對于選擇題可先解除后求解,既熟識通法又結(jié)合選項(xiàng)支中的示意及學(xué)問實(shí)力,運(yùn)用特例法、篩選法、圖解法等技巧求解.(2)解決方法:主要分干脆法和間接法兩大類,詳細(xì)方法為干脆法,特值、特例法,篩選法,數(shù)形結(jié)合法,等價(jià)轉(zhuǎn)化法,構(gòu)造法,代入法等.解法分類指導(dǎo)方法一干脆法

干脆法,就是干脆從題設(shè)的條件動身,運(yùn)用有關(guān)的概念、性質(zhì)、公理、定理、法則和公式等,通過嚴(yán)密的推理和精確的計(jì)算,然后比照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相應(yīng)的選擇.多用于涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡潔的定性題目.【例1】(1)(2024山東泰安一模,2)已知復(fù)數(shù)2-aii=1-bi,其中a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則|a+biA.-1+2i B.1 C.5 D.5(2)(多選)(2024山東濟(jì)寧模擬,11)已知函數(shù)f(x)=cos2x-π3-2sinx+π4cosxA.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)的最大值為1C.函數(shù)f(x)在-πD.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π12個單位長度,得到的函數(shù)解析式為g(x)=sin2【對點(diǎn)訓(xùn)練1】(1)(2024福建福州模擬,理6)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1,a6為函數(shù)f(x)=x2-9x+14的兩個零點(diǎn),則a3a4=()A.-14 B.9 C.14 D.20(2)(2024浙江,17)已知平面單位向量e1,e2滿意|2e1-e2|≤2,設(shè)a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夾角為θ,則cos2θ的最小值是.

方法二特值、特例法

特值、特例法是在題設(shè)普遍條件都成立的狀況下,用特別值(取得越簡潔越好)進(jìn)行探求,從而清楚、快捷地得到正確的答案,即通過對特別狀況的探討來推斷一般規(guī)律,從而“小題小做”或“小題巧做”.當(dāng)題目已知條件中含有某些不確定的量時,可將題目中改變的不定量選取一些符合條件的特別值(或特別函數(shù),特別角,特別數(shù)列,特別圖形,圖形特別位置,特別點(diǎn),特別方程,特別模型等)進(jìn)行處理,從而得出探求的結(jié)論.這樣可大大地簡化推理、論證的過程.【例2】(1)(2024山東?？季?8)若a>b>c>1,且ac<b2,則()A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logacC.logcb>logab>logca D.logba>logcb>logac(2)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個三等分點(diǎn),BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE【對點(diǎn)訓(xùn)練2】(1)(2024浙江高考壓軸卷,8)已知a,b∈R,且a>b,則()A.1a<1b B.C.13a<13b(2)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)A,B,C是曲線y=1x-1上三個不同的點(diǎn),且D,E,F分別為BC,CA,AB的中點(diǎn),則過D,E,F三點(diǎn)的圓確定經(jīng)過定點(diǎn)方法三等價(jià)轉(zhuǎn)化法

在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化法解決問題時,沒有一個統(tǒng)一的模式去進(jìn)行.可以在數(shù)與數(shù)、形與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換;也可以在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.但都須要保持命題的真假不變.等價(jià)轉(zhuǎn)化法的轉(zhuǎn)化原則是將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟識的問題,將困難的問題轉(zhuǎn)化為簡潔的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的問題,比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式,從分式到整式.【例3】(1)函數(shù)f(x)=log2xA.a<0 B.0<a<1C.12<a<1 D.a≤0或a>(2)已知f(x)與函數(shù)y=-asinx關(guān)于點(diǎn)12,0對稱,g(x)與函數(shù)y=ex關(guān)于直線y=x對稱,若對隨意x1∈(0,1],存在x2∈π2,2,使g(x1)-x1≤f(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-∞,1sin1 B.1sin1,+∞C.-∞,1cos1 D.1cos1,+∞【對點(diǎn)訓(xùn)練3】(1)在四面體P-ABC中,△ABC為等邊三角形,邊長為3,PA=3,PB=4,PC=5,則四面體P-ABC的體積為()A.3 B.23 C.11 D.10(2)(2024福建福州模擬,16)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx-1,g(x)=x327,用max{m,n}表示m,n中的最大值,設(shè)φ(x)=max{f(x),g(x)}.若φ(x)≥x3在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為方法四數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合就是依據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其數(shù)量關(guān)系,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形奇妙地結(jié)合起來,并充分地利用這種結(jié)合,探求解決問題的思路,使問題得以解決的思索方法.每個幾何圖形中蘊(yùn)含著確定的數(shù)量關(guān)系,而數(shù)量關(guān)系經(jīng)常又通過圖形的直觀性作出反映和描述,數(shù)與形之間可以相互轉(zhuǎn)化,將問題化難為易,化抽象為詳細(xì).數(shù)形結(jié)合的思想方法通過借數(shù)解形、以形助數(shù),能使某些較困難的數(shù)學(xué)問題迎刃而解.【例4】(1)(2024山東?？季?6)已知點(diǎn)A為曲線y=x+4x(x>0)上的動點(diǎn),B為圓(x-2)2+y2=1上的動點(diǎn),則|AB|的最小值是(A.3 B.4 C.32 D.42(2)(2024山東,5)某中學(xué)的學(xué)生主動參與體育熬煉,其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳,60%的學(xué)生喜愛足球,82%的學(xué)生喜愛游泳,則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%(2)(2024山東,5)某中學(xué)的學(xué)生主動參與體育熬煉,其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳,60%的學(xué)生喜愛足球,82%的學(xué)生喜愛游泳,則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%【對點(diǎn)訓(xùn)練4】(1)已知函數(shù)f(x)=-x2+6x,x<4,2x-1,x≥4,若存在實(shí)數(shù)a,b,c,滿意f(a)=fA.(24,36) B.(48,54)C.(24,27) D.(48,+∞)(2)(多選)(2024山東濟(jì)南一模,12)已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)|sinx-cosx|,下列說法正確的是()A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)在區(qū)間-πC.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,則x1+x2=kπ2(k∈D.函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上有且僅有1個零點(diǎn)方法五構(gòu)造法

利用已知條件和結(jié)論的特別性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型,從而簡化推理與計(jì)算過程,使較困難的數(shù)學(xué)問題得到簡捷的解決.構(gòu)造法是建立在視察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的,從曾經(jīng)遇到過的類似問題中找尋靈感,構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型,使問題得到快速解決.【例5】(1)(2024全國Ⅱ,理11)若2x-2y<3-x-3-y,則()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0(2)(2024山東煙臺模擬,16)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿意f'(x)>f(x),則不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集為.

【對點(diǎn)訓(xùn)練5】(1)(2024天津和平區(qū)一模,7)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對隨意兩個正數(shù)x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2,記a=25f(0.22),b=f(1),A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b(2)(2024浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,對于隨意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,則()A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0方法六解除法(針對選擇題)

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真,舍棄不符合題目要求的選項(xiàng),找到符合題意的正確結(jié)論.解除法(又叫篩選法)就是通過視察分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)供應(yīng)的信息或通過特例,對于錯誤的選項(xiàng)逐一剔除,從而獲得正確的結(jié)論.【例6】(1)(2024全國Ⅱ,文5)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是()A.a+2b B.2a+bC.a-2b D.2a-b(2)(2024浙江高考壓軸卷,7)函數(shù)f(x)=ex+1x【對點(diǎn)訓(xùn)練6】(1)(多選)(2024山東聯(lián)考,9)在下列函數(shù)中,最小值是2的是()A.y=x+1B.y=2x+2-xC.y=sinx+1sinx,xD.y=x2-2x+3(2)(2024浙江,4)函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[-π,π]上的圖象可能是()方法七估算法

選擇題供應(yīng)了正確的選擇支,解答又無需過程.因此,有些題目,不必進(jìn)行精確的計(jì)算,只需對其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì),便能作出正確的推斷,這就是估算法.估算法往往可以削減運(yùn)算量,但是加強(qiáng)了思維的層次.【例7】(2024全國Ⅰ,文4,理4)古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是5-125-12≈0.618,稱為黃金分割比例,聞名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是5-1A.165cm B.175cmC.185cm D.190cm【對點(diǎn)訓(xùn)練7】已知正數(shù)x,y滿意2x+y<4,則y+1x+1A.1B.1C.-∞,13∪D.-∞,13∪專題方法歸納1.解選擇題、填空題的基本方法比較多,但大部分選擇題、填空題的解法是干脆法,在解題時要依據(jù)題意敏捷運(yùn)用上述一種或幾種方法“巧解”,在“小題小做”“小題巧做”上做文章,切忌盲目地采納干脆法.2.由于選擇題供選選項(xiàng)多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強(qiáng),稍不留神就會誤入“陷阱”,應(yīng)當(dāng)從正反兩個方向確定、否定、篩選、驗(yàn)證,既謹(jǐn)慎選擇,又大膽跳動.3.解填空題不要求求解過程,從而結(jié)論是推斷正確的唯一標(biāo)準(zhǔn),因此解填空題時要留意以下幾個方面:(1)要仔細(xì)審題,明確要求,思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密,計(jì)算要精確;(2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論;(3)要重視對所求結(jié)果的檢驗(yàn).4.作為平常訓(xùn)練,解完一道題后,還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進(jìn)行“巧算”,并留意剛好總結(jié),這樣才能有效地提高解題實(shí)力.第1講選擇題、填空題的解法解法分類指導(dǎo)【例1】(1)D(2)BD解析(1)由2-aii=1-bi,得2-ai=i(1-bi)=b+i,∴a=-1,b=2,則a+bi=-1+2i,∴|a+bi|=|-1+2i(2)由題得,f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2當(dāng)x∈-π4,π4時,2x-π6將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π12個單位長度,得到的函數(shù)解析式為g(x)=fx+π12=對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)D(2)2829解析(1)令f(x)=0,則方程x2-9x+14=0,解得方程的兩個根為2,7∵等差數(shù)列{an}中,a1,a6為函數(shù)f(x)=x2-9x+14的兩個零點(diǎn),∴a1=2,a6=7,或a1=7,a6=2,當(dāng)a1=2,a6=7時,d=a6-a16-1=1,則a3=4,a4=當(dāng)a1=7,a6=2時,d=a6-a16-1=-1,則a3=5,a4=4,所以a3(2)|2e1-e2|≤2?(2e1-e2)2≤2,解得e所以34≤e1·e2≤1.cosθ=4+4e設(shè)e1·e2=x,則34≤xcos2θ=16(x+1)2(2+2x【例2】(1)B(2)78解析(1)因?yàn)閍>b>c>1,且ac<b2,令a=16,b=8,c=2,則logca=4>1>logablogcb=3>logba=43,故D錯,B正確(2)所求的問題是個定值問題,“在△ABC中”和在特別△ABC中所求的值相等,所以將所給條件“在△ABC中”特別化為“在等邊△ABC中”.如下圖,BA·CA=(x,3y)·(-x,3y)=-x2+9y2=4;BF·CF=(x,y)·(-x,y)=-x2+y2=-1;解得x2=138,y2=58.則BE·CE=(x,2y)(-x,2y對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)C(2)(1,0)解析(1)對于A,取a=1,b=-1,則a>b成立,但1a對于B,取a=π,b=0,則a>b成立,但sinπ=sin0,故B錯誤;對于C,因y=13x在R上單調(diào)遞減,若a>b,則對于D,取a=1,b=-2,則a>b成立,但a2<b2,故D錯誤.(2)曲線y=1x-1的對稱中心為(1,0),設(shè)過對稱中心的直線與曲線交于A,B兩點(diǎn),則A,B的中點(diǎn)為對稱中心(1,0),所以過D,E,F三點(diǎn)的圓【例3】(1)A(2)C解析(1)當(dāng)x>0時,函數(shù)f(x)過點(diǎn)(1,0),又函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn),可推出,當(dāng)x≤0時,函數(shù)y=-2x+a沒有零點(diǎn),即在(-∞,0]內(nèi),函數(shù)y=2x與直線y=a無公共點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合,可得a≤0或a>1.又因{a|a<0}?{a|a≤0或a>1},故選A.(2)依題意得f(x)=asin(1-x),g(x)=lnx,設(shè)h(x)=g(x)-x=lnx-x,x∈(0,1],∵h(yuǎn)'(x)=1x-∴h(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,∴h(x)max=h(1)=ln1-1=-1.故原題等價(jià)于存在x∈π2,2,使得asin(1-x)≥-1,∵sin(1-x)≤0,∴a≤1sin(x-1).故只需a≤1sin(x-1)max.而對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)C(2)43,+∞解析(1)如圖,延長CA至D,使得AD=3,連接因?yàn)锳D=AB=3,故△ADB為等腰三角形.又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=12(180°-120°)=30°,所以∠ADB+∠DCB=90°,即∠DBC=90°,故CB⊥DB.因?yàn)镻B=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB因?yàn)镈B∩PB=B,DB?平面PBD,PB?平面PBD,所以CB⊥平面PBD.所以V三棱錐P-CBD=V三棱錐C-PBD=13×CB×S△PBD.因?yàn)锳為DC的中點(diǎn),所以V三棱錐P-ABC=12V三棱錐P-CBD=16×3×S△PBD=12S△PBD.因?yàn)镈A=AC=AP=3,故△PDC為直角三角形,所以PD=CD2-PC2=36-25=11.又DB=3AD=33,而PB=4,故DB2=PD2+PB2,即△PBD(2)當(dāng)x∈(0,3)時,g(x)=x327<x3,當(dāng)x∈[3,+∞)時,g(所以φ(x)≥x3在[3,+問題轉(zhuǎn)化為φ(x)≥x3在(0,3)恒成立,由ax-lnx-1≥x3恒成立,可得a≥設(shè)h(x)=lnx+1x+則h'(x)=1x當(dāng)0<x<1時,h'(x)>0,當(dāng)1<x<3時,h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減,所以h(x)max=h(1)=43,所以a≥43,故實(shí)數(shù)【例4】(1)A(2)C解析(1)作出對勾函數(shù)y=x+4x(x>0)的圖象如圖,由圖象知函數(shù)的最低點(diǎn)坐標(biāo)為A(2,4),圓心坐標(biāo)為C(2,0),半徑R=1,則由圖象知當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時,|AB|最小,此時最小值為4-1=3,故選A(2)設(shè)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由維恩圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)B(2)AC解析(1)畫出f(x)=-x2∵a<b<c,∴由二次函數(shù)的性質(zhì)可得a+b=6.由圖可知,4<c<log29+1,∴f(4)<f(c)<f(log29+1),f(4)=8,f(log29+1)=2(log∴8<f(c)<9,48<6f(c)<54,即(a+b)f(c)的取值范圍是(48,54),故選B.(2)由題得,f(x)=(sinx+cosx)|sinx-cosx|=co=cos2圖象如圖所示,由圖可知,f(x)是周期為2π的周期函數(shù),故A正確;f(x)在區(qū)間-π若|f(x1)|+|f(x2)|=2,則x1+x2=kπ2(k∈函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上有且僅有2個零點(diǎn),故D錯誤.故選AC.【例5】(1)A(2)(1,+∞)解析(1)∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y.∵f(t)=2t-3-t在R上為增函數(shù),且f(x)<f(y),∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1,∴l(xiāng)n(y-x+1)>ln1=0.故選A.(2)設(shè)F(x)=f(x)ex,則F'(x)=f'(x)-f(x)ex.∵f'(x)>f∵ex-1f(x)<f(2x-1),∴f(x)ex<f(∴x<2x-1,即x>1,∴不等式ex-1f(x)<f(2x-1)的解集為(1,+∞).對點(diǎn)訓(xùn)練5(1)C(2)C解析(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x,則函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∵0.22<1<log35,則f(0.22)>f(1)>f(log35)=-f(log135),∵a=25f(0.22),b=f(1),c=-log5∴25f(0.22)>f(1)>-log53×f(log135),∴(2)當(dāng)a<0時,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需滿意(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此時2a+b<b,由二次函數(shù)的圖象可知,只有b<0時,滿意(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不滿意條件;當(dāng)b<0時,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需滿意(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此時兩根分別為x=a和x=2a+b,①當(dāng)a+b>0時,此時0<a<2a+b