第八章-RLC電路與常微分方程的解法-鄭大昉

第八章RLC電路與常微分方程的解法

RC電路及一階常微分方程解法(8-1)如圖，當(dāng)電路放電時(shí)有:或：其中:(8-2)稱RC回路的時(shí)間常數(shù).易得其嚴(yán)格解:(8-3)以上為一階常微分方程初值問題,如何做數(shù)值計(jì)算?

RC

電路歐拉方法(8-4)上述方程的一般形式:基本思路:用差分代替其微分,并通過遞推法求解.(8-5)(8-4)

改寫為:另:(8-6)即:(8-7)(8-5),(8-7)

得:(8-8)(8-9)令:則得遞推解:(8-10)本例子中:若給定初始條件:(8-11)即:(8-12)則依(8-10)

可遞推出任意時(shí)刻的解.常數(shù):步長(zhǎng):(8-13)例如,設(shè):則易遞推得:可見,其誤差隨n

的增加而增加.另一方面,結(jié)果精度將隨的減少而提高.但的減少將增加機(jī)時(shí),且有可能導(dǎo)入舍入誤差.歐拉解法的幾何意義:(1)實(shí)質(zhì)為折線法(即差分法).(2).間折線斜率:近似為:歐拉解法的誤差分析:將在處展成泰勒級(jí)數(shù):(8-14)僅取到的線性項(xiàng),且則:即為歐拉法.歐拉法的局部截?cái)嗾`差為:其整體截?cái)嗾`差為:向后的歐拉方法若折線斜率選在處,即:(8-15)或但其右端隱含待求的,可近似為:(8-16)其中,通過歐拉法預(yù)測(cè),即:(8-17)(8-18)此方法稱向后的歐拉法.但向后的歐拉法并未給出其誤差的改進(jìn)(?).改進(jìn)的歐拉方法若折線斜率選其在和處的平均值,即:(8-19)其中:可以證明(略),此方法的局部截?cái)嗾`差數(shù)量級(jí)為:(8-20)(事實(shí)上,歐拉法與向后的歐拉法其誤差符號(hào)相反,因此相互抵消,從而提高其結(jié)果精度).以上方法稱改進(jìn)的歐拉法,也稱兩點(diǎn)歐拉法,或中點(diǎn)歐拉法,或梯形法.如何實(shí)現(xiàn)其數(shù)值計(jì)算?提醒:(8-20)

中的是改進(jìn)后的值.龍格-庫(kù)塔(R-K)方法若選多點(diǎn)處的斜率并加權(quán)平均,則稱龍格-庫(kù)塔方法.(8-21)常用的四階R-K遞推算法如下:其中(推導(dǎo)從略):(8-22)(8-23)(8-24)(8-25)此方法其局部截?cái)嗾`差精度可提高至:以上算法的實(shí)現(xiàn)是簡(jiǎn)而易行的(如何實(shí)現(xiàn)?).

RLC電路及二階常微分方程解法如圖,開關(guān)合上的瞬間：(8-26)即：(8-29)

RLC

電路(8-27)又：(8-28)得：(8-29)即為二階常微分方程,它由兩個(gè)一階的方程(8-27)和(8-28)構(gòu)成.注意:(8-29)

的解對(duì)其參數(shù)的依賴十分敏感.即解的形式依賴于阻尼度：(8-30)若：其解如圖示:稱過阻尼;若：稱臨界阻尼;若：稱阻尼振蕩;因此對(duì)其數(shù)值計(jì)算的要求也更高.歐拉方法(8-31)上述方程的一般形式:對(duì)上述RLC充電電路:(8-32)(8-33)其歐拉算法?(8-34)事實(shí)上,其差分思想仍可直接應(yīng)用,即因此,給定,便可遞推算出任意時(shí)刻的.(8-35)(8-36)其中:(8-37)類似地,向后的歐拉方法為:

,由歐拉法預(yù)測(cè)出.(8-38)(8-39)其中:向后的歐拉方法(8-40)進(jìn)一步地,改進(jìn)的歐拉方法為:(8-41)(8-42)其中:改進(jìn)的歐拉方法以及:(8-43)(8-44)(8-45)此時(shí),四階R-K方法為:(8-46)其中:龍格-庫(kù)塔(R-K)方法(8-47)以及:(8-48)(8-49)(8-50)(8-51)(8-52)(8-53)注意:RLC電路中,(8-54)(8-55)本章(第8