量子力學(xué)課后習(xí)題答案1

第一章緒論

1.1.由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：入T=b,b=2.9x10-3woC

mo

證明：由普朗克黑體輻射公式：

8兀/iv31

pdv-一dv,

Vhv

C3ekT—1

Cc

及V)dv五編得

8716c1

p=____________

1左e券」

he雪=0,得大.所滿足的超越方程為

令x=----'再由

XkT隊(duì)

xex

5=~———

ex-1

he

用圖解法求得x=4.97,即得LTF=4.97,將數(shù)據(jù)代入求得入T=b,&=2.9xlO-3moC

AKIm

m

1.2.在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求deBroglie波長(zhǎng).

解：X=h_=h?7OQy1O-iom=7OQA

pj2mE

#

3

1.3.氫原子的動(dòng)能為石=一",求T=1K時(shí)氮原子的deBroglie波長(zhǎng)。

hh2h0

解：'=_=^_=_==?12.63xlO-iom=12.63A

pyj2rnEy/3mkT

其中m=4.()03x1.66x10-27kg,k=1.38x10-23J-K-i

#

1.4利用玻爾―索末菲量子化條件，求：

(1)一維諧振子的能量。

(2)在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子的軌道半徑。

已知外磁場(chǎng)B=10T,玻爾磁子日=0.923x10-23JT-i,求動(dòng)能的量子化間隔AE,并與T=4K及

B

7=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。

pi1

解：(1)方法1：諧振子的能量E=—+-^292

2g2

q2

可以化為_=1

(2

皿82)

___?2E

的平面運(yùn)動(dòng)，軌道為橢圓，兩半軸分別為a=、②瓦b=J-相空間面積為

\gO)2

2TTFF

kpdq=7iab==_=必〃=()12,…

COV

所以，能量E=n/?V,n=0,1,2,…

方法2：一維諧振子的運(yùn)動(dòng)方程為q'+s2q=0,其解為

q=/sin(a)t+(p)

速度為q，=Aa>coOatHp),動(dòng)量為p=皿=Ana)cos((ot+(p),則相積分為

42RO2T

T

（l+cosCot+（p））dt==nh,n=0,1,2,---

02o2

?12Li（O2nh

E=尸==nhv,n=0,1,2,???

2T

MV

(2)設(shè)磁場(chǎng)垂直于電子運(yùn)動(dòng)方向，受洛侖茲力作用作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由enB=上上，得R

ReB

再由量子化條件、pdq=布,n=1,2,3,…，以p,p=4?1=閨?2年=秋2分別表示廣義坐標(biāo)和相應(yīng)的

<P

廣義動(dòng)量，所以相積分為

』pd(pp=2兀卬?丫=2兀eBR?=〃力，n=1,2,...,由此得半徑為R=畫,n=1,2,…。

中0tp\QA

電子的動(dòng)能為E=,￡口昨=_1?2&2=叩B

221日J(rèn)2日eBB

動(dòng)能間隔為A9=5=9X10237

MD

熱運(yùn)動(dòng)能量(因是平面運(yùn)動(dòng),兩個(gè)自由度)為后=AT,所以當(dāng)T=4K時(shí)，E=4.52x10-23/；當(dāng)7=10K

時(shí)，￡,=1.38x10-21J

1.5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩個(gè)光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化，光子

波長(zhǎng)最大是多少？

]所以"卷即有

解：轉(zhuǎn)化條件為人C2,其中四為電子的靜止質(zhì)量，而V

ee

e

h16.626x10-34_

X=一=%024A

C9.1X103,x3xlOs°（電子的康普頓波長(zhǎng)）0

maxU,C

「e

第二章波函數(shù)和薛定謂方程

2.1.證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。

證：對(duì)于定態(tài)，可令

T(r,t)=v(m(t)

i方

1=*-￥*▽*)

2m

訪"Et--'Et--*Et-Et

-——IV(r)e?v(\|/(r)e力)**(r)e力V(1|/(r)e力)J

2m

i方

〔▽(『)▽￥*(亍)一▼*(fW(f)l

可見為t無(wú)關(guān)。

2.2由下列定態(tài)波函年計(jì)算幾率流密度：]

(1)<|/=___eikr(2紳-___e-ikr

1r2r

從所得結(jié)果說明w表示向外傳播的球面波，W表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

__12

解：/和九只有r分量

在球坐標(biāo)中V=I_5.+e+e_J____—

。加9rdeersirfi卸

,j力

(1)J=__(VV\j/*-\g*w)

12m?i11

訪r16/1、1d(Pi\\-

=[eikr(Q-ikr)—g-ikr\krr)1'r

2mrdrrrdrr0

ih111111_

=__L_(---//<_)--(-一+ik_)]r

2mrr2rrsro

hkf-hk_

=___----------r

Trrn°mn

L與『同向。表示向外傳播的球面波。

(2)]=*-\|/*V\|/)

22m222

S(1e-'kr)]r~

2mrdrrr於70

訪111111一

=_+z/c-z/c_)]r

2mrr2rrnr°

hk_tik一

___r___r

~mn°mn

可見，/與尸反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

2

補(bǔ)充：卻(x)=eikx，r粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化？

Jw*\!/dx=dx=8

0000

.?.波函數(shù)不能按』W(x)pdx=l方式歸一化。

其相對(duì)位置幾率癡函數(shù)為

s=WF=1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。

2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)

Ifoo,x<0

U(x)=,Q<x<a

<0

GO,x>a

中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

解：U(x)與t無(wú)關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S一方程

方2d2

-}~(x)+U(x)W(x)=EW)

2max2

在各區(qū)域的具體形式為

I：x<0-——v(x)+U(x)v(x)=E<|/(x)①

2mdx2?i?

II：0<X<(7(x)=￡\/(x)②

2mdx222

III：x>a-(x)+U(x)w(x)=E\\i(x)③

2mdx2333

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=8,要等式成立，必須

w(x)=0

V|Z1(x)=0

2

即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。

方程⑵可變?yōu)閐(x)+2mE(x)=o

dX2力22

力2

d-2⑶+/C2\|/(X)=0

dX22

其解為W(x)=i4sinkx+5coskx④

根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,1白連續(xù)性條件，得

V2(0)=V,(0)⑤

匕(。)=匕(。)⑥

⑤nB=0

⑥=Asinka=6

???/w0

.,.sinka=0

=>ka=nn(n=1,2,3,…)

nn

?w(x)=/sinx

?2

由歸一化條件

J*(x)|2rfx=1

fann

得_

sin2xdx=1

0a

「a.?！眓

由〕sin

b

A歷

=>/=1—

Vaa

X

*

s

1

n

X

5——

aa2m「

.7(x)=Esin竺x

2\aa

'：k2=------

力2

=E(n=1,2,3,…)可見E是量子化的。

n2ma2

對(duì)應(yīng)于E的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

n

萬(wàn).H71

乙sinvp-：爾0<x<a

Vn(X，t)=\"ZV，

0,x<a,x>a

1

2.4.證明（2.6-14）式中的歸一化常數(shù)是4=

.nn

Asin—（x+a）,|x|<a

證：Va

n

0,|x|2a

由歸一化，得〃兀

1=JM/dx=J^2Sin2一(x+Q)dx

8-ann。

=42J_[l-cos__(x+a)]dx

-a2Q

4、fnn

--Jflcos一(x+a)dx

2Ta

°Ar2anit

42Q----?---sin---(x+Q)

2〃兀a

=A^a

A,1

???歸一化常數(shù)4=y

、/Q

2.5求一維諧振衛(wèi)回激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。

W(x)=Ia?2axeta\"

解：得2

a

2

3(x)=W(x)I=4(X2._.X2C_a2x2

1121

2a3

二——?X2C-a2x2

而

d①(X)2a3—Cr

I=_=1-2負(fù)3%-3x2

dx欣

do(x)1

令1=0,得x=0x=±_x=±oo

dxa

由s(x)的表達(dá)式可知，X=0,X=±8時(shí)，w(x)=0o顯然不是最大幾率的位置。

d2co(x)2a3

而?二—[(2-6a2X2)-2a2X(2X-2a2x3)]e-?2x2

dx2際

a4

=—^[(1-5a2x2—2a4X4)]e-a2x2

際

d2(o(x)4a311工.是所求幾率最大的位置。

dx2la5①

2.6X=±2U(—x)=U(x),證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的

在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：

宇稱。

證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為

方2d2

--_____w(x)+U(x)甲(x)=E\|/(x)①

2日dx2

方2ch

將式中的X以(—x)代換，得一-------V1/(-x)+t/(-x)v(-x)=Fv(-x)②

2|idx2

方2d2

利用U(—x)=U(x),得---------W(-x)+U(x)w(-x)=Ev(-x)③

2|idx2

比較①、③式可知，W(-x)和W(x)都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫

的是同一個(gè)狀態(tài)，因此W(-x)和W(x)之間只能相差一個(gè)常數(shù)c。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演

(xg-x)而得其對(duì)方，由①經(jīng)X-—x反演，可得③，

n叭―x)=cy(x)④

由③再經(jīng)一xfx反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。

=V(x)=cv|/(-x)⑤

④乘⑤，得W(x)W(-x)=C2\|/(x)W(-x),可見，c2=1,所以c=±l

當(dāng)c=+l時(shí)，w(—x)=w(x),nw(x)具有偶宇稱，

當(dāng)c=—1時(shí)，叭―x)=—W(x),nw(x)具有奇宇稱，

當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U(-x)=U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。

2.7一粒子在一維勢(shì)阱中

眄。＞°，國(guó)＞。

U(x)=

I0，昨。

運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(。＜E＜Uj的能級(jí)所滿足的方程。

解：粒子所滿足的S*程為

力2d2

-kj—V(x)+U(x)v(x)=E\]f(x)

2gdx2

按勢(shì)能U(x)的形式分區(qū)域的具體形式為

力2d?

八一羽式A(X)+UX(X)=E、(X)-oo<x<a①

力2d2

II：-----------V(x)=￡V(x)-a<x<a②

2HdX2-22

III：一上W(x)+Uv(x)=Ew(x)

a<x<oo③

2HdX23033

整理后，得

,2|1(U-E)

I:V-n\\l-0④

?力2?

上

II：.V，2.%,=o⑤

2力22

E2WU-F)n

in：w一°=0⑥

"fee2

,2|1(U-E),2|i￡

令k2=J__x)____k2=..

I力22加

則

I：=0⑦

II：.-k押2=0⑧

HI：v'-k2\|/=0⑨

各方程的常為‘

甲=Ae-kx+Bekx

i11

<|/=Csinkx+Dcoskx

222

\\f=Ee+kx+Fe-kx

??

3

由波函數(shù)的有限性，有

W(-8)有限=>A=0

匕(8)有限=>F=0

因此

V=Be、，

1

V=Fe-?<x

3

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

V(-a)=V|/(-a),=>Be-Vl=-Csinka+Dcoska(10)

1222

V'(一a)'(一a),=>kBe-k?=kCeoska+kDsinka(11)

W(a)=w(a),=Csinka4-Dcoska=Fe-ka(12)

2322

V'(a)=\|/'(a),=>kCeoska-kDsinka=-kFe-k9(13)

2322221

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得

e-k.aB+sinkaC—coskaD+0=0

22

ke-kjiB-kcoskaC-ksinkaD+0=0

I2222

0+sinkaC+coskaD-e-kaF=0

22

04-kcoskaC-ksinkaD+ke-”F=0

22221

解此方程即可得出B、C、D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式,要方程組有非零解,必須

sinka-coska0

22

-kcoska-ksinka°

2222=0

sinkacoskae-k.a

22

kcoska-ksinkakBe-ka

22221

-kcoska-ksinka0

2222

0=e-R?sink2acosk2a-e-'a-

kcoska-ksinkake-k]a

2222

sinka-coska

22

—ke-kasinkacoska

I122

kcoska-ksinka

2222

=e-ka[-kke-kacos2ka+k2e-kasinkacoska+

122222

+kke-kasin2ka+k2e-kasinkacoska]一

i22222

一ke-k,[ke-kasinkacoska+ke-“cos2ka+

112222

+ke-kasinkacoska-ke-k：sin2ka]

12222

=e-2ka[-2kkcos2ka4-k2sin2ka-k2sin2ka]

1222212

=e-2ka[(k2-k2)sin2ka-2kkco2ka]

212122

?/e-2krw0

(k2一&2)sin2ka-2kkcos2ka=()

\212122

即(Z2-k2)tg2ka-2kk=0為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。

21212

方法二：接(13)式,,

KK

-Csinka+Dcoska=_2.Ccoska+_i_Dsinka

22k2k2

11

kk

Csinka+Dcoska=Ccoska+_JDsinka

22k2k2

-2-coska+sinAa-xsinka-coska

k22k22_0

a4-sinkasinka-coska)

2，

-(_LcosAa+sinRQ)(_isinMa-cos/ra)

22

k22k

一(二cos%a+sin左a)(^usinAra-coska)=0

k22k22

i/

(jeosAa+sinAa)(_usinRa-cosfc?)=0

2

k22k2

k21k1k

-isinkacosA:a+-isin2女a(chǎn)—_2_cos2ka-sinAracoska=d

k222k2k222

iii

女22k

(-1+—z-)sii124a——ZJCOS2ka=0

ki2k2

(-2-—2)siii2ka—2k=cos2ka=0

212122

另一解法：

(11)-(13)=242。sinA2a=A]。+F)

(10)+(12)=>2Dcosk2a=e-ka(B+F)

(ll)-(13)=>k

tgka=k(a)

(10)+(12)221

(11)+(13)=2k?Ccoska=-k(F—B)e-ina

(12)-(10)=>2Csink?a=(F-B)e-ika

(11)4-(13),….

-------------=kctgka=-k

(12)-(10)221(b)

令q=Ma,r[=ka9則

2刃(c)

或自ctg&=-r|(d)

2gUa2

匕2+r|2=(k2+k2)=(i(f)

12%2

合并(a)、(b)：

tglka=2kJc2利用tg2ka=2tgk2a

242-匕21-tg2ka

2

2-7一粒子在一維勢(shì)阱

U(x)=401

［。怦。

中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0<￡<U)的能級(jí)所滿足的方程。

解：(最簡(jiǎn)方法-平移坐標(biāo)軸法)

一如:+廳「嗎

(X<0)

][「知;="(0<X<2a)

方2

III：-—V'+UW=EW(%22。)

2|13033

2H(U-E)

-------o-------W=0

%'-力2Y1

_r2p.Ec

=>*w+-.-xu=0

2方22

2H(U-E)

V'-0W=0

3方23

fw'-k2W=0(1)k2=2R(U-E)/力2

1I110

7：+k",=0(2)k2=2|iE/^2束縛態(tài)OVEV%

V'-k2甲=o(3)

313

V]=Ae+A]X+Be-

V=CsinAx+￡>coskx

222

V3=￡e+Ar+Fe-kxx

叫-00)有限nB=0

V/8)有限=>E=0

因此

,中]=Aek,x

V=Fe-kx

it

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

V,(0)=v2(0)，nA=D(4)

V；(0)=V；(O),=>kA=kC(5)

V；(2a)=W；(2a),=與Ceos2k,a-kpsin2kq=-kFe-2k?(6)

V(2a)=V(2a),=>Csin2ka+Deos2ka=Fe-2k『，

232k2k

⑺代入(6)Csin2ka+Dcos2ka=一dCcos2ka+iDsin2ka

22&22

利用(4)、(5),得1'

2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為

—i/sin2kQ+/cos2ka=-Acos2ka+2Dsin2ka

U(x)=<，0<x<a,k222V

|U,a<x<b,kk1

A\(1-__i)sin2ka+2cos2ka]=0

[o,b<x,Kk22

求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。?“w0

解：勢(shì)能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解。

-(勺_勺)sin2kQ+2cos2ka=0

定態(tài)S-方程匏d2?“k2K22

-W(x)+U(x)\|/(x)=EW(x)

兩邊乘上(-kQ即得

2|idx2

對(duì)各區(qū)域的具體形式為(k2一k2)sin2ka-2kkcos2ka=0

212122

I：-W+U(x)w=E\\f(x<

2|i11

方2,,,

n：-—W+UW=皿(0<x<a)

2|12022

力2

Ill：-_y'-U\v=E\\i(a<x<b)

2|13133

fl2,

IV：-——W+0=￡\|/(b<x)

2(144

對(duì)于區(qū)域I,U(x)=8,粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故W|(x)=0

而，2日(U—E)小

而.V______a___jq/=0①

2方22

w,+2?+%

=0②

3023

+=0③

4加4

對(duì)于束縛態(tài)來(lái)說，有一U<E<0

2g(U-E)

甲'一人甲=0k2=_____()(4)

212

2N0+E)

W，+k2\|/=0ka=i⑤

333

3加

W'+k沖=0ki=一2四￡7九(§)

4444

各方程的解分別為

甲，=Ack+Be-\x

v|/=Csinkx+Dcoskx

322

W,=Ee+kyx+Fe-ky

由波函數(shù)的有限性，得w」8)有限，nE=0

4

w=Fe-4x

4

由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得

卜(0)=匕(0)

=>B=-A

:.w2=4(ek4-e—/)

甲2(。)=W、(㈤=>4四§-eq")=Csi吟Q+。co%Q⑦

V|/'(Q)=V'(a)=>Ak(e〃”+e-〃？)=C7ccoska-Dksinka⑧

WJb)=￥/勿nCsink^b+Dcosk^b=Fe⑨

W'S)=U(b)=>Cksinkb-Dkcoskb=-Fkekb⑩

34222233

由⑦、⑧，得*6Ka+e-?a=Ccoska-Dcos/^a(11)

keka_e-kaCsinka+Dcoska

21,22

由⑨、⑩得(kcoskb)C-(ksinkb)D=(-ksinkb)C—(kcoskb)D

k2222k3232

(__2_cosfcb+sinkb)C=(-^coskb+sinkb)D=0(12)

k22k22

33

令B=eka+e-ka勺，則①式變?yōu)?Ps>na-coska)C+(pcoska+sinka)D=0

eka一e-'ak2222

聯(lián)立(12)、(；3)得，要此方程組有非零解，必須

(—cosfcB+sinfc》)(-^25int6+coM)

k22k22=0

(B3sinfc?-cosfca)(P%)sfca+si血)

22L22

即(Pcoska+sinkrz)(_2.cosAb+sinkb)-(Psinka-cosfta)?

22A2222

r3

.(__Lsinkb+cosA：?)=0

k22

k3

P-2_cos^bcqska+_isinA：bsinka+。sin左力cosAa+

2222

k22k

3/k

+sinA〃sinAa+。^jsinA6sinAra-_Lsinkbcoska)-

224322K22

一PcosA:bsinka+cosAbcoska=0

22k22k

sink(b-a)(B-二)+cosfc()一a)(6」+1)=0

2k2k

葭3

tgkS-a)=(1+旦p),)

2k/k

3'3

把。代入即得

tgk(b-a)=(1+k2/(人_勺e*,〃+e-"，)

2keka-e-ka：kkeka—e-ka

3''3Z[t[

此即為所要求的束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。

#

附：從方程⑩之后也可以直接用行列式求解。見附頁(yè)。

(e勺a—C-ka)一sinAQ-cosAa0

x22

(ev+e-Ay)k-kcoskaksinka0

2222=0

0sinkbcoskb-e-kf

22

0kcoskb-ksinkbke-A中

22223

-kcoskak2sink2a0

0=（6叫?！猠-勺。）sinkbcosAb-e-勺?！?/p>

22

kcoskb一ksinkbk

2222

-sinka-cosA:a0

22

—k[(eq+e-Ap)=sinkbcoskb

22-fa

kcoskb一ksinkbk￡-ka

223

=(e^a—e-k1a)(—kke-與。coskacoskb-ksinka

232222

coskb-kke-A3asinkasinkb-kze-k3acosA：asinkb)

22322222

-k(eA/+e-A/)(Ake-*/sinkacosAb-ke-*^coska

1232222

coskb+ke-McosA:asinkb+ke-ysinAasinA:b))

2322222

=(ev-e-4a)[—kkcosk(b-a)+2sin(b-a)]e-

23222

一(e^a-e-kyHkksink(b-a)+kkcosk(b—a)]e-k3b

132122

=?？誟一(九+k)kcosk(b-a)+(k2kk)sink(b-a)]e-k.b

13222—132

e-kta[(kk)kcosk(b-a)+(k2+kk)sin(b-a)]e-^

1-3222132

=0

=>[-(k+k)k+(依kk)tgk(b_a)]e

1322—132

-[(/ck)k+(k2+kk)tgk(b-a)]e-k(i>=0

1—322132

[(fc2勺勺)。2勺+勺勺)]電勺出一")一(4+k)k*中

-(k-k)k=0

132

此即為所求方程。

第三章力學(xué)量的算符表示

甲()=產(chǎn)

3.1一維諧振子處在基態(tài)xe22,求:

1

⑴勢(shì)能的平均值守=-N32X2；

2

(2)動(dòng)能的平均值廠=蕓；

(3)動(dòng)量的幾乎分布函數(shù)。[&

解：⑴匕=以02方=wo?_Jxze~^x2dx

22、兀-oo

1a1/—111h

-c——

=2^2、,22(X2a=2^2202=4^82X8

=)那尸X2ne-ox2dx=135??…(2n-1)￡

402n+1anvQ

T21f8/\\」

(2)=W*(x)p2w(x)dx

2|i圻7

11

a18-a2x2d2_a2x2

——一JeT(一方2---)e2dx

J兀2|i_8dx2

a

=a2p(1一a2x2)e-3dx

標(biāo)2|LI_B

a力2cr

=--k012[J0°e-a2*2dx—a2J8X2e-a2*2dx]

62N—co-00

a加

而Jn

=___k-(X2[——]

產(chǎn)至a2a3

a