2018版 第3章 3．萬有引力定律的應(yīng)用

第頁3．萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知識脈絡(luò)1.掌握解決天體運動問題的基本思路．(重點)2．會靈活計算天體的質(zhì)量和密度．(重點)3．了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.

萬有引力定律對天文學(xué)的作用eq\x([先填空])1．預(yù)言彗星回歸1743年，克雷洛預(yù)言哈雷彗星于1759年4月份經(jīng)過近日點得到了證實，1986年此彗星又一次臨近地球，下一次來訪將是2062年．2．預(yù)言未知星體根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出未知星體的軌道，如海王星、冥王星就是這樣發(fā)現(xiàn)的．eq\x([再判斷])1．海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√)2．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道發(fā)現(xiàn)的．(×)3．科學(xué)家在觀測雙星系統(tǒng)時，同樣可以用萬有引力定律來分析．(√)eq\x([后思考])如何通過天文觀測計算月球繞地球轉(zhuǎn)動時的向心加速度呢？【提示】通過天文觀測我們可以獲得月球與地球之間的距離以及月球的公轉(zhuǎn)周期，所以我們可以利用an＝eq\f(4π2,T2)r計算月球繞地球運動時的向心加速度．eq\x([合作探討])1846年9月23日晚，德國的伽勒發(fā)現(xiàn)了海王星．探討：你知道海王星是如何發(fā)現(xiàn)的嗎？【提示】根據(jù)天王星的“出軌”現(xiàn)象，法國的勒維耶和英國的亞當(dāng)斯根據(jù)萬有引力定律經(jīng)過計算，預(yù)言了新行星的存在，伽勒在他們預(yù)言的位置發(fā)現(xiàn)了這顆新行星——海王星．eq\x([核心點擊])萬有引力定律對天文學(xué)的發(fā)展起到了非常大的推動作用，根據(jù)萬有引力定律可以計算天體的軌道、周期、質(zhì)量和位置等，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，給天文學(xué)的研究開辟了一條新的道路．1．下列說法正確的是()A．海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的D．天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星【解析】由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過觀測發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實際軌道與理論軌道存在偏差，然后運用萬有引力定律計算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星．由此可知，A、B、C錯誤，D正確．【答案】D2．科學(xué)家們推測，太陽系內(nèi)除八大行星之外還有另一顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定()A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B．這顆行星的半徑等于地球的半徑C．這顆行星的密度等于地球的密度D．這顆行星上同樣存在著生命【解析】因只知道這顆行星的軌道半徑，所以只能判斷出其公轉(zhuǎn)周期與地球的公轉(zhuǎn)周期相等．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知，行星的質(zhì)量在方程兩邊可以消去，因此無法知道其密度．【答案】A

計算天體質(zhì)量eq\x([先填空])1．地球質(zhì)量的計算選擇地球表面的物體為研究對象，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可計算出地球的質(zhì)量．2．太陽質(zhì)量的計算選擇某一行星為研究對象，質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即Geq\f(Msm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，由此可得太陽質(zhì)量Ms＝eq\f(4π2r3,GT2)，由此式可知只要測出行星繞太陽運動的公轉(zhuǎn)周期T和距離r就可以計算出太陽的質(zhì)量．eq\x([再判斷])1．地球表面的物體，重力就是物體所受的萬有引力．(×)2．繞行星勻速轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力．(√)3．利用地球繞太陽轉(zhuǎn)動，可求地球的質(zhì)量．(×)eq\x([后思考])若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質(zhì)量嗎？能否求出月球的質(zhì)量呢？圖3-3-1【提示】能求出地球的質(zhì)量．利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，求出的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)為中心天體的質(zhì)量．做圓周運動的月球的質(zhì)量m在等式中已消掉，所以根據(jù)月球的周期T、公轉(zhuǎn)半徑r，無法計算月球的質(zhì)量．eq\x([合作探討])1969年7月21日，美國宇航員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印(如圖3-3-2所示)，邁出了人類征服宇宙的一大步．圖3-3-2探討1：宇航員在月球上用彈簧秤測出質(zhì)量為m的物體重力為F.怎樣利用這個條件估測月球的質(zhì)量？【提示】設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，則F＝Geq\f(Mm,R2)，故M＝eq\f(FR2,Gm).探討2：宇航員駕駛指令艙繞月球表面飛行一周的時間為T，怎樣利用這個條件估測月球質(zhì)量？【提示】設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，由萬有引力提供向心力，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，M＝eq\f(4π2R3,GT2).eq\x([核心點擊])1．天體質(zhì)量的計算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天體(如地球)的半徑R和天體表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動思路物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝Geq\f(Mm,R2)行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當(dāng)向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝mω2r或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r結(jié)果天體(如地球)質(zhì)量：M＝eq\f(gR2,G)中心天體質(zhì)量：M＝eq\f(rv2,G)或M＝eq\f(r3ω2,G)或M＝eq\f(4π2r3,GT2)2.計算天體的密度若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特別地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).3．(多選)由下列哪一組物理量可以計算地球的質(zhì)量()【導(dǎo)學(xué)號：22852067】A．月球的軌道半徑和月球的公轉(zhuǎn)周期B．月球的半徑和月球的自轉(zhuǎn)周期C．衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星的周期D．衛(wèi)星離地面的高度、衛(wèi)星的周期和地球的半徑【解析】只要知道天體的一顆衛(wèi)星或行星的周期和軌道半徑，利用公式Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)就可以計算出中心天體的質(zhì)量，故選項A、D正確．【答案】AD4．若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運動，設(shè)其周期為T，引力常量為G，那么該行星的平均密度為()【導(dǎo)學(xué)號：22852068】A.eq\f(GT2,3π) B.eq\f(3π,GT2)C.eq\r(\f(GT2,4π)) D.eq\r(\f(4π,GT2))【解析】設(shè)飛船的質(zhì)量為m，它做圓周運動的半徑為行星半徑R，則Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，所以行星的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，B項正確．【答案】B5．火星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，火星與太陽間的引力提供火星運動的向心力，已知火星運行的軌道半徑為r，運行周期為T，引力常量為G，試寫出太陽質(zhì)量的表達(dá)式．【解析】設(shè)太陽質(zhì)量為M，火星的質(zhì)量為m火星與太陽間的引力提供向心力，則有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)