新高考數(shù)學一輪復習精講精練7.3 空間角（提升版）（原卷版）

7.3空間角（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一線線角【例1-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·新疆·三模（理））在正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為l，則l與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·四川內江·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點二線面角【例2-1】（2022·黑龍江）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.【例2-2】（2022·云南）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，點P在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則AP與平面ABCD所成角的正切值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2-3】．（2022·河南安陽）如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐的底面直徑，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，B為底面圓周上一點，且SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0上一動點，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·河南安陽）如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BD的中點，F(xiàn)為AC上一點.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面BDF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值.2．（2022·北京）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為線段SKIPIF1<0中點．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．考點三二面角【例3-1】（2022·云南師大附中）如圖，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點，G是SKIPIF1<0的重心，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點A到達點P的位置，點P在平面SKIPIF1<0的射影為點G．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【例3-2】（2022·青?！ず|市第一中學）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是棱上一點，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【一隅三反】1．（2022·天津·高考真題）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0的中點，E為SKIPIF1<0的中點，F(xiàn)為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．2．（2022·江西）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0上靠近A的三等分點．(1)若SKIPIF1<0，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．3．（2022·廣西玉林·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，D，E別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面ABC所成的角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大?。键c四空間角的綜合運用【例4】（2022·重慶南開中學）（多選）已知正四棱錐SKIPIF1<0的側面是邊長為6的正三角形，點M在棱PD上，且SKIPIF1<0，點Q在底面SKIPIF1<0及其邊界上運動，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．點Q的軌跡為線段B．SKIPIF1<0與CD所成角的范圍為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）（多選）已知正方體SKIPIF1<0的邊長為2，M為SKIPIF1<0的中點，P為側面SKIPIF1<0上的動點，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0 D．動點P的軌跡長為SKIPIF1<02．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點E為平面SKIPIF1<0內的動點，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點E的軌跡所圍成的面積為___________．7.3空間角（精練）（提升版）題組一題組一線線角1．（2023·全國·高三專題練習）已知直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長都相等，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習（理））已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））如圖，四邊形SKIPIF1<0為圓臺SKIPIF1<0的軸截面（通過圓臺上、下底面兩個圓心的截面，其形狀為等腰梯形），SKIPIF1<0，C、D分別為OB，SKIPIF1<0的中點，點E為底面圓弧AB的中點，則CD與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·浙江嘉興·模擬預測）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G，H分別為邊SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0分別沿直線SKIPIF1<0翻折形成四棱錐SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0 B．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0C．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0 D．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<05．（2023·全國·高三專題練習）如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，當二面角SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0過程中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題組二題組二線面角1．（2023·全國·高三專題練習（文））如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，P為AC的中點，則直線BP與AD所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南省杞縣）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·青海西寧·二模（理））如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點O?M分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小.5．（2022·浙江湖州·模擬預測）已知四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜邊為SKIPIF1<0的等腰直角三角形．(1)若SKIPIF1<0時，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0時，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．6．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0和棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．題組三題組三二面角1．（2022·北京·景山學校模擬預測）如圖，正三棱柱SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，M是AB的中點．(1)證明：SKIPIF1<0平面BEF；(2)若SKIPIF1<0，求平面BEF與平面ABC夾角的大?。?．（2022·湖南·雅禮中學二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點.(1)若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點時，求二面角SKIPIF1<0的正切值.3．（2022·浙江·海寧中學模擬預測）如圖所示，在四邊形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0現(xiàn)將SKIPIF1<0沿BD折起，使得點A到E的位置.(1)試在BC邊上確定一點F，使得SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面BCD，求二面角SKIPIF1<0所成角的正切值.4．（2022·廣東惠州·高三階段練習）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.5．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點，AB=4，SKIPIF1<0為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置，且平面SKIPIF1<0平面ABCE.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)試判斷在線段PB上是否存在點F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點F的位置；若不存在，請說明理由.6．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面ABCD是正方形．且平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，F(xiàn)為AB的中點，N為BC的中點，證明四邊形MENF為梯形；(2)若點E為PC的中點，試判斷在線段AB上是否存在一點F？使得二面角SKIPIF1<0平面角為SKIPIF1<0．若存在，求出SKIPIF1<0的值．若不存在，請說明理由．7．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習（理））如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點．(1)是否存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若存在求SKIPIF1<0的長．若不存在，請說明理由；(2)二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．題組四空間角的綜合運用題組四空間角的綜合運用1．（2022·浙江·樂清市知臨中學模擬預測）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為a，E是棱SKIPIF1<0的動點，則下列說法正確的（

）個．①若E為SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0②三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0③E為SKIPIF1<0的中點時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角正切值為SKIPIF1<0④過點SKIPIF1<0，C，E的截面的面積的范圍是SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·全國·高三專題練習（理））在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿對角線SKIPIF1<0將矩形折成一個大小為SKIPIF1<0的二面角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結論中正確結論的個數(shù)為（

）①四面體SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0②點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0③四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0④異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·北京·首都師范大學附屬中學三模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則下列選項正確的是（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交B．當SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的中點時，則點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影是點SKIPIF1<0C．存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值4．（2022·四川攀枝花·二模（文））如圖正方體SKIPIF1<0，中，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0的中心，則（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線 B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是相交直線C．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相垂直 D．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.5．（2022·江蘇·如皋市第一中學）（多選）在四邊形SKIPIF1<0中(如圖1)，SKIPIF1<0，將四邊形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折成四面體SKIPIF1<0（如圖2所示），使得SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G分別為SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0內一點，則（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0C．四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIP