新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練8.6 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（提升版）（解析版）

8.6分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精講）（提升版）考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一與數(shù)列綜合【例1】（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）（多選）已知紅箱內(nèi)有6個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、6個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，第SKIPIF1<0次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．記第SKIPIF1<0次取出的球是紅球的概率為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．第5次取出的球是紅球的概率為SKIPIF1<0 D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是SKIPIF1<0【答案】AC【解析】依題意SKIPIF1<0，設(shè)第SKIPIF1<0次取出球是紅球的概率為SKIPIF1<0，則白球概率為SKIPIF1<0，對于第SKIPIF1<0次，取出紅球有兩種情況．①從紅箱取出的概率為SKIPIF1<0，②從白箱取出的概率為SKIPIF1<0，對應(yīng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選項(xiàng)A，C正確；第1次取出球是紅球的概率為SKIPIF1<0，第2次取出球是紅球的概率為SKIPIF1<0，第3次取出球是紅球的概率為SKIPIF1<0，前3次取球恰有2次取到紅球的概率是SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤；故選：AC．【一隅三反】1．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）足球是一項(xiàng)大眾喜愛的運(yùn)動(dòng).2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男性和女性各100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，得到2SKIPIF1<02列聯(lián)表如下：喜愛足球運(yùn)動(dòng)不喜愛足球運(yùn)動(dòng)合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?(2)校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第SKIPIF1<0次觸球者是甲的概率記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（i）求SKIPIF1<0（直接寫出結(jié)果即可）；（ii）證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。敬鸢浮?1)喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)(2)（i）SKIPIF1<0；（ii）證明見解析，甲的概率大【解析】（1）假設(shè)SKIPIF1<0：喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別獨(dú)立，即喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得SKIPIF1<0根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷SKIPIF1<0不成立，即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001．（2）（i）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（ii）第SKIPIF1<0次觸球者是甲的概率記為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，第SKIPIF1<0次觸球者是甲的概率為SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0次觸球者不是甲的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故第19次觸球者是甲的概率大2．（2022·四川綿陽·三模（文））隨著科技進(jìn)步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：年份201620172018201920202021年份代碼x123456新能源乘用車年銷售y（萬輛）5078126121137352(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)若用SKIPIF1<0模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為SKIPIF1<0，經(jīng)計(jì)算該模型和第（1）問中模型的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71，請分別用這兩個(gè)模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值；(3)你認(rèn)為（2）中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？請說明理由．參考數(shù)據(jù)：設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01444.788415.70380528參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析(3)SKIPIF1<0越大，模型的擬合效果越好，用SKIPIF1<0模型得到的預(yù)測值更可靠【解析】(1)SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程為SKIPIF1<0.(2)若利用線性回歸模型,可得2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值為SKIPIF1<0（萬輛）若利用模型SKIPIF1<0,可得2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測值為SKIPIF1<0（萬輛）(3)SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0越大,反映殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,SKIPIF1<0用模型SKIPIF1<0得到的預(yù)測值更可靠.3．（2022·重慶·二模）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過SKIPIF1<0，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記SKIPIF1<0表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，SKIPIF1<0表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：SKIPIF1<012345SKIPIF1<023298604020求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程SKIPIF1<0，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；(3)證明：SKIPIF1<0．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0(2)回歸方程為SKIPIF1<0，預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為465(3)證明見解析【解析】(1)由題知，SKIPIF1<0的取值可能為1，2，3所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數(shù)學(xué)期望為SKIPIF1<0.(2)令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故所求的回歸方程為：SKIPIF1<0，所以，估計(jì)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；估計(jì)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；估計(jì)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為SKIPIF1<0.(3)由題知，在前SKIPIF1<0輪就成功的概率為SKIPIF1<0又因?yàn)樵谇癝KIPIF1<0輪沒有成功的概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.考點(diǎn)二與函數(shù)結(jié)合【例2】（2022·西南名校模擬）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質(zhì)量引進(jìn)了一條年產(chǎn)量為100萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質(zhì)量以某項(xiàng)指標(biāo)值k為衡量標(biāo)準(zhǔn)，為估算其經(jīng)濟(jì)效益，該廠先進(jìn)行了試生產(chǎn)，并從中隨機(jī)抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k，并分成以下5組，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：質(zhì)量指標(biāo)值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)163040104試?yán)迷摌颖镜念l率分布估計(jì)總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）（1）由頻率分布表可認(rèn)為，該產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k近似地服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s，并已求得SKIPIF1<0，記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取的10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值k在區(qū)間SKIPIF1<0之外的個(gè)數(shù)，求SKIPIF1<0及X的數(shù)學(xué)期望（精確到0.001）；（2）已知每個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值k與利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表所示SKIPIF1<0質(zhì)量指標(biāo)值kSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤ySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0tSKIPIF1<0假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】見解析【解析】（1）由題意知，樣本的平均數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以質(zhì)量指標(biāo)k在區(qū)間SKIPIF1<0之外的概率為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由題意知，每件產(chǎn)品的平均利潤為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知函數(shù)SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，且二次函數(shù)開口向下，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，且SKIPIF1<0因?yàn)樵撋a(chǎn)線的年產(chǎn)量為100萬個(gè)，所以該生產(chǎn)線的年盈利的最大值為SKIPIF1<0萬元，因?yàn)?45SKIPIF1<0500，所以該廠能在一年之內(nèi)通過銷售該產(chǎn)品收回投資.【一隅三反】1．（2021高三上·威海期末）體檢時(shí)，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬τ赟KIPIF1<0份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式:一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)SKIPIF1<0次.二是混合檢驗(yàn)，將SKIPIF1<0份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這SKIPIF1<0份血液全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了﹔如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這SKIPIF1<0份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗(yàn)，則SKIPIF1<0份血液檢驗(yàn)的次數(shù)共為SKIPIF1<0次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為SKIPIF1<0，而且各體檢人是否患該疾病相互獨(dú)立.（1）若SKIPIF1<0，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率;（2）某定點(diǎn)醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案:方案一:采用混合檢驗(yàn);方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗(yàn).若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”?請說明理由.【答案】見解析【解析】（1）解：該混合樣本陰性的概率是SKIPIF1<0，根據(jù)對立事件可得，陽性的概率為SKIPIF1<0（2）解：方案一:混在一起檢驗(yàn)，方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其分布列為:SKIPIF1<017SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，方案二:由題意分析可知，每組3份樣本混合檢驗(yàn)時(shí)，若陰性則檢測次數(shù)為1，概率為SKIPIF1<0，若陽性，則檢測次數(shù),4，概率為SKIPIF1<0，方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0;其分布列為:SKIPIF1<0258SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以方案一更“優(yōu)”當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以方案一、二一樣“優(yōu)”當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以方案二更“優(yōu)”.2．（2022·臨沂模擬）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價(jià)格x（元）394958677786購買數(shù)量y（萬人）16.718.720.622.524.125.6在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)SKIPIF1<0集中在一條直線附近，其中SKIPIF1<0附：①可能用到的數(shù)據(jù)；SKIPIF1<0．②對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為b（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；（2）按照文旅部門的指標(biāo)測定，當(dāng)購買數(shù)量y與套票價(jià)格x的比在區(qū)間SKIPIF1<0上時(shí)，該套票受消費(fèi)者的歡迎程度更高，可以被認(rèn)定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學(xué)從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游．記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．【答案】見解析【解析】（1）解：SKIPIF1<0散點(diǎn)SKIPIF1<0集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為ω=bv+a由v=1SKIPIF1<0變量SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的回歸方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上，y關(guān)于x的回歸方程為SKIPIF1<0（2）解：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0鄉(xiāng)村特色游，齊魯紅色游，登山套票，游園套票為“熱門套票”則三人中購買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03．（2022·湖北模擬）象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).馬在象棋中是至關(guān)重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標(biāo)系SKIPIF1<0，棋盤的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，馬每一步從SKIPIF1<0移動(dòng)到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（1）若棋盤的右上角為SKIPIF1<0，馬從SKIPIF1<0處出發(fā)，等概率地向各個(gè)能到達(dá)（不離開棋盤）的方向移動(dòng)，求其4步以內(nèi)到達(dá)右上角的概率.（2）若棋盤的右上角為SKIPIF1<0，馬從SKIPIF1<0處出發(fā)，每一步僅向SKIPIF1<0方向移動(dòng)，最終到達(dá)棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段SKIPIF1<0上次數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望.【答案】見解析【解析】（1）解：從SKIPIF1<0出發(fā)4步以內(nèi)到達(dá)SKIPIF1<0且不出棋盤的走法共有8種，其中SKIPIF1<0種為：另外4種與以上4種關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱.對于以上4種，記第SKIPIF1<0種路線的概率為SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此總概率為SKIPIF1<0.（2）解：設(shè)馬有SKIPIF1<0步從SKIPIF1<0走到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0步走到SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.即馬共走了SKIPIF1<0步，總路徑數(shù)為SKIPIF1<0路徑上經(jīng)過的點(diǎn)可能在線段上的有SKIPIF1<0，共5個(gè).因此SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以馬停留在線段SKIPIF1<0上次數(shù)SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<012345SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0.考點(diǎn)三與導(dǎo)數(shù)綜合【例3】（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為SKIPIF1<0，甲贏的概率為SKIPIF1<0，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比SKIPIF1<0分配獎(jiǎng)金.(1)若SKIPIF1<0，則乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率SKIPIF1<0，并判斷當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于SKIPIF1<0，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）【答案】(1)252（元）(2)事件A是小概率事件，理由見解析.【解析】（1）設(shè)游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去X局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然乙贏.由題知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，乙以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，乙以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，乙以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，乙以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，所以乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率為SKIPIF1<0，所以乙應(yīng)該得多少獎(jiǎng)金為SKIPIF1<0（元）.（2）設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然甲贏.由題知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，甲以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，故事件A是小概率事件.【一隅三反】1．（2022·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0隨機(jī)變量X的分布列如下：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（2）解：甲隊(duì)只勝一場的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；則SKIPIF1<02．（2022·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計(jì)局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)SKIPIF1<0為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴(kuò)張步伐有所加快.以新能源汽車?機(jī)器人?增材制造?醫(yī)療設(shè)備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機(jī)等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進(jìn)，則進(jìn)一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量差服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，并把質(zhì)量差在SKIPIF1<0內(nèi)的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質(zhì)量差在SKIPIF1<0內(nèi)的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的估計(jì)值，記質(zhì)量差SKIPIF1<0，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)（2）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把2件優(yōu)等品和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為SKIPIF1<0，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0；②設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】見解析【解析】（1）解：由題意，估計(jì)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件的平均數(shù)為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，樣本方差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則優(yōu)等品為質(zhì)量差在SKIPIF1<0內(nèi)，即SKIPIF1<0，一等品為質(zhì)量差在SKIPIF1<0內(nèi)，即SKIPIF1<0，所以正品為質(zhì)量差在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)，即SKIPIF1<0，所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）解：①從SKIPIF1<0件正品中任選兩個(gè)，有SKIPIF1<0種選法，其中等級(jí)相同有SKIPIF1<0種選法，∴某箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為：SKIPIF1<0.②由題意，一箱產(chǎn)品抽檢被記為B的概率為SKIPIF1<0，則5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0.此時(shí)SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時(shí)，5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為B的概率最大，最大值為SKIPIF1<0.3．（2022·佛山模擬）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比賽結(jié)束時(shí)，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整輪比賽下來，甲隊(duì)只勝一場的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【答案】見解析【解析】（1）解：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0隨機(jī)變量X的分布列如下：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（2）解：甲隊(duì)只勝一場的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；則SKIPIF1<0考點(diǎn)四與其他知識(shí)綜合運(yùn)用【例4】（2022·重慶模擬）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級(jí)，其中SKIPIF1<0為一級(jí)果，SKIPIF1<0為特級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中μ近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）這批采摘的臍橙按2個(gè)特級(jí)果和n（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）個(gè)一級(jí)果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級(jí)相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，及取最大值時(shí)n的值．【答案】見解析【解析】（1）解：由分布圖：SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0內(nèi)為優(yōu)品則SKIPIF1<0（2）解：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由對勾函數(shù)知識(shí)可知：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大值在SKIPIF1<0時(shí)取得，可求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·聯(lián)合模擬）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“SKIPIF1<0合1檢測法”，即將SKIPIF1<0個(gè)人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對本組的每個(gè)人再做檢測.現(xiàn)有SKIPIF1<0人，已知其中有2人感染病毒.（1）若SKIPIF1<0，并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；（2）設(shè)采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為SKIPIF1<0，采取“20合1檢測法”的總檢測次數(shù)為SKIPIF1<0，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當(dāng)SKIPIF1<0為多少時(shí)，采取“20合1檢測法”更適宜？請說明理由.【答案】見解析【解析】（1）解：對100個(gè)人采取“20合1檢測法”需平均分為5組，先檢測5次，因?yàn)楣矙z測25次，即2個(gè)感染者分在同一組；只需考慮其中某位感染者所在的小組，原題等價(jià)于：從99人中任選19人與他組成一組，求選到的19人中有另一位感染者的概率，此概率為SKIPIF1<0；（2）解：若2個(gè)感染者分在同一組，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若2個(gè)感染者分在不同小組，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，采取“20合1檢測法”更適宜.2．（2022·邵陽模擬）某跳繩訓(xùn)練隊(duì)需對隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的跳繩達(dá)標(biāo)測試.已知隊(duì)員的測試分?jǐn)?shù)y與跳繩個(gè)數(shù)x滿足如下關(guān)系SKIPIF1<0.測試規(guī)則：每位隊(duì)員最多進(jìn)行兩次測試，每次限時(shí)1分鐘，若第一次測完，測試成績達(dá)到60分及以上，則以此次測試成績作為該隊(duì)員的成績，無需再進(jìn)行后續(xù)的測試，最多進(jìn)行兩次，根據(jù)以往的訓(xùn)練效果，教練記錄了隊(duì)員甲在一分鐘內(nèi)時(shí)測試的成績，將數(shù)據(jù)按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成4組，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）計(jì)算a值，并根據(jù)直方圖計(jì)算隊(duì)員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）（2）將跳繩個(gè)數(shù)落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每次跳繩相互獨(dú)立，X表示隊(duì)員甲在達(dá)標(biāo)測試中的分?jǐn)?shù)，求X的分布列與期望.【答案】見解析【解析】（1）解：由題可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.隊(duì)員甲在1分鐘內(nèi)跳繩個(gè)數(shù)的平均值為SKIPIF1<0.（2）解：X可能的取值為0，50，80，100.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0X的分布列為X06080100P0.010.220.440.33SKIPIF1<03．（2021·洛陽模擬）一商場為了解某商品的銷售情況，對該商品30天的銷售量統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x（單位：件）分布在SKIPIF1<0內(nèi)，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）當(dāng)一天銷售量不小于700時(shí)，則稱該日為銷售旺日，其余為銷售不景氣日．將銷售天數(shù)按照銷售量屬于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成3組，在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果這3天來自X個(gè)組，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】見解析【解析】（1）解：因?yàn)槊刻斓匿N售量x（單位：件）分布在SKIPIF1<0內(nèi)，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（2）解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0，若在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天，則這8天中有2天的銷售量屬于SKIPIF1<0，有3天的銷售量屬于SKIPIF1<0，有3天的銷售量屬于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值為1，2，3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以隨機(jī)變量X的分布列為：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08.6分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精練）（提升版）題組一題組一與數(shù)列綜合1．（2022·重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃.已知某國際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是SKIPIF1<0，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是SKIPIF1<0，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是SKIPIF1<0.一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）證明：SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，并說明SKIPIF1<0的實(shí)際意義.【答案】見解析【解析】（1）解：SKIPIF1<0；（2）證明：由題得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)、SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；（3）解：由（2）知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0可以理解為第SKIPIF1<0次航班平均被熔斷的次數(shù)，∴SKIPIF1<0表示前SKIPIF1<0次航班一共被熔斷的次數(shù).2．（2021·高州模擬）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識(shí)＋基本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級(jí)學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得SKIPIF1<0分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，乙每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望；（2）若經(jīng)過SKIPIF1<0輪踢球，用SKIPIF1<0表示經(jīng)過第SKIPIF1<0輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②規(guī)定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，請根據(jù)①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【答案】見解析【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件SKIPIF1<0，乙命中為事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互獨(dú)立．由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲的得分SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，0，1．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∴X的分布列為：X-101PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）①由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得-1分．∴SKIPIF1<0，②∵規(guī)定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<03．（2022·廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到SKIPIF1<0），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到SKIPIF1<0），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求證：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值.【答案】見解析【解析】（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，∴SKIPIF1<0.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為SKIPIF1<0；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.（2）證明：棋子跳到第n（SKIPIF1<0）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第SKIPIF1<0站，又?jǐn)S出反面，其概率為SKIPIF1<0；②棋子先到第SKIPIF1<0站，又?jǐn)S出正面，其概率為SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.（3）解：由（2）知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.以上各式相加，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．（2022·太原二模）足球運(yùn)動(dòng)是深受人們喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，其中守門員撲點(diǎn)球和傳球是足球訓(xùn)練中的兩個(gè)重要訓(xùn)練項(xiàng)目．（1）假設(shè)發(fā)點(diǎn)球時(shí)，球員等可能地選擇左、中、右三個(gè)方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個(gè)方向撲點(diǎn)球，且守門員方向判斷正確時(shí)有SKIPIF1<0的可能將球撲出球門外．在一次點(diǎn)球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點(diǎn)球中，把球撲出球門外的個(gè)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）某次傳球訓(xùn)練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進(jìn)行傳接球訓(xùn)練，從甲開始傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進(jìn)行．假設(shè)每個(gè)球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為SKIPIF1<0．求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0．【答案】見解析【解析】（1）解：每個(gè)點(diǎn)球能被守門員撲出球門外的概率為SKIPIF1<0，由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列為：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（2）證明：由已知第SKIPIF1<0次傳球后球又回到甲腳下的概率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<05．（2022·湖北模擬）2022年2月SKIPIF1<0日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)SKIPIF1<0驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.（1）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有SKIPIF1<0的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次