新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)01 排列與組合（易錯(cuò)點(diǎn)+十大題型）（原卷版）

秘籍01排列與組合目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）【題型二】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空【題型三】人坐座位模型2：染色（平面、空間）【題型四】分配問(wèn)題：球不同，盒不同【題型五】分配問(wèn)題：球同，盒不同【題型六】書(shū)架插書(shū)模型【題型七】代替元法：最短路徑【題型八】代替元法：空車(chē)位停車(chē)等【題型九】環(huán)排問(wèn)題：直排策略【題型十】數(shù)列思想：上樓梯等概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)排列組合題型考察排列組合和二項(xiàng)式定理是高考熱點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)，有了多選題型后常和概率結(jié)合起來(lái)考察，所以需要考生對(duì)于排列組合的基礎(chǔ)題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當(dāng)然在掌握題型的基礎(chǔ)上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運(yùn)用好排列組合的解題思維。根據(jù)高考回歸課本的趨勢(shì)，排列數(shù)與組合數(shù)的運(yùn)算以及術(shù)與式的歸納理解要求要相繼變高，而這塊內(nèi)容也是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的固定題型容易被學(xué)生忽略的知識(shí)點(diǎn)，需要重視起來(lái)。易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理理解混亂兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理有兩類(lèi)不同方案?，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法N＝m＋n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟?，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝m×n種不同的方法(1)每類(lèi)方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事.(2)各類(lèi)方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的.(1)每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事.(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏.易錯(cuò)提醒：1.完成一件事可以有n類(lèi)不同方案，各類(lèi)方案相互獨(dú)立，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法……在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.2.完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.例設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（

）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法破解：若從東面上山，則上山走法有2種，下山走法有10種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有20種走法；若從西面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若從南面上山，則上山走法有3種，下山走法有9種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有27種走法；若從北面上山，則上山走法有4種，下山走法有8種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有32種走法；故選：ABD變式1：近年來(lái)，重慶以獨(dú)特的地形地貌、城市景觀和豐富的美食吸引著各地游客，成為“網(wǎng)紅城市”．遠(yuǎn)道而來(lái)的小明計(jì)劃用2天的時(shí)間游覽以下五個(gè)景點(diǎn)：解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、“輕軌穿樓”打卡點(diǎn)、磁器口，另外還要安排一次自由購(gòu)物，因此共計(jì)6項(xiàng)內(nèi)容．現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)段完成1項(xiàng)內(nèi)容，其中大劇院與洪崖洞的時(shí)段必須安排在同一天且相鄰，洪崖洞必須安排在晚上，“輕軌穿樓”必須安排在白天，其余項(xiàng)目沒(méi)有限制，那么共有種方案.變式2：從SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字中取出SKIPIF1<0個(gè)數(shù)字，試問(wèn)：(1)有多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的排列SKIPIF1<0(2)能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)SKIPIF1<0【題型一】排列數(shù)與組合數(shù)（押題型）1.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)公式SKIPIF1<0＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0性質(zhì)SKIPIF1<0＝n！，0！＝1SKIPIF1<0＝1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正確理解組合數(shù)的性質(zhì)(1)SKIPIF1<0：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個(gè)元素的方法數(shù).(2)SKIPIF1<0：從n＋1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有SKIPIF1<0種方法；②含特殊元素A有SKIPIF1<0種方法.【例1】組合數(shù)SKIPIF1<0恒等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】規(guī)定SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，m是正整數(shù)，且SKIPIF1<0，這是組合數(shù)SKIPIF1<0（n，m是正整數(shù)，且SKIPIF1<0）的一種推廣．(1)求SKIPIF1<0的值．(2)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0是否都能推廣到SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫(xiě)出推廣的形式并給出證明；若不能，則說(shuō)明理由；(3)已知組合數(shù)SKIPIF1<0是正整數(shù)，證明：當(dāng)SKIPIF1<0，m是正整數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0．【例3】（1）求SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)m，nSKIPIF1<0N*，n≥m，求證：（m+1）SKIPIF1<0+（m+2）SKIPIF1<0+（m+3）SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+nSKIPIF1<0+（n+1）SKIPIF1<0=（m+1）SKIPIF1<0.【變式1】（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·山東濟(jì)南·一模）（多選）下列等式中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】（2024·安徽合肥·一模）“SKIPIF1<0數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)SKIPIF1<0是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意SKIPIF1<0，定義“SKIPIF1<0數(shù)”SKIPIF1<0利用“SKIPIF1<0數(shù)”可定義“SKIPIF1<0階乘”SKIPIF1<0和“SKIPIF1<0組合數(shù)”，即對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)計(jì)算：SKIPIF1<0；(2)證明：對(duì)于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(3)證明：對(duì)于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【題型二】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空人坐座位模型：特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來(lái)坐，來(lái)的是誰(shuí)；5、必要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容斥原理來(lái)等價(jià)處理：容斥原理SKIPIF1<0SKIPIF1<0【例1】高二年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起的概率為：（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A．504種 B．960種 C．1008種 D．1108種【例3】在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場(chǎng)，且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．72【變式1】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…，這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，小李以前6項(xiàng)數(shù)字的某種排列作為他的銀行卡密碼，如果數(shù)字1與2不相鄰，則小李可以設(shè)置的不同的密碼個(gè)數(shù)為（

）A．144 B．120 C．108 D．96【變式2】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為SKIPIF1<0）排成一排拍照，若其中SKIPIF1<0三人互不相鄰，SKIPIF1<0兩人也不相鄰，而SKIPIF1<0兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為．（用數(shù)字作答）【變式3】“迎冬奧，跨新年，向未來(lái)”，水球中學(xué)將開(kāi)展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個(gè)項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個(gè)項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場(chǎng)選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個(gè)項(xiàng)目均有所展示，則共有種出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）【題型三】人坐座位模型2：染色（平面、空間）染色問(wèn)題：1.用了幾種顏色2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始?？臻g幾何體，可以“拍扁”，轉(zhuǎn)化為平面圖形【例1】如圖，圖案共分9個(gè)區(qū)域，有6中不同顏色的涂料可供涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相鄰區(qū)域的顏色不相同，則涂色方法有A．360種 B．720種 C．780種 D．840種【例2】某五面體木塊的直觀圖如圖所示，現(xiàn)準(zhǔn)備給其5個(gè)面涂色，每個(gè)面涂一種顏色，且相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．1080種 B．720種 C．660種 D．600種【例3】如圖，用5種不同的顏色給圖中的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<06個(gè)不同的點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂1種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種.【變式1】如圖，用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法用A．288種 B．264種 C．240種 D．168種【變式2】如圖，一圓形信號(hào)燈分成SKIPIF1<0四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號(hào)總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．42【變式3】如圖，圓被其內(nèi)接三角形分為4塊，現(xiàn)有5種顏色準(zhǔn)備用來(lái)涂這4塊，要求每塊涂一種顏色，且相鄰兩塊的顏色不同，則不同的涂色方法有

A．360種 B．320種 C．108種 D．96種【題型四】分配問(wèn)題：球不同，盒不同球不同，盒不同（主要的）方法技巧：盒子可空，指數(shù)冪形式，盒的球次冪，盒子不可空“先分組再排列”分類(lèi)討論注意平均分組時(shí)需要除以組數(shù)的全排列?！纠?】（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）8張不同的郵票，按下列要求各有多少種不同的分法？（用式子表示）(1)平均分成四份；(2)平均分給甲、乙、丙、丁四人；(3)分成三份，一份4張，一份2張，一份2張；(4)分給甲、乙、丙三人，甲4張，乙2張，丙2張；(5)分給三人，一人4張，一人2張，一人2張；(6)分成三份，一份1張，一份2張，一份5張；(7)分給甲、乙、丙三人，甲得1張，乙得2張，丙得5張；(8)分給甲、乙、丙三人，一人1張，一人2張，一人5張．【例2】如圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器.接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào).若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三組，將右端的六個(gè)接線點(diǎn)也隨機(jī)地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個(gè)接線點(diǎn)用導(dǎo)線連接，則這五個(gè)接收器能同時(shí)接收到信號(hào)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】（23-24高三上·云南昆明·開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)將6本不同的書(shū)籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知書(shū)籍SKIPIF1<0分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是.（用數(shù)字作答）【變式1】（2023·山東煙臺(tái)·三模）教育部為發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)部分大學(xué)培養(yǎng)教育專(zhuān)業(yè)公費(fèi)師范生，畢業(yè)后分配到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)將5名男大學(xué)生，4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教，則（

）A．甲學(xué)校沒(méi)有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0B．甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0C．每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0D．乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為SKIPIF1<0【變式2】某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【變式3】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（

）A．150 B．240 C．390 D．1440【題型五】分配問(wèn)題：球同，盒不同球相同，盒子不同方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法?！纠?】1.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有種方法．（用數(shù)字作答）【例2】（2024高三下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）某校將8個(gè)足球賽志愿者名額分配到高一年級(jí)的四個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)名額，則不同的分配方法共有種（用數(shù)字作答）.【例3】按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？（1）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子；（2）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；（3）5個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；（4）5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)空盒．【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式2】（23-24高二上·遼寧沈陽(yáng)·期末）將20個(gè)無(wú)任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【變式3】（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（要求每個(gè)盒子可空）將8個(gè)相同的小球分別放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子可空，有多少種不同的放法？【題型六】書(shū)架插書(shū)模型書(shū)架上原有書(shū)的順序不變；（2）新書(shū)要一本一本插；定序問(wèn)題可使用倍縮法?！纠?】有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（

）A．168 B．260 C．840 D．560【例2】書(shū)架上某一層有5本不同的書(shū)，新買(mǎi)了3本不同的書(shū)插進(jìn)去，要保持原來(lái)5本書(shū)的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【例3】（21-22高二下·重慶渝中·階段練習(xí)）一張節(jié)目單上原有8個(gè)節(jié)目，現(xiàn)臨時(shí)再插入A，B，C三個(gè)新節(jié)目，如果保持原來(lái)8個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個(gè)新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）【變式1】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）2022年10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利閉幕.某班舉行了以“禮贊二十大?奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晩會(huì)，原定的SKIPIF1<0個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又臨時(shí)增加了兩個(gè)教師節(jié)目，如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（

）A．42 B．30 C．20 D．12【變式2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．30【變式3】（2023春·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）書(shū)架上已有《詩(shī)經(jīng)》、《西游記》、《菜根譚》、《吶喊》、《文化苦旅》五本書(shū)，現(xiàn)欲將《圍城》、《駱駝祥子》、《四世同堂》三本書(shū)放回到書(shū)架上，要求不打亂原有五本書(shū)的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【題型七】代替元法：最短路徑左右上下移動(dòng)的最短距離，可以把移動(dòng)方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，則移動(dòng)幾步就是幾個(gè)A，與B相同元素排列代替元法：標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”【例1】格點(diǎn)是指平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).一格點(diǎn)沿坐標(biāo)線到原點(diǎn)的最短路程為該點(diǎn)到原點(diǎn)的“格點(diǎn)距離”（如：SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的格點(diǎn)距離為SKIPIF1<0）.格點(diǎn)距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為“格點(diǎn)圓”，該定值稱(chēng)為格點(diǎn)圓的半徑，而每一條最短路程稱(chēng)為一條半徑.當(dāng)格點(diǎn)半徑為6時(shí)，格點(diǎn)圓的半徑有條（用數(shù)字作答）.（多選）【例2】（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條B．小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條C．小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為SKIPIF1<0D．小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門(mén)口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)F；事件B：從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則SKIPIF1<0【例3】如圖所示是某個(gè)區(qū)域的街道示意圖（每個(gè)小矩形的邊表示街道），那么從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短線路有（

）條A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式1】有一道路網(wǎng)如圖所示，通過(guò)這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過(guò)C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有___________種.【變式2】某城市縱向有6條道路，橫向有5條道路，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)（圖中黑線表示道路），則從西南角A地到東北角B地的最短路線共有條．【變式3】由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有（

）A．SKIPIF1<0條 B．SKIPIF1<0條 C．SKIPIF1<0條 D．SKIPIF1<0條【題型八】代替元法：空車(chē)位停車(chē)等這類(lèi)題大多可以用字母元來(lái)代替轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題從而解決問(wèn)題?！纠?】某單位有8個(gè)連在一起的車(chē)位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車(chē)需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車(chē)位中恰好有3個(gè)連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（

）A．240 B．360 C．480 D．720【例2】馬路上有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有種【例3】現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車(chē)場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車(chē)去停放，要求每輛車(chē)左右兩邊都有空車(chē)位且甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間的停放方式共有_________種.【變式1】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車(chē)場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車(chē)去停放，要求每輛車(chē)左右兩邊都有空車(chē)位且甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間的停放方式共有種.【變式2】（2023·江西新余·二模）據(jù)中國(guó)汽車(chē)工業(yè)協(xié)會(huì)統(tǒng)計(jì)顯示，2022年我國(guó)新能源汽車(chē)持續(xù)爆發(fā)式增長(zhǎng)，購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的家庭越來(lái)越多.某學(xué)校為方便駕駛電動(dòng)汽車(chē)的教職工提供充電便利，在停車(chē)場(chǎng)開(kāi)展充電樁安裝試點(diǎn).如下圖，試點(diǎn)區(qū)域共有十個(gè)車(chē)位，安裝了三個(gè)充電樁，每個(gè)充電樁只能給其南北兩側(cè)車(chē)位中的一輛電動(dòng)汽車(chē)充電.現(xiàn)有3輛燃油車(chē)和2輛電動(dòng)汽車(chē)同時(shí)隨機(jī)停入試點(diǎn)區(qū)域（停車(chē)前所有車(chē)位都空置），請(qǐng)問(wèn)2輛電動(dòng)汽車(chē)能同時(shí)充上電的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式3】甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個(gè)小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動(dòng)車(chē)出行，每輛電動(dòng)車(chē)只能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車(chē)，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車(chē)，則她們坐車(chē)不同的搭配方式有A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【題型九】環(huán)排問(wèn)題：直排策略環(huán)排問(wèn)題即為手拉手圍一圈的模型，此類(lèi)問(wèn)題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問(wèn)題，再合起來(lái)即為一圈?！纠?】已知甲、乙、丙三位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，其中一個(gè)排列“甲乙丙”與該排列旋轉(zhuǎn)一個(gè)或幾個(gè)位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個(gè)排列．現(xiàn)有SKIPIF1<0位同學(xué)，若站成一排，且甲同學(xué)在乙同學(xué)左邊的站法共有SKIPIF1<0種，那么這SKIPIF1<0位同學(xué)圍成一個(gè)圓時(shí)，不同的站法總數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例2】（23-24高三下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）一對(duì)夫妻帶著3個(gè)小孩和一個(gè)老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個(gè)小孩均不相鄰的站法種數(shù)是