新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺通關(guān)練習(xí)03 解三角形（兩大易錯(cuò)點(diǎn)+九大題型）（原卷版）

秘籍03解三角形目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)一：正弦定理的邊角互化易錯(cuò)點(diǎn)二：判斷三角形個(gè)數(shù)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】最值與范圍：角與對(duì)邊【題型二】最值與范圍：角與鄰邊【題型三】范圍與最值：有角無邊型【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用【題型五】三大線：中線應(yīng)用【題型六】三大線：高的應(yīng)用【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓【題型八】圖形：“補(bǔ)角”三角形【題型九】圖形：四邊形與多邊形概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)正余弦定理求邊，求角。作為高考固定題型，每次會(huì)出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，新高考出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不良題的新題型，無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結(jié)合出現(xiàn)在解答題第一題里，占10分，難度不大也適應(yīng)了新高考的新題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握。今年從九省聯(lián)考的試卷可以看出，新結(jié)構(gòu)試卷中把原有的解三角形大題弱化了，新結(jié)構(gòu)試卷解三角形的位置會(huì)在選填中考察，出現(xiàn)在大題的機(jī)率也是有的，即使出現(xiàn)難度也是不大的，所以基礎(chǔ)題型和小題中對(duì)于正余弦定理的運(yùn)用就需要掌握的透徹。易錯(cuò)點(diǎn)一：正弦定理的邊角互化正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．易錯(cuò)提醒：1.在用正弦定理進(jìn)行邊角互化時(shí)需要注意2R的存在，等式兩邊2R的數(shù)量一致才可相消。2.在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB.例（2024·遼寧遼陽·一模）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.變式1：（2024·四川涼山·二模）設(shè)SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．易錯(cuò)點(diǎn)二：判斷三角形個(gè)數(shù)1.在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解例（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0變式1：（2022高三·全國·專題練習(xí)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若角SKIPIF1<0有唯一解，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型一】最值與范圍：角與對(duì)邊注意正弦定理在進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換時(shí)等式必須是齊次，關(guān)于邊SKIPIF1<0的齊次式或關(guān)于角的正弦SKIPIF1<0的齊次式，齊次分式也可以用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換．求范圍問題，通常是把量表示為三角形某個(gè)角的三角函數(shù)形式，利用此角的范圍求得結(jié)論．【例1】（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【例2】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【變式1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．【變式2】（2024·云南貴州·二模）SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的高，求SKIPIF1<0的最大值．【題型二】最值與范圍：角與鄰邊三角形中最值范圍問題的解題思路：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題。涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．注意要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大【例1】（2024·安徽阜陽·一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大?。?2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）在銳角SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【變式1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，則能使同時(shí)滿足條件SKIPIF1<0的三角形不唯一的a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2024·河北·一模）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足SKIPIF1<0．(1)求角C的大小；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【變式3】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【題型三】范圍與最值：有角無邊型【例1】（2024·北京石景山·一模）在銳角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大?。?2)求SKIPIF1<0的取值范圍．【例2】（2024·吉林延邊·一模）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0．(1)求B；(2)若點(diǎn)D在AC上，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【變式1】（2024·廣東湛江·一模）已知在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0外接圓的直徑為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【變式2】（2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)）SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【變式3】（2012·廣西南寧·一模）已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)設(shè)向量SKIPIF1<0，求當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時(shí)，SKIPIF1<0的值．【題型四】三大線：角平分線應(yīng)用角平分線定理（大題中，需要證明，否則可能會(huì)扣過程分）：SKIPIF1<0【例1】（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，SKIPIF1<0的角平分線交BC于P點(diǎn)，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0，求△ABC的面積;(2)若SKIPIF1<0，求BP的長(zhǎng).【例2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0所對(duì)的角，且滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的大小；(2)SKIPIF1<0的角平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0.【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）記SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的角平分線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng).【變式1】（2024·四川遂寧·二模）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角C；(2)若CD是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求c的值．【變式2】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，內(nèi)角A的角平分線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AC的長(zhǎng)度．【變式3】（2024·四川廣安·二模）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【題型五】三大線：中線應(yīng)用中線的處理方法1.向量法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0雙余弦定理法（補(bǔ)角法）：如圖設(shè)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，①在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，②因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以①+②式即可3.延伸補(bǔ)形法：如圖所示，延伸中線，補(bǔ)形為平行四邊形4.中線分割的兩三角形面積相等【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0邊上中線長(zhǎng)的取值范圍．【例2】（2023·河北滄州·三模）在SKIPIF1<0中，角A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的兩條中線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖所示.

(1)求SKIPIF1<0的余弦值；(2)求SKIPIF1<0的值.【例3】（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上中線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的面積；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【變式1】（2023·新疆阿勒泰·三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是．【變式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0邊的中線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．【變式3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【題型六】三大線：高的應(yīng)用高的處理方法：1.等面積法：兩種求面積公式如SKIPIF1<02.三角函數(shù)法：SKIPIF1<0【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的高SKIPIF1<0.【例2】（2024·全國·一模）已知SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且AD是BC邊上的高．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AD．【例3】（23-24高三下·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng).【變式1】（2021·湖南株洲·三模）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求A的大小；(2)設(shè)AD是BC邊上的高，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最小值．【變式2】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上的高.【變式3】（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）記SKIPIF1<0的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，D為線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的BC邊上的高．【題型七】圖形：內(nèi)切圓與外接圓外接圓：1.外接圓的圓心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。銳角三角形外心在三角形內(nèi)部。直角三角形外心在三角形斜邊中點(diǎn)上。鈍角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為外接圓半徑內(nèi)切圓：等面積構(gòu)造法求半徑SKIPIF1<0【例1】（2024·吉林·二模）已知SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0的內(nèi)切圓半徑SKIPIF1<0的取值范圍【例2】（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以SKIPIF1<0為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為SKIPIF1<0.

(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長(zhǎng).【例3】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·三模）在凸四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)若四邊形SKIPIF1<0有外接圓，求SKIPIF1<0的最大值.【變式1】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)M為直角SKIPIF1<0外接圓O上的任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【變式2】（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）已知四邊形SKIPIF1<0的外接圓面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為鈍角，(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積．【變式3】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的外接圓和內(nèi)切圓的面積之比．【題型八】圖形：“補(bǔ)角”三角形【例1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是斜邊SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【例2】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，D為BC的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【變式1】（2024·甘肅隴南·一模）在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求b；(2)D為邊SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<