研究生考試考研數(shù)學(xué)（二）2024年試卷及答案解析

2024年研究生考試考研數(shù)學(xué)（二）試卷及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題5分，共50分）1、已知函數(shù)f(x)={

(3-a)x-3a,x≤7

a^(x-6),x>7

}是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,2]C.(1,3]D.(2,3)

首先，我們考慮函數(shù)的第一部分：fx=3要使這部分函數(shù)單調(diào)遞增，需要其導(dǎo)數(shù)大于0。但因為是線性函數(shù)，所以只需系數(shù)3?a>接下來，我們考慮函數(shù)的第二部分：fx=a由于這是一個指數(shù)函數(shù)，且底數(shù)為a，要使函數(shù)單調(diào)遞增，需要底數(shù)a>最后，我們需要考慮兩部分函數(shù)在x=由于fx在R上是增函數(shù)，那么在x即：3?a×7?3a≤a7?62故答案為：D.(22、設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，若P(ξ>c+1)=P(ξ<2c-1)，則c=_______．

本題主要考察正態(tài)分布的對稱性質(zhì)。已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1,4，其中均值μ根據(jù)正態(tài)分布的對稱性質(zhì)，其對稱軸為x=題目給出Pξ>c+1=Pξ<即，有：c+13c=2c=3、設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值為a，則1/a+a=_______．答案：5解析：首先，我們考慮函數(shù)fx根據(jù)絕對值的性質(zhì)，我們可以將數(shù)軸分為三個區(qū)間進(jìn)行討論：當(dāng)x≤1時，當(dāng)1<x<當(dāng)x≥2時，接下來，我們分別求這三個區(qū)間上的最小值：在x≤1時，fx=?在1<x<在x≥2時，fx綜合以上三個區(qū)間，函數(shù)fx的最小值出現(xiàn)在1<x最后，代入1a+a，得到11+1=2。但這里有一個錯誤，因為a=注意：原答案中的52可能是基于1a2+a的求解，但按照題目給出的1a+a，并且已知4、已知函數(shù)f(x)=(x^2+2x+a)/x，x∈[1,+∞)．當(dāng)a=1/2時，求函數(shù)f(x)的最小值；若對任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．答案：(1)52；(2)解析：當(dāng)a=12時，

fxx+1fx=x+12x+進(jìn)一步觀察可知，函數(shù)fx在[1,+∞)上是單調(diào)遞增的（因為f′x=對于fxx2+x2+2x令gx=x2+2x+a因此，要使gx>012+2?但題目中x∈[1,+f1=1+2+a>0解得a>?3。然而，當(dāng)a=5、已知向量a=(1,-1)，b=(2,m)，若a⊥b，則m=_______．答案：2解析：已知向量a=1,?1根據(jù)向量垂直的充要條件，有a?計算a?b，即化簡得2?解得m=故答案為：2。6、設(shè)隨機變量X～N(2,σ^2)，若P(X<a)=0.3，則P(a≤X<4-a)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B解析：首先，隨機變量X服從正態(tài)分布N2,σ由于正態(tài)分布曲線是關(guān)于其均值μ對稱的，即關(guān)于x=已知PX<a接下來，我們需要求Pa注意到Pa≤X<4?a因此，P由于PXP所以，P故答案為：B.0.47、已知f(x)=(x^2-2x-3)e^x，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.(-∞,0)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(-∞,-1)和(2,+∞)答案：B解析：首先，求函數(shù)fx利用乘法法則，有：f′x=接下來，我們需要找出f′x<由f′x=x2?4ex解這個不等式，得到：?因此，函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0注意：雖然?2<x<0時f′x<0，但題目要求的是fx在哪個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的，并且這個區(qū)間需要是連續(xù)的。由于fx在x8、設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,4)，若P(X<a)=0.3，則P(a<X<4-a)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B解析：首先，隨機變量X服從正態(tài)分布N2,4，其中均值μ=2正態(tài)分布曲線是關(guān)于其均值μ對稱的，即關(guān)于x=已知PX<a接下來，我們需要求Pa由于正態(tài)分布的全概率為1，且PX我們可以將Pa<X代入已知條件PX<a得到Pa故答案為：B.0.4。9、設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ^2)，若P(ξ<4)=0.9，則P(0<ξ<2)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案：B解析：首先，由于隨機變量ξ服從正態(tài)分布N2,σ已知Pξ<4接下來，我們需要求P0由于正態(tài)分布的對稱性，區(qū)間0,2關(guān)于均值x=因此，P0又因為P2<ξ<4所以，P2由于P0<ξ<2故答案為：B.0.2。注意：這里有一個常見的誤解，即直接認(rèn)為P0<ξ10、設(shè)函數(shù)fx=2x?1,答案：?解析：函數(shù)fxf我們需要找到滿足fx<2當(dāng)x≤0時，函數(shù)解不等式2x?1由于2x是增函數(shù)，且21=2<但由于x≤0的限制，所以在這個區(qū)間內(nèi)，解集為當(dāng)x>0時，函數(shù)解不等式log2利用對數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為x+1<解得x<但由于x>0的限制，所以在這個區(qū)間內(nèi)，解集為綜合兩個區(qū)間的解集，得到x∈(?∞,0]∪0,3=?故答案為：?1二、填空題（本大題有6小題，每小題5分，共30分）1、設(shè)函數(shù)f(x)={

(x^2+1)(e^x-1),x≤0

(1+ln(x+1))/(x^2),x>0

}

，則∫(0,1)f(x-1)dx=_______．

首先，我們觀察函數(shù)fx當(dāng)x≤0時，fx=x2+1ex?1當(dāng)x>當(dāng)0≤x≤1時，?1≤x?1≤0因此，在這個區(qū)間內(nèi)，fx?1應(yīng)該使用fx在x01x?1∫t2+2代入上下限進(jìn)行計算，得到：?10t2+2、已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+ax+b(a,b∈R)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=2x-1，則a+b=_______．答案：0解析：首先，求函數(shù)fxf然后，根據(jù)題目給出的切線方程y=2xf′1=接著，將x=1代入原函數(shù)fxf由于點1,f13+b=21最后，求a+a故答案為：0。3、已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π/2)的圖象關(guān)于直線x=π/3對稱，且f(π/12)=0，f(5π/12)=1，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______．答案：5解析：已知fπ12=0和f5π12由正弦函數(shù)的周期性，我們知道T=2πω。將已知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=π3對稱，且f5π解得φ=2kπ?π4因此，函數(shù)fx的解析式為f接下來，我們需要找出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。正弦函數(shù)在π2+2kπ≤θ≤3解得5π12+因此，函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間是54、若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，且|F?F?|=2c，P為雙曲線右支上一點，PF?交y軸于點A，PF?交y軸于點B，若△PAB的面積S?與△F?OF?的面積S?滿足S?=4S?，且|PF?|=5，則雙曲線的離心率為_______．答案：5解析：設(shè)PF2的長度為m，由于P在雙曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的定義，有已知PF1=5，代入得設(shè)A0,y由于△PAB的面積S1與△F1OF2的面積S三角形PAB的面積S1可以用底AB和高（即PF2在x軸上的投影長度）來表示。由于A和B分別在但由于F1F2是雙曲線的焦點連線，且PF1和PF2是雙曲線的兩條切線（注意這里實際是割線，但由于A進(jìn)一步，有y1由于S1=12×化簡得y1又因為y1PF即c×又因為c2=a但題目已給出F1F2將c2=a2+b25、已知函數(shù)f(x)={

(x-1)^2,x≤0

ln(x+1),x>0

}若關(guān)于x的方程f(x)=kx+b有兩個不相等的實數(shù)根x?,x?(x?<x?)，則(x?+1)·f(x?)的取值范圍是_______．答案：1解析：首先，我們考慮函數(shù)fx當(dāng)x≤0時，fx=x?1當(dāng)x>0時，fx=ln接下來，我們考慮直線y=kx由于方程fx=kx+b有兩個不相等的實數(shù)根進(jìn)一步，由于f0=1，當(dāng)直線y=kx+b過點0,1時，直線與fx的圖像在x>0的區(qū)間內(nèi)相切。設(shè)切點為x最后，我們求x1由于x1≤0又因為fx2=lnx2+1，且因此，x1+1注意：這里的1e是通過直線與fx在x>0的區(qū)間內(nèi)相切得出的，即當(dāng)k=1e時，b=1?1e，此時直線與fx在x>0的區(qū)間內(nèi)有一個切點，同時與fx在x≤0的區(qū)間內(nèi)有一個交點。由于題目要求有兩個不相等的實數(shù)根，所以k必須大于1e，但此時b會小于16、已知點P(1,2)在橢圓C：((x2))/(a2)+((y2))/(b2)=1(a>b>0)上，且橢圓C的焦距為2√3．求橢圓C的方程；設(shè)過點P的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若線段AB的中點為M，且直線OM的斜率為(1/2)，求直線l的方程．答案：(1)x24+y2解析：已知點P11a2+4c=3a2=b2a2=a2=x設(shè)過點P的直線l的方程為：y?2x241+4k2x2Mx1x1+x2M4kk?2k1k=?12或kx?2三、解答題（本大題有7小題，每小題10分，共70分）第一題設(shè)函數(shù)fx=ln當(dāng)a=1時，求曲線y=若函數(shù)fx在0,+【答案】當(dāng)a=1時，函數(shù)首先求導(dǎo)數(shù)：f在x=1處，f′因此，曲線y=fx在點1,f(注意：這里的答案可能與常規(guī)理解不同，因為切線斜率為0時切線實際上是水平線y=對于函數(shù)fxf由于fx在0,+∞上單調(diào)遞增，那么考慮分子?2Δ由于Δ≥0恒成立，但我們需要找到使?2ax當(dāng)a=0時，f′當(dāng)a≠0時，由于二次項系數(shù)為負(fù)（?2a<0），函數(shù)開口向下。要使其在整個0,+∞上非負(fù)，需要滿足兩個條件：一是判別式Δ≤0綜合以上分析，a的取值范圍是(?第二題設(shè)函數(shù)fx=x2+ax+bx+答案：求導(dǎo)數(shù)：首先，對函數(shù)fx=利用極值條件：題目給出在x=1處有極值2，即

f1=2,?f′1=解方程組：解方程組（方程1和方程2）得

1+a+b求單調(diào)區(qū)間：將a,b的值代入f′x，得

f當(dāng)x<?1或x>2當(dāng)?1<x<2因此，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1第三題設(shè)函數(shù)fx=ln當(dāng)a=1時，求函數(shù)若對任意x∈0,+∞【答案】當(dāng)a=首先確定函數(shù)fx的定義域。由于有自然對數(shù)lnx+1，所以x+1>計算導(dǎo)數(shù)。f′判斷單調(diào)性。當(dāng)?1<x<0時，f′x<0，所以fx在對于任意x∈0,轉(zhuǎn)化為不等式。即lnx構(gòu)造函數(shù)。令gx=lnx+計算導(dǎo)數(shù)。g′分類討論。當(dāng)a≤1時，由于x>0，則x+1?a>0，從而當(dāng)a>1時，令g′x=0，解得x=a?1。在0,a?1上，g′令ha=lna?a+1，計算其導(dǎo)數(shù)h′a=1a?1因此，當(dāng)a>1時，綜上，實數(shù)a的取值范圍是1,第四題設(shè)函數(shù)fx=ln當(dāng)a=1時，求函數(shù)求函數(shù)fx【答案】當(dāng)a=1時，函數(shù)首先確定函數(shù)的定義域。由于有自然對數(shù)lnx，所以x>0計算導(dǎo)數(shù)。f′找出導(dǎo)數(shù)的零點。令f′x=判斷單調(diào)性。當(dāng)0<x<1時，f′x=1x?2x+1>0（因為1x在0對于一般的a，函數(shù)fx計算導(dǎo)數(shù)。f′找出導(dǎo)數(shù)的零點。令f′x=0，即解這個二次方程。其解為x1=1和x當(dāng)a>0時，?12a<0，不在定義域內(nèi)，所以只有x當(dāng)a<0時，?12a>0，在定義域內(nèi)。由于f′x在x當(dāng)a=0時，函數(shù)退化為fx=lnx?x，其導(dǎo)數(shù)f′x=1x?1第五題設(shè)函數(shù)fx=ln求實數(shù)a的取值范圍；當(dāng)a=1時，若關(guān)于x的不等式fx>k【答案】首先求fx的導(dǎo)數(shù)：計算得：f由于fx在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，所以由此可得：x+1?因為x>0，所以x+當(dāng)a=1時，要使不等式fx>kx+整理得：k<令gx=x+1當(dāng)x∈0,+∞時，g因此，gx>g第六題設(shè)函數(shù)f(x)=∫(0,x)(t^2-4t+3)dt，求f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的解析式。由題意，f(x)=∫(0,x)(t^2-4t+3)dt對t^2-4t+3進(jìn)行不定積分，得到∫(t^2-4t+3)dt=1/3t^3-2t^2+3t+C其中C是積分常數(shù)。然后，利用定積分的性質(zhì)，將上下限代入上述不定積分的結(jié)果中，得到f(x)=(1/3x^3-2x^2+3x)-(1/30^3-20^2+30)

=1/3x^3-2x^2+3x接下來，對f(x)求導(dǎo)，得到其導(dǎo)數(shù)f’(x)=x^2-4x+3為了找到f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值，我們需要找到f’(x)=0的解，以及區(qū)間端點處的函數(shù)值。令f’(x)=0，解得x=1或x=3。計算區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值：f(0)=0

f(1)=1/3-2+3=4/3

f(3)