(新教材)高中數(shù)學(xué)A版選擇性必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列知識(shí)點(diǎn)要點(diǎn)：數(shù)列的概念

按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).

(1)從數(shù)列定義可以看出，數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就不是同一數(shù)列，例如數(shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1是不同的數(shù)列.

(2)在數(shù)列的定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)字，如：-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列：-1，1，-1，1，….

(4)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.

(5)次序?qū)τ跀?shù)列來(lái)講是十分重要的，有幾個(gè)相同的數(shù)，由于它們的排列次序不同，構(gòu)成的數(shù)列就不是一個(gè)相同的數(shù)列，顯然數(shù)列與數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.如：2，3，4，5，6這5個(gè)數(shù)按不同的次序排列時(shí)，就會(huì)得到不同的數(shù)列，而{2，3，4，5，6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個(gè)集合.

2.數(shù)列的分類(lèi)

(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)多少可以對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類(lèi)，分為有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列.在寫(xiě)數(shù)列時(shí)，對(duì)于有窮數(shù)列，要把末項(xiàng)寫(xiě)出，例如數(shù)列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有窮數(shù)列，如果把數(shù)列寫(xiě)成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示無(wú)窮數(shù)列.

(2)按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類(lèi)：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列.

3.數(shù)列的通項(xiàng)公式

數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，其內(nèi)涵的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律通常是用式子f(n)來(lái)表示的，

這兩個(gè)通項(xiàng)公式形式上雖然不同，但表示同一個(gè)數(shù)列，正像每個(gè)函數(shù)關(guān)系不都能用解析式表達(dá)出來(lái)一樣，也不是每個(gè)數(shù)列都能寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式;有的數(shù)列雖然有通項(xiàng)公式，但在形式上，又不一定是唯一的，僅僅知道一個(gè)數(shù)列前面的有限項(xiàng)，無(wú)其他說(shuō)明，數(shù)列是不能確定的，通項(xiàng)公式更非唯一.如：數(shù)列1，2，3，4，…，

由公式寫(xiě)出的后續(xù)項(xiàng)就不一樣了，因此，通項(xiàng)公式的歸納不僅要看它的前幾項(xiàng)，更要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，多觀察分析，真正找到數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律，由數(shù)列前幾項(xiàng)寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，沒(méi)有通用的方法可循.

再?gòu)?qiáng)調(diào)對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的理解注意以下幾點(diǎn)：

(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式.

(2)如果知道了數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng);同時(shí)，用數(shù)列的通項(xiàng)公式也可判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項(xiàng)，如果是的話(huà)，是第幾項(xiàng).

(3)如所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

如2的不足近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所構(gòu)成的數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就沒(méi)有通項(xiàng)公式.

(4)有的數(shù)列的通項(xiàng)公式，形式上不一定是唯一的，正如舉例中的：

(5)有些數(shù)列，只給出它的前幾項(xiàng)，并沒(méi)有給出它的構(gòu)成規(guī)律，那么僅由前面幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列通項(xiàng)公式并不唯一.

4.數(shù)列的圖象

對(duì)于數(shù)列4，5，6，7，8，9，10每一項(xiàng)的序號(hào)與這一項(xiàng)有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

序號(hào)：1234567

項(xiàng)：45678910

這就是說(shuō)，上面可以看成是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)的集合的映射.因此，從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎疦*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.這里的函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，它的自變量只能取正整數(shù).

由于數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)和解析式.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列是可以用圖象直觀地表示的.

數(shù)列用圖象來(lái)表示，可以以序號(hào)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，描點(diǎn)畫(huà)圖來(lái)表示一個(gè)數(shù)列，在畫(huà)圖時(shí)，為方便起見(jiàn)，在平面直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上取的單位長(zhǎng)度可以不同，從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化情況，但不精確.

把數(shù)列與函數(shù)比較，數(shù)列是特殊的函數(shù)，特殊在定義域是正整數(shù)集或由以1為首的有限連續(xù)正整數(shù)組成的集合，其圖象是無(wú)限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn).

5.遞推數(shù)列

一堆鋼管，共堆放了七層，自上而下各層的鋼管數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10.①

數(shù)列①還可以用如下方法給出：自上而下第一層的鋼管數(shù)是4，以下每一層的鋼管數(shù)都比上層的鋼管數(shù)多1。等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，那么這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.等差數(shù)列的基本公式通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，注意：等差數(shù)列求和公式

即

第n項(xiàng)=首項(xiàng)+(n-1)×公差（n是項(xiàng)數(shù)）前n項(xiàng)和公式（相當(dāng)于n個(gè)等差中項(xiàng)之和）.注意：n是正整數(shù)等差數(shù)列前n項(xiàng)求和，實(shí)際就是梯形公式的妙用：上底為a1（首項(xiàng)），下底為a1+(n-1)d,高為n，即推論一、從通項(xiàng)公式可以看出，an是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線(xiàn)上，由前n項(xiàng)和公式知，Sn是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0.二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1(類(lèi)似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}.

三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq.若m+n=2p,則am+an=2ap.等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)即等差數(shù)列頭尾兩項(xiàng)的和的一半，但求等差中項(xiàng)不一定要知道頭尾兩項(xiàng).在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)一般設(shè)為Ar.當(dāng)Am,Ar,An成等差數(shù)列時(shí)，Am+An=2Ar,所以Ar為Am，An的等差中項(xiàng)，且為數(shù)列的平均數(shù)，并且可以推知n+m=2r，且任意兩項(xiàng)am，an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d，類(lèi)似地pn=pm+(n-m)d，相當(dāng)容易證明.它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式.等差數(shù)列常應(yīng)用于日常生活中，如在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級(jí)別時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí).其實(shí)，中國(guó)古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問(wèn)共織幾何?書(shū)中的解法是：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。這相當(dāng)于給出了Sn=的求和公式.等差數(shù)列的基本性質(zhì)r次等差數(shù)列為什么在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中對(duì)公差和首項(xiàng)特別地關(guān)注？因?yàn)楣詈褪醉?xiàng)可以作為等差數(shù)列一切變化的切入點(diǎn).當(dāng)我們有更好的切入點(diǎn)后，我們可以毫不猶豫地拋棄公差和首項(xiàng).假設(shè)一個(gè)基向量En(x)=[1,x,x2,…,xk]，轉(zhuǎn)換矩陣A為k+1階方陣，b=[b0,b1,b2,…,bk].b同En的長(zhǎng)度一樣為k+1，b′表示b的轉(zhuǎn)置。當(dāng)k=1時(shí)，我們可以稱(chēng)為一次數(shù)列；當(dāng)k=r時(shí)，我們可以稱(chēng)為r次數(shù)列(x,k只能取自然數(shù)).p(x)=En(x)·b′.s(x)=x·En(x)·A·b′.m+n=p+q（m，n，p，q∈N*)，則am+an=ap+aq.一次等差數(shù)列的性質(zhì)1.p1(x),p2(x)均為一次等差數(shù)列，則p1(x)±p2(x)與c·p1(x)±p2(x)(c為非零常數(shù))也是一次等差數(shù)列.p(x)是一次函數(shù)，(n,p(x))構(gòu)成直線(xiàn).2.pm-pn=En(m)·b′-En(n)·b′=(En(m)-En(n))·b′=（0,m-n）·b′.3.m+n=p+q?pp+pq=pm+pn

(證明:m+n=p+q?En(m)+En(n)=En(p)+En(q).pm+pn=En(m)·b′+En(n)·b′=(En(m)+En(n))·b′pp+pq=(En(p)+En(q))·b′=(En(m)+En(n))·b′=pm+pn）.4.從p(x)=En(x)·b′中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是一次等差數(shù)列，其一次項(xiàng)系數(shù)為k·b1(k為取出項(xiàng)數(shù)之差)，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)未知.5.在一次等差數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的平均數(shù)．6.當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)b1>0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)b1<0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減小而減??；b1=0時(shí)，數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).等差數(shù)列的判定1.an+1-an=d(d為常數(shù)，n∈N*）[或an-an-1=d（n∈N*，n≥2,d是常數(shù)）]等價(jià)于{an}成等差數(shù)列.2.2an+1=an+an+2（n∈N*），等價(jià)于{an}成等差數(shù)列.

3.an=kn+b（k，b為常數(shù),n∈N*），等價(jià)于{an}成等差數(shù)列.4.Sn=an2+bn（a，b為常數(shù)，a不為0，n∈N*），等價(jià)于{an}為等差數(shù)列.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)（1）數(shù)列為等差數(shù)列的重要條件是：數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可以寫(xiě)成Sn=an2

+bn的形式(其中a，b為常數(shù))．（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)時(shí)，S偶-S奇

=nd，S奇÷S偶=an÷an+1；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n－1）(n∈N*)時(shí)，S奇-S偶=a中

，S奇÷S偶

=n÷（n-1）．（3）若數(shù)列為等差數(shù)列，則Sn，S2n－Sn

，S3n－S2n，…，仍然成等差數(shù)列，公差為n2d．（4）在等差數(shù)列中，Sn=a，Sm=b(n>m)，則Sn-m=(1+)a-3b．（5）從函數(shù)的角度看等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù).（6）記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．①若a1>0，公差d<0，則當(dāng)an≥0且an+d

≤0時(shí)，Sn有最大值；②若a1<0，公差d>0，則當(dāng)an≤0且an+d≥0時(shí)，Sn有最小值．（7）若等差數(shù)列Sp=q,Sq=p,則Sp+q=-(p+q).等差數(shù)列的特殊性質(zhì)在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和.特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項(xiàng)的2倍,即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中

例：在數(shù)列1，3，5，7，9，11中，a1+a6=12;a2+a5=12;a3+a4=12;即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和.在等差數(shù)列1，3，5，7，9中，即，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)和等于中間項(xiàng)的2倍.另見(jiàn)，等差中項(xiàng).

?等比數(shù)列考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一：等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.考點(diǎn)二、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩俜匠逃^點(diǎn)：知二求一；②函數(shù)觀點(diǎn)：函數(shù)的圖象上一群孤立的點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是非零常數(shù)列?？键c(diǎn)三、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的主要性質(zhì)：（1）等比中項(xiàng)：成等比數(shù)列，則；（2）通項(xiàng)公式的推廣：；（3）若，則；（4）等比數(shù)列中，若.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）方程思想的具體運(yùn)用；（2）兩式相乘除化簡(jiǎn)?！镜湫屠}】類(lèi)型一：等比數(shù)列的概念、公式例1.若數(shù)列為等比數(shù)列，,

,

求.思路分析：求解等比數(shù)列的項(xiàng)，首先要根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。解析：法一：令數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為q，則有

即

，

(2)÷(1)有,

∴.

∴.法二：∵為等比數(shù)列，∴

即,

∴.∴.法三：∵為等比數(shù)列，∴、、、,…也為等比數(shù)列，

∴,

∴

又∵.

∴

點(diǎn)評(píng)：熟悉等比數(shù)列的概念，基本公式及性質(zhì)，要依條件恰當(dāng)?shù)倪x擇入手公式，性質(zhì)，從而簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題，減少運(yùn)算量。舉一反三：【變式】已知等比數(shù)列，若，，求。法一：∵，∴，∴從而解之得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故或。法二：由等比數(shù)列的定義知，代入已知得將代入（1）得，解得或由（2）得或

，以下同方法一。類(lèi)型二、等比數(shù)列的性質(zhì)【高清課堂：數(shù)列的概念388518

典型例題二】例2.（1）等比數(shù)列中，，，，則

()A．

B．C．

D．(2)設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知,則公比q＝()A．3

B．4

C．5

D．6答案：A

B解析：（1），所以又因?yàn)椋瑒t所以，則（2），兩式相減：所以舉一反三【變式1】等比數(shù)列中，若,求.解析：∵是等比數(shù)列，∴∴例3.若等比數(shù)列滿(mǎn)足，則公比為（A）2

（B）4

（C）8

（D）16思路分析：充分理解數(shù)列遞推關(guān)系，并能靈活應(yīng)用。解析：選B，因?yàn)榈缺葦?shù)列滿(mǎn)足，

①

所以

②

②

①得．又因?yàn)?，所以舉一反三【變式】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)_______。答案：216；法一：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，其公比為，∵，，∴，∴。法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，公比為，則，，加入的三項(xiàng)分別為，，，由題意，，也成等比數(shù)列，∴，故，∴。類(lèi)型三：等比數(shù)列的判斷與證明例4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是何種數(shù)列？解析：∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1(n∈N+),∴a1=S1=51-1=4,當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1時(shí)，4×5n-1=4×51-1=4=a1,

∴n∈N+時(shí)，an=4×5n-1由上述通項(xiàng)公式，可知{an}為首項(xiàng)為4，公比為5的等比數(shù)列.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列{Cn+1-pCn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p。解析：p=2或p=3；∵{Cn+1-pCn}是等比數(shù)列，∴對(duì)任意n∈N且n≥2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[(2-p)·2n+(3-p)·3n]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]整理得：,解得：p=2或p=3,顯然Cn+1-pCn≠0，故p=2或p=3為所求.【變式2】設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列.證明：設(shè)數(shù)列{an}、{bn}的公比分別為p,q，且p≠q為證{Cn}不是等比數(shù)列，只需證.∵,∴,又∵

p≠q,a1≠0,b1≠0,∴即∴數(shù)列{Cn}不是等比數(shù)列.【變式3】判斷正誤：(1){an}為等比數(shù)列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數(shù)列；(3){an}，{bn}均為等比數(shù)列，則{anbn}為等比數(shù)列；(4){an}是公比為q的等比數(shù)列，則、仍為等比數(shù)列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.答案：(1)錯(cuò)；a7=a1q6，a3a4=a1q2·a1q3=a12q5，等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)要求項(xiàng)數(shù)相同；(2)錯(cuò)；反例：02=0×0，不能說(shuō)0，0，0成等比；(3)對(duì)；{anbn}首項(xiàng)為a1b1，公比為q1q2；(4)對(duì)；；(5)錯(cuò)；反例：-2，-4，-8成等比，但logm(-2)無(wú)意義.類(lèi)型四：等比數(shù)列的其他類(lèi)型例5．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若前兩項(xiàng)不變，第三項(xiàng)減去32，則成等差數(shù)列.若再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4，則又成等比數(shù)列.求原來(lái)的三個(gè)數(shù).思路分析：結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)。解析：法一：設(shè)成等差數(shù)列的三數(shù)為a-d,a,a+d.則a-d,a,a+d+32成等比數(shù)列，a-d,a-4,a+d成等比數(shù)列.∴由(2)得a=...........(3)由(1)得32a=d2+32d

..........(4)(3)代(4)消a，解得或d=8.∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)d=8時(shí),a=10∴原來(lái)三個(gè)數(shù)為,,或2,10,50.法二：設(shè)原來(lái)三個(gè)數(shù)為a,aq,aq2，則a,aq,aq2-32成等差數(shù)列，a,aq-4,aq2-32成等比數(shù)列∴由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13當(dāng)q=5時(shí)a=2；當(dāng)q=13時(shí).∴原來(lái)三個(gè)數(shù)為2，10，50或，,.總結(jié)升華：選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)法可使方程簡(jiǎn)單易解。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為a-d,a,a+d；若三數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為，x,xy。但還要就問(wèn)題而言，這里解法二中采用首項(xiàng)a，公比q來(lái)解決問(wèn)題反而簡(jiǎn)便。舉一反三：【變式1】一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列.解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則

2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或，q=-5；故所求的等比數(shù)列為2，6，18或.例6．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個(gè)數(shù)。思路分析：如果充分考慮到等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)設(shè)未知數(shù)，會(huì)使求解過(guò)程簡(jiǎn)單些。解析：設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，由已知得得，所以或，即或故所求三個(gè)數(shù)為：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1?？偨Y(jié)升華：方程的思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用。一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用平均變化率:一般地，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，x1,x2是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，那么函數(shù)的變化率可用式表示，我們把這個(gè)式子稱(chēng)為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率，習(xí)慣上用表示，即平均變化率

上式中的值可正可負(fù)，但不為0．f(x)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，瞬時(shí)速度:

如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v就是物體在t到這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)平均速度的極限，即

若物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=f(t),那么物體在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)就是平均速度v(t，d)為當(dāng)d趨于0時(shí)的極限．函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率是，我們稱(chēng)它為函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即。導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，6)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱(chēng)在(a，b)內(nèi)的值x為自變量，以x處的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為f(x為函數(shù)值的函數(shù)為fx）在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為f（x）在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或y′．即f′(x）=切線(xiàn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義：（1）切線(xiàn)：PPn為曲線(xiàn)f（x）的割線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲線(xiàn)f（x）趨近于點(diǎn)P（x0，f（x0））時(shí)，割線(xiàn)PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為點(diǎn)P處的切線(xiàn)。

（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)PT的斜率k，即k=。瞬時(shí)速度特別提醒：①瞬時(shí)速度實(shí)質(zhì)是平均速度當(dāng)時(shí)的極限值．

②瞬時(shí)速度的計(jì)算必須先求出平均速度，再對(duì)平均速度取極限，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)特別提醒：①當(dāng)時(shí)，比值的極限存在，則f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)；若的極限不存在，則f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)或無(wú)導(dǎo)數(shù)．

②自變量的增量可以為正，也可以為負(fù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但．而函數(shù)的增量可正可負(fù)，也可以為0．

③在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為:

導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)：①導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：

②可導(dǎo)的偶函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，而可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，

③可導(dǎo)的周期函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)仍為周期函數(shù)，

④并不是所有函數(shù)都有導(dǎo)函數(shù)．

⑤導(dǎo)函數(shù)與原來(lái)的函數(shù)f(x)有相同的定義域（a，b）,且導(dǎo)函數(shù)在x0處的函數(shù)值即為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值．

⑥區(qū)間一般指開(kāi)區(qū)間，因?yàn)樵谄涠它c(diǎn)處不一定有增量（右端點(diǎn)無(wú)增量，左端點(diǎn)無(wú)減量）．導(dǎo)數(shù)的幾何意義（即切線(xiàn)的斜率與方程）特別提醒：①利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程．求出y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x)；利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程為y-y0

=f′(x0)（x-x0）．

②若函數(shù)在x=x0處可導(dǎo)，則圖象在(x0，f(x0))處一定有切線(xiàn)，但若函數(shù)在x=x0處不可導(dǎo)，則圖象在（x0，f(x0））處也可能有切線(xiàn)，即若曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線(xiàn)，則切線(xiàn)與x軸垂直．

③注意區(qū)分曲線(xiàn)在P點(diǎn)處的切線(xiàn)和曲線(xiàn)過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)，前者P點(diǎn)為切點(diǎn)；后者P點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)也可以不是，一般曲線(xiàn)的切線(xiàn)與曲線(xiàn)可以有兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，

④顯然f′（x0）>0，切線(xiàn)與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）<o，切線(xiàn)與x軸正向的夾角為鈍角；f(x0)=0，切線(xiàn)與x軸平行；f′(x0)不存在，切線(xiàn)與y軸平行．知識(shí)點(diǎn)梳理1、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；如下：；三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

2、求導(dǎo)數(shù)的法則（1）和與差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：．由此得多項(xiàng)式函數(shù)導(dǎo)數(shù)（2）積的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,

特例[C·f(x)]\\\'＝Cf\\\'(x)。如：①已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則_____（答：）；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_________（答：）；③若對(duì)任意，，則是______（答：）（3）商的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

典型題例示范講解例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

命題意圖

本題3個(gè)小題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法

這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類(lèi)型

知識(shí)依托

解答本題的閃光點(diǎn)是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

錯(cuò)解分析

本題難點(diǎn)在求導(dǎo)過(guò)程中符號(hào)判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯(cuò)

技巧與方法

先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的式子特征，按照求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)

(2)解

y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγ

γ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一

設(shè)y=f(μ),μ=,v=x2+1,則y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x=f′()··2x

=解法二

y′=［f()］′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1)

·2x=f′()例2利用導(dǎo)數(shù)求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)命題意圖

培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識(shí)體系中知識(shí)點(diǎn)靈活融合的能力

知識(shí)依托

通過(guò)對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用逆向思維

由求導(dǎo)公式(xn)′=nxn－1,可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)

關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項(xiàng)的形式結(jié)構(gòu)

錯(cuò)解分析

本題難點(diǎn)是考生易犯思維定勢(shì)的錯(cuò)誤，受此影響而不善于聯(lián)想

技巧與方法

第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導(dǎo)

解

(1)當(dāng)x=1時(shí)Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);當(dāng)x≠1時(shí)，∵x+x2+x3+…+xn=,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1,令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·2n－1

例3

已知曲線(xiàn)C

y=x3－3x2+2x,直線(xiàn)l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x0≠0)，求直線(xiàn)l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)

解

由l過(guò)原點(diǎn)，知k=(x0≠0),點(diǎn)(x0,y0)在曲線(xiàn)C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2

y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=

由x≠0,知x0=

∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－

∴l(xiāng)方程y=－x

切點(diǎn)(，－)例1、求下列導(dǎo)數(shù)（1）y

＝；（2）y

＝x

·sin

x

·ln

x；（3）y

＝；（4）y

＝．解：（1）∵y

＝＝∴（2）y\\\'＝(x

·sin

x

·ln

x)\\\'＝(x

·sin

x)\\\'

·ln

x+(x

·sin

x

)(ln

x)\\\'＝[x\\\'sinx+x(sinx)\\\']·lnx+(x

·sin

x

)＝[sinx+xcos