求圓錐曲線的離心率的常用方法

1、求圓錐曲線的離心率的常用方法一、根據(jù)條件先求出a，c，利用e=求解例1 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，則其離心率為( )A. B. C. D.解析：由F1、F2的坐標(biāo)知 2c=31，c=1，又橢圓過原點(diǎn)，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以離心率e=.故選C.例2 如果雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為( )A. B. C. D2解析：由題設(shè)a=2，2c=6，則c=3，e=,因此選C二、構(gòu)建關(guān)于a，c的齊次等式求解例3 設(shè)雙曲線1(0ab)的半焦距為c，直線L過(a,0)，(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為c，則雙曲線的離心率為( )A.2

2、 B. C. D. 解析：由已知，直線L的方程為bx+ay -ab=0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,兩邊平方，得16a2(c2a2)=3c4.兩邊同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2.又0a2，e24，e2.故選A.例4 雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1MF2120，則雙曲線的離心率為（ ）圖2 （A） （B） （C） （D）解析：如圖2所示，不妨設(shè)M(0，b)，F(xiàn)1(-c,0), F2(c,0),則|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2,即cos

3、120，b2c2a2，3a22c2，e2，e.故選B.例5 雙曲線1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為( )A.2 B. C. D.解析：由條件易知，雙曲線為等軸雙曲線，a=b，c=a，e.故選C.三、根據(jù)曲線方程列出含參數(shù)的關(guān)系式，求e的取值范圍例6 設(shè)(0，)，則二次曲線x2coty2tan=1的離心率的取值范圍為( )A.(0，) B.(，) C.(，) D.(，+)解析：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+ cot,e21+ cot2,(0，)，cot21,e22，e.故選D.四、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍例7 如圖，已知梯形ABCD中，AB2CD，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍圖3解析：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系xOy，則CDy軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱依題意，記A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB為雙曲線的半焦距，h是梯形的高由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0，y0設(shè)雙曲線的方程為1，則離心率e=. 由點(diǎn)C、E在雙曲線上，所以，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入雙曲線方程得 1 ，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入雙曲線方程得()2()21 再