新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第33講 概率（解析版）

第33講概率學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理隨機(jī)事件、頻率與概率1.事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系一般地，如果事件A發(fā)生時(shí)，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)記作A?B(或B?A)互斥事件給定事件A，B，若事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB＝?(或A∩B＝?)若A∩B＝?，則A與B互斥對(duì)立事件給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對(duì)立事件，記作A若A∩B＝?，且A∪B＝Ω，則A與B對(duì)立2.事件的運(yùn)算定義表示法圖示并事件給定事件A，B，由所有A中的樣本點(diǎn)與B中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的和(或并)記作A＋B(或A∪B)交事件給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點(diǎn)組成的事件稱為A與B的積(或交)記作AB(或A∩B)3.用頻率估計(jì)概率一般地，如果在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，其中，m是n次重復(fù)試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則當(dāng)n很大時(shí)，可以認(rèn)為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計(jì)值為eq\f(m,n).古典概型1.古典概型一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間所包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認(rèn)為每個(gè)只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)為古典概率模型，簡稱為古典概型.2.古典概型的概率公式古典概型中，假設(shè)樣本空間含有n個(gè)樣本點(diǎn)，如果事件C包含有m個(gè)樣本點(diǎn)，則P(C)＝eq\f(m,n).3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式1.相互獨(dú)立事件一般地，當(dāng)P(AB)＝P(A)P(B)時(shí)，就稱事件A與B相互獨(dú)立(簡稱獨(dú)立).如果事件A與B相互獨(dú)立，則eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))，A與B，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨(dú)立.2.條件概率(1)概念：一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0(即P(B)>0)時(shí)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)＝eq\f(P（A∩B）,P（B）).(2)兩個(gè)公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).3.全概率公式一般地，如果樣本空間為Ω，A，B為事件，則BA與Beq\o(A,\s\up6(－))是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋eq\o(A,\s\up6(－)))＝BA＋Beq\o(A,\s\up6(－))，從而P(B)＝P(BA＋Beq\o(A,\s\up6(－)))＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－)))，當(dāng)P(A)>0且P(eq\o(A,\s\up6(－)))>0時(shí)，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－))).考點(diǎn)和典型例題隨機(jī)事件、頻率與概率【典例1-1】以下現(xiàn)象中不是隨機(jī)現(xiàn)象的是（

）．A．在相同的條件下投擲一枚均勻的硬幣兩次，正反兩面都出現(xiàn)B．明天下雨C．連續(xù)兩次拋擲同一骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)D．平面四邊形的內(nèi)角和是360°【答案】D【詳解】因?yàn)槠矫嫠倪呅蔚膬?nèi)角和是360°是一個(gè)確定的事實(shí)，而其他三個(gè)現(xiàn)象都是隨機(jī)出現(xiàn)的，所以選項(xiàng)D不符合題意，故選：D【典例1-2】甲、乙兩所學(xué)校舉行了某次聯(lián)考，甲校成績的優(yōu)秀率為30%，乙校成績的優(yōu)秀率為35%，現(xiàn)將兩所學(xué)校的成績放到一起，已知甲校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的40%，乙校參加考試的人數(shù)占總數(shù)的60%，現(xiàn)從中任取一個(gè)學(xué)生成績，則取到優(yōu)秀成績的概率為（

）A．0.165 B．0.16 C．0.32 D．0.33【答案】D【詳解】解：由題意得：將兩所學(xué)校的成績放到一起，從中任取一個(gè)學(xué)生成績，取到優(yōu)秀成績的概率為SKIPIF1<0，故選：D【典例1-3】擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，下列對(duì)“伯努利大數(shù)定律”的理解正確的是（

）A．大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率為0.5B．不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5C．試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率為0.5D．以上說法均不正確【答案】B【詳解】對(duì)于A，大量的試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面的頻率越來越接近于0.5，故A不正確；對(duì)于B，事件發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，所以不管試驗(yàn)多少次，出現(xiàn)正面的概率始終為0.5，故B正確；對(duì)于C，經(jīng)驗(yàn)概率是指特定的事件發(fā)生的次數(shù)占總體試驗(yàn)樣本的比率，隨著試驗(yàn)次數(shù)增大，出現(xiàn)正面的經(jīng)驗(yàn)概率約為0.5，故C不正確；對(duì)于D，顯然不正確.故選：B【典例1-4】“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明（

）.A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕；C．小概率事件就是不可能事件，不會(huì)發(fā)生；D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生．【答案】A【詳解】“不怕一萬，就怕萬一”表示小概率事件很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防；故選：A【典例1-5】在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率分別穩(wěn)定在15%和45%，則布袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是（

）個(gè)．A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【詳解】由題意，摸到紅色球、黑色球的概率分別為15%和45%，即可摸到白色球的概率為SKIPIF1<0，所以可得白色球的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B2、古典概型【典例2-1】甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：甲工作的日期為1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期為1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期為1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期為1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率為SKIPIF1<0．故選：B．【典例2-2】SKIPIF1<0把不同的鑰匙中只有SKIPIF1<0把可以打開某個(gè)鎖，從中任取SKIPIF1<0把能將該鎖打開的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】將SKIPIF1<0把鑰匙編號(hào)為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，不妨設(shè)能打開鎖的為鑰匙SKIPIF1<0．從中任取SKIPIF1<0把，有：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0種情況，能將鎖打開的情況有SKIPIF1<0種，分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故所求概率為SKIPIF1<0．故選：C.【典例2-3】若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】甲單獨(dú)去分配的社區(qū)，有將乙，丙，丁三人分為兩組，再和另外兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，有SKIPIF1<0種方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社區(qū)，其余兩人和另外兩個(gè)社區(qū)進(jìn)行全排列，有SKIPIF1<0種方法；其中甲乙分配到同一社區(qū)的方法有SKIPIF1<0種，則乙與甲分配到不同社區(qū)的方法有SKIPIF1<0種，所以乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是SKIPIF1<0故選：B【典例2-4】某密碼鎖的一個(gè)密碼由3位數(shù)字組成，每一位均可取0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，小明隨機(jī)設(shè)置了一個(gè)密碼，則恰有兩個(gè)位置數(shù)字相同的概率為（

）A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.27【答案】D【詳解】先從3個(gè)位置中選1個(gè)，從0到9這10個(gè)數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字放入，剩下的兩個(gè)位置再從剩下的9個(gè)數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字放入（兩個(gè)位置數(shù)字相同），有SKIPIF1<0種方法，所以所求概率SKIPIF1<0．故選:D.【典例2-5】某國計(jì)劃采購疫苗，現(xiàn)在成熟的疫苗中，三種來自中國，一種來自美國，一種來自英國，一種由美國和德國共同研發(fā)，從這6種疫苗中隨機(jī)采購三種，若采購每種疫苗都是等可能的，則買到中國疫苗的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】沒有買到中國疫苗的概率為SKIPIF1<0，所以買到中國疫苗的概率為SKIPIF1<0．故選：D．3、事件的獨(dú)立性、條件概率與全概率公式【典例3-1】我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：D【典例3-2】奧密克戎變異毒株傳染性強(qiáng)、傳播速度快隱蔽性強(qiáng)，導(dǎo)致上海疫情嚴(yán)重，牽動(dòng)了全國人民的心．某醫(yī)院抽調(diào)了包括甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生隨機(jī)派往上海①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生，“醫(yī)生甲派往①醫(yī)院”記為事件A：“醫(yī)生乙派往①醫(yī)院”記為事件B；“醫(yī)生乙派往②醫(yī)院”記為事件C，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】將甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生派往①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生有SKIPIF1<0個(gè)基本事件，它們等可能．事件A含有的基本事件數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，事件AB含有的基本事件數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0事件AC含有的基本事件數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即事件A與B相互不獨(dú)立，事件A與C相互不獨(dú)立，故A、B不正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C．【典例3-3】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”，B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①②③三個(gè)村莊義診的試驗(yàn)有SKIPIF1<0個(gè)基本事件，它們等可能，事件SKIPIF1<0含有的基本事件數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0含有的基本事件個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故選：A【典例3-4】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKI