新高考數學一輪復習 講與練第34講 隨機變量及其分布列（解析版）

第34講隨機變量及其分布列學校____________姓名____________班級____________知識梳理隨機變量及其分布列的數字特征1.離散型隨機變量一般地，如果隨機試驗的樣本空間為Ω，而且對于Ω中的每一個樣本點，變量X都對應有唯一確定的實數值，就稱X為一個隨機變量.其所有可能的取值都是可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列一般地，若離散型隨機變量X的取值范圍是{x1，x2，…，xn}，如果對任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，則稱X的概率分布是已知的，離散型隨機變量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，這個表格稱為X的概率分布或分布列.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn3.離散型隨機變量的分布列的性質(1)pk≥0，k＝1，2，…，n；(2)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1.4.離散型隨機變量的數學期望與方差、標準差一般地，如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi為離散型隨機變量X的均值或數學期望(簡稱為期望).(2)方差D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[xi－E(X)]2pi，能夠刻畫X相對于均值的離散程度(或波動大小)，這稱為離散型隨機變量X的方差.(3)標準差稱eq\r(D（X）)稱為離散型隨機變量X的標準差，它也可以刻畫一個離散型隨機變量的離散程度(或波動大小).5.均值與方差的性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數).分布列1.n次獨立試驗與二項分布(1)n次獨立重復試驗在相同條件下重復n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試驗也常稱為n次獨立重復試驗.(2)二項分布一般地，如果一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為p，記q＝1－p，且n次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則X的取值范圍是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkqn－k，k＝0，1，…，n，因此X的分布列如下表所示X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二項展開式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0中對應項的值，因此稱X服從參數為n，p的二項分布，記作X～B(n，p).2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超幾何分布一般地，若有總數為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M<N)，從所有物品中隨機取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數X是一個離散型隨機變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數，其中s為M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(即n≤N－M)時取0，否則t取n減乙類物品件數之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，這里的X稱為服從參數為N，n，M的超幾何分布，記作X～H(N，n，M).4.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，φ(x)的解析式中含有μ和σ兩個參數，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝eq\r(D（X）)，即X的標準差.φ(x)也常常記為φμ，σ(x).(2)正態(tài)曲線的一些性質①正態(tài)曲線關于x＝μ對稱(即μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；③σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”；σ越大，說明標準差越大，數據的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標準差越小，數據的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.考點和典型例題1、隨機變量及其分布列的數字特征【典例1-1】設10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意，SKIPIF1<0故選：A【典例1-2】已知6件產品中有2件次品，4件正品，檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測，記取到的正品數為X，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】X可能取1，2，3，其對應的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：A【典例1-3】已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數)X0123P0.20.30.4a則下列計算結果正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故A錯誤；由分布列知SKIPIF1<0，故B錯誤；SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：C.【典例1-4】已知隨機變量SKIPIF1<0的分布列為下表所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0由隨機變量SKIPIF1<0的分布列的性質得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：B【典例1-5】已知隨機變量X的分布列如下：236PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【詳解】解：根據分布列可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.2、分布列【典例2-1】一箱中裝有6個同樣大小的紅球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的黃球，編號為7，8，9，10．現從箱中任取4個球，下列變量服從超幾何分布的是（

）A．X表示取出的最小號碼B．若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼C．取出一個紅球記2分，取一個黃球記1分，X表示取出的4個球的總得分D．若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數【答案】C【詳解】超幾何分布的概念為：設總體有N個，其中含有M個不合格品。若從中隨機不放回抽取n個產品，則不合格品的個數X是一個離散隨機變量，若n>M，則可能取0,1,2…，M，由古典方法可以求得SKIPIF1<0的概率是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假如n≤M，則X可能取0,1,2…，n；此時求得SKIPIF1<0的概率是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據超幾何分布的定義，可知ABD均不合要求，C選項滿足A選項，X可能取值為1,2,3,4,5,6,7，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，X的分布列為：X1234567PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0B選項，若有放回的取球時，X表示取出的最大號碼，則X的取值可能為1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故不滿足超幾何分布；C選項，X表示取出的4個球的總得分，則X的取值可能為4,5,6,7,8，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然滿足超幾何分布，D選項，若有放回的取球時，X表示取出的黃球個數，則X的可能取值為0,1,2,3,4，由于是有放回的取球，故SKIPIF1<0，故D不滿足超幾何分布；故選：C【典例2-2】設隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由于隨機變量SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：C.【典例2-3】已知隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因為隨機變量SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：B．【典例2-4】某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于SKIPIF1<0，則n的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【詳解】SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即每個零件合格的概率為SKIPIF1<0合格零件不少于2件的對立事件是合格零件個數為零個或一個．合格零件個數為零個或一個的概率為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0故選：C.【典例2-5】設隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：因為隨機變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0隨機變量SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故選：A3、分布列的綜合應用【典例3-1】甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：(1)在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？(2)若采用三局二勝制，求比賽場次SKIPIF1<0的分布列及數學期望．【答案】(1)在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大(2)分布列見解析，SKIPIF1<0.【解析】(1)解：①如果采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：SKIPIF1<0（甲凈勝二局），SKIPIF1<0（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）．SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互斥，所以甲勝概率為SKIPIF1<0．②如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：SKIPIF1<0（甲凈勝3局），SKIPIF1<0（前3局甲2勝1負，第四局甲勝），SKIPIF1<0（前四局各勝2局，第五局甲勝）．因為SKIPIF1<0互斥，所以甲勝概率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由①，②可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大．(2)解：依題意可得SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<023SKIPIF1<00.520.48所以SKIPIF1<0【典例3-2】選手參加電視臺舉辦的“中國詩詞大會”競答比賽．選手對每個問題回答的結果，只能是正確或錯誤兩種情況，每個問題回答正確的概率為SKIPIF1<0．選手首先依次回答3個問題，一旦出觀2個問題回答錯誤，則被淘汰：如果3個問題回答都正確，則算過關；如果3個問題中有1個回答錯誤，則進入下一輪附加賽，選手再依次回答2個新問題，一旦出現問題回答錯誤，則也被淘汰；若2個問題回答都正確，則也算過關．選手回答每個問題正確與否是相互獨立的．(1)求選手過關的概率；(2)若選手回答一個問題耗時3分鐘，試估計選手平均用11分鐘能否完成這個競答比賽？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)選手平均用11分鐘能完成這個競答比賽【解析】(1)選手過關的概率SKIPIF1<0(2)設選手完成這個競答比賽時回答問題的個數為SKIPIF1<0，其可能值為：2，3，4，5．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故回答問題的個數SKIPIF1<0的數學期望為SKIPIF1<0從而選手完成這個競答比賽平均用時為SKIPIF1<0故選手平均用11分鐘能完成這個競答比賽．【典例3-3】“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心，據此，某網站調查了人們對生態(tài)文明建設的關注情況，現從參與調查的關注生態(tài)文明建設的人員中隨機選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求SKIPIF1<0的值，并求這200人年齡的中位數（保留一位小數）；(2)現在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機選出3人進行問卷調查，記SKIPIF1<0為選出的3人中屬于第1組的人數，求SKIPIF1<0的分布列和數學期望SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0，中位數為42.1歲(2)分布列答案見解析，數學期望：SKIPIF1<0【解析】(1)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設中位數為x歲，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故這200人年齡的中位數為42.1歲(2)第1，2組的頻率比是：SKIPIF1<0在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，其中第1組2人，第2組3人SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典例3-4】W企業(yè)D的產品p正常生產時，產品p尺寸服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，從當前生產線上隨機抽取200件產品進行檢測，產品尺寸匯總如下表．產品尺寸/mm[76，78.5](78.5，79](79，79.5](79.5，80.5]件數4272780產品尺寸/mm(80.5，81](81，81.5](81.5，83]件數36206根據產品質量標準和生產線的實際情況，產品尺寸在SKIPIF1<0以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產線出現異常，產品尺寸在SKIPIF1<0以內為正品，以外為次品．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)判斷生產線是否正常工作，并說明理由；(2)用頻率表示概率，若再隨機從生產線上取3件產品復檢，正品檢測費10元/件，次品檢測費15元/件，記這3件產品檢測費為隨機變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數學期望及方差．【答案】(1)生產線沒有正常工作；理由見解析(2)數學期望是SKIPIF1<0（元）；方差是SKIPIF1<0【解析】(1)依題意，有SKIPIF1<0，所以正常產品尺寸范圍為(78.5，81.5]．生產線正常工作，次品不能多于SKIPIF1<0，而實際上，超出正常范圍以外的零件數為10，故生產線沒有正常工作．(2)依題意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率為SKIPIF1<0．記這3件產品中次品件數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0服從二項分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的數學期望是SKIPIF1<0（元），方差是SKIPIF1<0．【典例3-5】一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，SKIPIF1<0．（1）已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：SKIPIF1<0的一個最小正實根，求證：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【解析】（1）SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0有兩個不同零點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0