2017-2018年高考真題解答題專項(xiàng)訓(xùn)練：圓錐曲線(理科)教師版

試卷第=page22頁(yè)，總=sectionpages1616頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages1616頁(yè)2017--2018年高考真題解答題專項(xiàng)訓(xùn)練：圓錐曲線（理科）教師版1．（2017.上海卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ:x24+y2=1，A為上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，M為x正半軸上的動(dòng)點(diǎn).（1）若P在第一象限，且|OP|=2（2）設(shè)P(85,35)，若以A、（3）若|MA|=|MP|，直線AQ與Γ交于另一點(diǎn)C，且A求直線AQ的方程.試題分析：（1）聯(lián)立Γ:x24+（2）設(shè)M(m,0)，MA?MPPA（3）設(shè)P(x0,y0)，線段AP的中垂線與∴Q(-32x0,-3解得x0=859，y02．（2017.新課標(biāo)3卷）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.試題解析：（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑.由于圓過(guò)點(diǎn)，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.3．（2017.浙江卷）如圖，已知拋物線x2=y.點(diǎn)A-（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求PA·試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線AP的斜率為k，k=x因?yàn)?12<x<32（Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程kx-y+解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ因?yàn)閨PA|=1+k2(x+|PQ|=1+k所以PA?令f(k)=-(k-1)(k+1)因?yàn)閒'(k)=-(4k-2)(k+1)所以f(k)在區(qū)間(-1,12)因此當(dāng)k=12時(shí)，|PA|?|PQ|取得最大值274．（2017.北京卷）已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)．過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．試題解析：（Ⅰ）由拋物線C：過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.所以拋物線C的方程為.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為，.由，得.則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?故A為線段BM的中點(diǎn).5．（2017.山東卷）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.試題解析：（I）由題意知，，所以，因此橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為由題設(shè)知，所以因此直線的方程為.聯(lián)立方程得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以，因此，所以最大值為.綜上所述：的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.6．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:x22+y2=1上，過(guò)M作x（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且OP?PQ=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C試題解析：解：（1）設(shè)P（x，y），M（x0,y0由NP=2NM因?yàn)镸（x0,y因此點(diǎn)P的軌跡為x2由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則OQ=OP=由OP?PQ=1得-3m-m2+tn-3+3m-tn=0.所以O(shè)Q?PF=07．（2017.天津卷）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)的坐標(biāo)為.依題意，，，，解得，，，于是.所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為.（Ⅱ）解：設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可學(xué)*科.網(wǎng)得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.8．（2017.江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1,過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).試題解析：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由（1）知，，.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，故.當(dāng)時(shí)，與相交于，與題設(shè)不符.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為.因?yàn)椋?，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：，①直線的方程：.②由①②，解得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性，得，即或.又在橢圓E上，故.由，解得；，無(wú)解.因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為.9．（2017.新課標(biāo)1卷）已知橢圓C：x2a2+y（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).P試題解析：（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3又由1a2+1b2>1a2+因此1b2=1故C的方程為x2（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，4-t22），（t則k1+k從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1）.將y=kx+m代入x2(4由題設(shè)可知Δ=設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km4k2+1，x1而k==2k由題設(shè)k1+k即(2k+1)?4解得k=-m+1當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí)，Δ>0，欲使l：y=-m+12x+m所以l過(guò)定點(diǎn)（2，-1）10．（2018年浙江卷）如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；（Ⅱ）若P是半橢圓x2+y2詳解：（Ⅰ）設(shè)P(x0,y0因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y(y+y0所以y1因此，PM垂直于y軸．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y所以|PM|=18(因此，△PAB的面積S△PAB因?yàn)閤02+因此，△PAB面積的取值范圍是[6211．（2018年天津卷）設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因?yàn)?，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或12．（2018年北京卷）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，QM=λQO，QN=μQO，求證詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由y2=4xy=kx+1依題意Δ=(2k-4)2-4×k2又PA，PB與y軸相交，故直線l不過(guò)點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知x1+x直線PA的方程為y–2=y-2=y令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN由QM=λQO，QN=μ所以1λ所以1λ+13．（2018年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C過(guò)點(diǎn)(3,12)，焦點(diǎn)F（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)．若△OAB的面積為267，求直線詳解：解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為F1可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y所以3a2因此，橢圓C的方程為x2因?yàn)閳AO的直徑為F1F2（2）①設(shè)直線l與圓O相切于P(x0,所以直線l的方程為y=-x0y由x24+(4x因?yàn)橹本€l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=(-24因?yàn)閤0,y因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2②因?yàn)槿切蜲AB的面積為267，所以12設(shè)A(x由（*）得x1,2所以A=(1+x因?yàn)閤0所以AB2=解得x02=52(x綜上，直線l的方程為y=-514．（2018年新課標(biāo)1卷）設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.詳解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程為由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,22)所以AM的方程為y=-22x+（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，A(x則x1<2,x2<2由y1kMA將y=k(x-1)代入x2(2k所以，x1則2kx從而kMA+kMB=0，故MA，MB綜上，∠OMA=∠OMB.15．（2018年新課標(biāo)3卷）已知斜率為k的直線l與橢圓C：??x24+y23（1）證明：k<-1（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0．證明：FA詳解：（1）設(shè)A(x1,兩式相減，并由y1x1由題設(shè)知x1k=-3由題設(shè)得0<m<32，故（2）由題意得F(1,0)，設(shè)P((x由（1）及題設(shè)得x3又點(diǎn)P在C上，所以m=34，從而P(1,-3于是|FA同理|FB所以|FA故2|FP|=|FA|+|FB設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|=||FB將m=34代入①得所以l的方程為y=-x+74，代入C的方程，并整理得故x1+x2所以該數(shù)列的公差為32128或16．（2018年新課標(biāo)2卷）設(shè)拋物線C：??y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A（1）求l