第七章概率全章總結(jié)提升課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第七章概率全章總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯(cuò)易混·銜接高考網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專(zhuān)題突破·素養(yǎng)提升專(zhuān)題一頻率與概率頻率是概率的近似值,是隨機(jī)的,隨著試驗(yàn)的不同而變化;概率是多次的試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定值,是一個(gè)常數(shù),不能用一次或少數(shù)次試驗(yàn)中的頻率來(lái)估計(jì)概率.【例1】

射手甲中靶的概率是0.9,因此我們認(rèn)為,即使射手甲比較優(yōu)秀,他射擊10發(fā)子彈也不可能全中,其中必有一發(fā)不中,試判斷這種認(rèn)識(shí)正確與否.解

射手甲射擊一次,中靶是隨機(jī)事件,他射擊10次可以看作是重復(fù)做了10次試驗(yàn),而每次試驗(yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的,所以10次的結(jié)果也是隨機(jī)的,這10次射擊可能一次也不中,也可能中一次、二次、…、甚至十次都中.雖然中靶是隨機(jī)事件,但卻具有一定的規(guī)律性,概率為0.9,是說(shuō)在多次的試驗(yàn)中,中靶的可能性穩(wěn)定在0.9,實(shí)際上,他10發(fā)子彈全中的概率為0.910≈0.349,這是有可能發(fā)生的.因此題中認(rèn)識(shí)不正確.規(guī)律方法

概率與頻率的關(guān)系隨機(jī)事件的概率是指在相同的條件下,大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn),隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性.這時(shí),我們把這個(gè)常數(shù)叫作事件A的概率,記作P(A).它反映的是這個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小.一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性(對(duì)單次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)),又有規(guī)律性(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)).其概率一般不好求,但可以用頻率來(lái)估計(jì).變式訓(xùn)練1對(duì)一批U盤(pán)進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率

(1)計(jì)算表中次品的頻率(結(jié)果精確到0.001).(2)從這批U盤(pán)中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少?(3)為保證買(mǎi)到次品的顧客能夠及時(shí)更換,要銷(xiāo)售2000個(gè)U盤(pán),至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤(pán)?解

(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來(lái)越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng),所以從這批U盤(pán)中任抽一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤(pán),為保證其中有2

000個(gè)正品U盤(pán),則x(1-0.020)≥2

000,因?yàn)閤是正整數(shù),所以x≥2

041,即至少需進(jìn)貨2

041個(gè)U盤(pán).專(zhuān)題二互斥事件與對(duì)立事件的概率及應(yīng)用若事件A1,A2,…,An彼此互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).設(shè)事件A的對(duì)立事件是,則P(A)=1-P().【例2】

在數(shù)學(xué)考試中,小王的成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下(不含60分)的概率是0.07,此時(shí)視為考試不及格.求:(1)小王在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上(含80分)成績(jī)的概率;(2)小王數(shù)學(xué)考試及格的概率.解

設(shè)小王的成績(jī)?cè)?0分以上(含90分),在[80,90),在60分以下(不含60分)分別為事件A,B,C,且A,B,C兩兩互斥.(1)設(shè)小王的成績(jī)?cè)?0分以上(含80分)為事件D,則D=A∪B,所以P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.18+0.51=0.69.(2)設(shè)小王數(shù)學(xué)考試及格為事件E,由于事件E與事件C為對(duì)立事件,所以P(E)=1-P(C)=1-0.07=0.93.規(guī)律方法

互斥事件與對(duì)立事件的概率求法運(yùn)用互斥事件的概率加法公式時(shí),首先要確定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分別求出各事件發(fā)生的概率,再求和.求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和,運(yùn)用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其對(duì)立事件的概率,然后再運(yùn)用公式P(A)=1-P()求解.變式訓(xùn)練2某服務(wù)電話(huà),打進(jìn)的電話(huà)響第1聲時(shí)被接的概率是0.1;響第2聲時(shí)被接的概率是0.2;響第3聲時(shí)被接的概率是0.3;響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.(1)打進(jìn)的電話(huà)在響5聲之前被接的概率是多少?(2)打進(jìn)的電話(huà)響4聲而不被接的概率是多少?解

(1)設(shè)事件“電話(huà)響第k聲時(shí)被接”為Ak(k∈N+),那么事件Ak彼此互斥,設(shè)“打進(jìn)的電話(huà)在響5聲之前被接”為事件A,根據(jù)互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)由(1)知事件“打進(jìn)的電話(huà)響4聲而不被接”是事件“打進(jìn)的電話(huà)在響5聲之前被接”的對(duì)立事件,記為

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.專(zhuān)題三古典概型古典概型是一種最基本的概率模型,也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),在高考題中,經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn),即有限性和等可能性.【例3—1】

(多選題)隨機(jī)地排列數(shù)字1,2,6得到一個(gè)三位數(shù),則(

)A.可以排成6個(gè)不同的三位數(shù)AC【例3—2】

已知函數(shù)f(x)=ax2+2bx-1.(1)若a,b都是從集合{1,2,3}中任取的一個(gè)數(shù),求函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減的概率;(2)若a是從集合{1,2,3}中任取的一個(gè)數(shù),b是從集合{1,2,3,4}中任取的一個(gè)數(shù),求方程f(x)=0在區(qū)間(-∞,-3)上有實(shí)數(shù)根的概率.解

(1)記“函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減”為事件A.由于a,b都是從集合{1,2,3}中任取的一個(gè)數(shù),則基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9種,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減,則有則事件A包含其中的6個(gè)基本事件,(2)記“方程f(x)=0在區(qū)間(-∞,-3)上有實(shí)數(shù)根”為事件B,由于a是從集合{1,2,3}上任取的一個(gè)數(shù),b是從集合{1,2,3,4}上任取的一個(gè)數(shù),則基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共12種,由題意知a>0,f(0)=-1,所以方程f(x)=0在區(qū)間(-∞,-3)上有實(shí)數(shù)根,則有f(-3)<0,即9a-6b-1<0,則事件B包含其中的5個(gè)基本事件,所以所求的概率P(B)=規(guī)律方法

古典概型的概率求法在求古典概型問(wèn)題的概率時(shí),往往需要我們將所有樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái),以便確定樣本點(diǎn)總數(shù)及事件所包含的樣本點(diǎn)數(shù).這就是我們常說(shuō)的列舉法.在列舉時(shí)應(yīng)注意按一定的規(guī)律、標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.變式訓(xùn)練3從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是(

)D解析

∵當(dāng)b=1時(shí),沒(méi)有滿(mǎn)足條件的a值;當(dāng)b=2時(shí),a=1;當(dāng)b=3時(shí),a可以是1,可以是2,∴共3個(gè)樣本點(diǎn).而從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a,再?gòu)膡1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)b,共有3×5=15個(gè)樣本點(diǎn),專(zhuān)題四相互獨(dú)立事件的概率設(shè)A,B為兩個(gè)事件,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立.如果事件A與B相互獨(dú)立,那么A與

與B,也都相互獨(dú)立.【例4】

甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束,設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各自投籃互不影響.(1)求甲乙各投球一次,比賽結(jié)束的概率;(2)求甲獲勝的概率.解

設(shè)事件Ak表示“甲在第k次投籃投中”,其中k=1,2,3,設(shè)事件Bj表示“乙在第j次投籃投中”,其中j=1,2,3,規(guī)律方法

相互獨(dú)立事件概率的求法(1)首先要搞清事件間的關(guān)系(是否彼此互斥、是否相互獨(dú)立、是否對(duì)立),正確區(qū)分“互斥事件”與“對(duì)立事件”.當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B相互獨(dú)立時(shí),才有P(AB)=P(A)P(B).(2)某些事件若含有較多的互斥事件,可考慮其對(duì)立事件的概率,這樣可減少運(yùn)算量,提高準(zhǔn)確率.要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練4[2024山東濟(jì)寧期末]一個(gè)不透明的箱子中有4個(gè)紅球、2個(gè)藍(lán)球(球除顏色外,沒(méi)有其他差異).(1)若從箱子中不放回地隨機(jī)抽取兩球,求兩球顏色相同的概率;(2)若從箱子中有放回地抽取兩球,求兩球顏色相同的概率.解

(1)把4個(gè)紅球標(biāo)記為A1,A2,A3,A4,2個(gè)藍(lán)球標(biāo)記為B1,B2,從箱子中隨機(jī)抽取兩球的樣本空間為Ω={A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2},共有15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件E=“從箱子中隨機(jī)抽取兩球且顏色相同”,則事件E={A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,B1B2},包含7個(gè)樣本點(diǎn),所以(2)設(shè)事件F=“從箱子中有放回地抽取兩球且顏色相同”,事件M=“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”,事件N=“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍(lán)球”,則F=M∪N,且事件M與N互斥,易錯(cuò)易混·銜接高考12345671.有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部,60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部,70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部,若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部,則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為(

)A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1A解析

50+60-70=40人報(bào)名足球和乒乓球俱樂(lè)部,因此所求概率為

=0.8,故選A.12345672.[2024江蘇鎮(zhèn)江期中]下列說(shuō)法正確的是(

)①已知a>b,b>c,那么事件“a>c”有可能不發(fā)生;②隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等;③如果一個(gè)事件發(fā)生的概率為99.9999%,那么說(shuō)明此事件必然發(fā)生;④只有不確定事件有概率;⑤若事件A發(fā)生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1.A.⑤

B.③⑤C.③④⑤ D.②③④⑤A1234567解析

對(duì)于①,如果a>b,b>c,那么“a>c”是必然事件,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,隨機(jī)試驗(yàn)多次重復(fù)發(fā)生時(shí),頻率會(huì)越來(lái)越靠近概率,但不一定等于概率,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,如果一事件發(fā)生的概率為99.999

9%,那么只能說(shuō)明此事件發(fā)生的可能性非常大,不代表一定發(fā)生,所以不能說(shuō)是必然事件,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,確定事件也有概率,故④錯(cuò)誤;對(duì)于⑤,若事件A發(fā)生的概率為P(A),由概率的性質(zhì)可知0≤P(A)≤1.故⑤正確.12345673.[2024浙江舟山期末]已知事件A,B,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,如果事件A與B互斥,那么P(AB)=p1;如果事件A與B相互獨(dú)立,那么P(A+)=p2,則(

)A.p1=0,p2=0.9 B.p1=0.42,p2=0.9C.p1=0,p2=0.72 D.p1=0.42,p2=0.45C12345674.[2024山東日照期末]2023年10月25日,神舟十七號(hào)載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功點(diǎn)火發(fā)射.在太空站內(nèi)有甲、乙、丙三名航天員依次出倉(cāng)進(jìn)行同一試驗(yàn),每次只派一人,每人最多出倉(cāng)一次.若前一人試驗(yàn)不成功,返倉(cāng)后派下一人重復(fù)進(jìn)行該試驗(yàn);若試驗(yàn)成功,終止試驗(yàn).已知甲、乙、丙各自出倉(cāng)試驗(yàn)成功的概率分別為,每人出倉(cāng)試驗(yàn)?zāi)芊癯晒ο嗷オ?dú)立,則該項(xiàng)試驗(yàn)最終成功的概率為(

)D123456712345675.(多選題)如圖所示的電路中,5個(gè)盒子表示保險(xiǎn)匣,設(shè)5個(gè)盒子分別為A,B,C,D,E.盒中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率,下列結(jié)論正確的是(

)CD123456712345676.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí),其中乙、丙兩級(jí)均屬次品,若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.04,出現(xiàn)丙級(jí)品的概率為0.01,則對(duì)成品抽查一件抽得正品的概率為

.

0.95解析

記事件A={抽得甲級(jí)品},B={抽得乙級(jí)品},C={抽得丙級(jí)品},因?yàn)槭录嗀,B,C互為互斥事件,且三個(gè)