雅安市重點中學2024-2025學年高三期末數(shù)學試題含解析

雅安市重點中學2024-2025學年高三期末數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)復數(shù)，則=（）A．1 B． C． D．2．關(guān)于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線：（，）的焦距為.點為雙曲線的右頂點，若點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的離心率是（）A． B． C．2 D．34．的展開式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．505．已知定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或6．已知集合，，則（）A． B．C．或 D．7．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對應的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．集合，，則()A． B． C． D．9．在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．10．從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．9611．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．由實數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，點在單位圓上，設(shè)，且．若，則的值為________________.14．將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是6的的概率是___．15．雙曲線的焦距為__________，漸近線方程為________．16．已知，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線為，試求實數(shù)，的值；（2）當時，若有兩個極值點，，且，，若不等式恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是直角梯形，為側(cè)棱上一點，已知.（Ⅰ）證明:平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。20．（12分）在銳角中，分別是角的對邊，，，且．（1）求角的大??；（2）求函數(shù)的值域．21．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：22．（10分）函數(shù)（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)復數(shù)的除法運算，代入化簡即可求解.【詳解】復數(shù)，則故選：A.本題考查了復數(shù)的除法運算與化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.2．B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，，若，能與構(gòu)成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.3．A【解析】

由點到直線距離公式建立的等式，變形后可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，，即，，．故選：A．本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎(chǔ)．4．C【解析】

先寫出的通項公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.5．D【解析】

先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D此題考查根據(jù)導函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.6．D【解析】

首先求出集合，再根據(jù)補集的定義計算可得；【詳解】解：∵，解得∴，∴.故選：D本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．8．A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.9．D【解析】

利用直線與圓相交求出實數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.本題考查幾何概型概率的計算，同時也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時，共有?=72種選擇方案；②當甲學生不參加任何比賽時，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設(shè)出點，通過，找出與的關(guān)系．通過數(shù)量積的坐標表示，將表示成與的關(guān)系式，消元，轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設(shè)，則直線，設(shè)點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．12．C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出，由同角三角函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求得，而，展開后即可由余弦差角公式求得的值.【詳解】點在單位圓上，設(shè)，由三角函數(shù)定義可知，因為，則，所以由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得，所以故答案為：.本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應用，余弦差角公式的應用，屬于中檔題.14．【解析】

先求出基本事件總數(shù)6×6＝36，再由列舉法求出“點數(shù)之和等于6”包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出“點數(shù)之和等于6”的概率．【詳解】基本事件總數(shù)6×6＝36，點數(shù)之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為本題考查古典概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．15．6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.16．【解析】

首先把零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題，等價于有三個零點，兩側(cè)開方，可得，即有三個零點，再運用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點，即零點有，顯然，則有，可得，即有三個零點，不妨令，對于，函數(shù)單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解，對于函數(shù)，，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當時，，當時，，此時函數(shù)若有兩個零點，則有，綜上可知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：本題考查了函數(shù)零點的零點，恰當?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點問題，注意恰有三個零點條件的應用，根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意，求得的值，根據(jù)切點在切線上以及斜率等于，構(gòu)造方程組求得的值；（2）函數(shù)有兩個極值點，等價于方程的兩個正根，，不等式恒成立，等價于恒成立，，令，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到的范圍，即的范圍.【詳解】（1）由題可知，，，聯(lián)立可得．（2）當時，，，有兩個極值點，，且，，是方程的兩個正根，，，不等式恒成立，即恒成立，，由，，得，，令，，在上是減函數(shù)，，故．該題考查的是有關(guān)導數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的極值點的個數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，應用導數(shù)研究函數(shù)的值域得到參數(shù)的取值范圍，屬于較難題目.18．（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)先證明

，再證明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求證所求證；(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證：由已知得又平面，平面，，而故，平面平面，平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，有，又，故所以相似，故有，即所以，以為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，是平面的一個法向量設(shè)平面的一個法向量為令，則是平面的一個法向量=又二面角為鈍二面角，其余弦值為.本題考查線面、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直觀想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.19．(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當時，，于是，.又因為，當時，且.故當時，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，①當時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，，為上的減函數(shù)；當時，，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點；②當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；③當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值，綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點.設(shè)，，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域為，所以，當實數(shù)時，在上存在零點.下面證明，當時，函數(shù)在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，，為上的減函數(shù)；當時，，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點.綜上所述，當時，函數(shù)在上存在極值.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應用，是一道綜合題．20．（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐標表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得，進而得到；（2）利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為，根據(jù)的范圍可確定的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】（1），，由正弦定理得：，即，，，，又，.（2）在銳角中，，．．，，，，函數(shù)的值域為．本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應用問題；涉及到共線向量的坐標表示、利用三角恒等變換公式化簡求值、正弦定理邊化角的應用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識.21．（1）（2）見解析【解析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用