考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷2（共118題）

考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷2（共4套）（共118題）考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則F(x)()A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、恒為零D、不為常數(shù)標準答案：A知識點解析：因esinxsinx是以2π為周期的周期函數(shù)，所以又esinxcos2x≥0，故選A．2、設(shè)f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，則之值()A、僅與a有關(guān)B、僅與a無關(guān)C、與a及k都無關(guān)D、與a及k都有關(guān)標準答案：C知識點解析：因為f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，所以故此積分與a及k都無關(guān)．3、設(shè)f(x)是以T為周期的可微函數(shù)，則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是()A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：當g(x+T)=g(x)時，因為因為f(x)是以T為周期的函數(shù)，所以4個選項中的被積函數(shù)都是以T為周期的周期函數(shù)，但是僅是以T為周期的函數(shù)．4、下列反常積分收斂的是()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：選項A中，收斂；在選項D中，發(fā)散．5、平面π與π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距離之比為1：3，則平面π的方程為()．A、x一2y＋z＝0B、x一2y＋z一3＝0C、x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D、x一2y＋z—4＝0標準答案：C知識點解析：設(shè)所求平面為π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一點，因為d1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，選（C）。6、設(shè)則有()．A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2標準答案：D知識點解析：三條直線的方向向量為s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因為s1.s2＝0，所以L1⊥L2，選(D)．7、拋物線y2=2x與直線y=x一4所圍成的圖形的面積為().A、B、18C、D、8標準答案：B知識點解析：選積分變量為y(如圖1．3—2)，兩條曲線的交點8、曲線上相應(yīng)于x從3到8的一段弧的長度為().A、B、C、9D、6標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)9、設(shè)z＝f(x，y)二階可偏導(dǎo)，＝2，且f(x，0)＝1，fy’(x，0)＝x，則f(x，y)＝__________．標準答案：y2＋xy＋1知識點解析：由得，因為fy’(x，0)＝x,所以φ(x)＝x，即＝2y＋x，z＝y(tǒng)2＋xy＋C，因為f(x，0)＝1，所以C＝1，于是z＝y(tǒng)2＋xy＋1．10、設(shè)(ay一Zxy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，則a＝_________，b＝___________。標準答案：a＝4，b＝一2知識點解析：令P(x，y)＝ay一2xy2，Q(x，y)＝bx2y＋4x＋3，因為(ay一2xy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，所以，于是a＝4，b＝一2．11、函數(shù)u＝x2一2yz在點(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)最大值為___________．標準答案：知識點解析：函數(shù)u＝x2一2yz在點(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)的最大值即為函數(shù)u＝x2一2yz在點(1，一2，2)處的梯度的模，而gradu｜(1，－2，2)＝{2x，一2z，一Zy}｜(2，－2，2)＝{2，一4，4}，方向?qū)?shù)的最大值為．12、設(shè)標準答案：a知識點解析：f(x)是抽象函數(shù)，不能具體地計算積分，要用積分中值定理，然后再計算極限．13、定積分標準答案：知識點解析：x2sinx是奇函數(shù)，故在上的定積分值為0．原積分14、設(shè)標準答案：知識點解析：作定積分換元x+1=t，15、標準答案：0知識點解析：被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間[一2，2]上積分為零．16、設(shè)兩曲線y=f(x)與在點(0，0)處有相同的切線，則標準答案：2知識點解析：由已知條件知17、=__________(a為常數(shù)，n為自然數(shù))．標準答案：0知識點解析：顯然積分難以積出．考慮積分中值定理，其中ξ2介于x，x+a之間．所以18、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且則f(7)=________．標準答案：知識點解析：要從變上限積分得到被積函數(shù)，可以對變限積分求導(dǎo)．等式兩邊對x求導(dǎo)得19、設(shè)，則=_________．標準答案：知識點解析：令所以20、設(shè)，則a=_________．標準答案：2知識點解析：所以ea=(a－1)ea,a=2三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)21、計算其中，當x≥0時，f(x)=x，而標準答案：知識點解析：暫無解析22、已知f(x)連續(xù)，的值．標準答案：令x一t=u，有于是兩邊對x求導(dǎo)，得在上式中，令知識點解析：暫無解析23、計算標準答案：知識點解析：暫無解析24、設(shè)，證明：(1)，并由此計算Ln；(2)標準答案：知識點解析：暫無解析25、設(shè)f(x，y，z)連續(xù)，∑為曲面2z＝x2＋y2位于z＝2與z＝8之間部分的上側(cè)，計算[yf(x，y，z)＋x]dydz＋[xf(x，y，z)＋y]dzdx＋[2xyf(x，y，z)＋z]dzdy.標準答案：曲面2z＝x2＋y2上任一點(x，y，z)指向上側(cè)的法向量為n＝{一x，一y，1)，法向量的方向余弦為知識點解析：暫無解析26、設(shè)＋xcosydy＝t2，f(x，y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求f(x，y)．標準答案：因為曲線積分與路徑無關(guān)，所以有cosy＝fy’(x，y)，則f(x，y)＝siny＋C(x)，而知識點解析：暫無解析27、設(shè)L為曲線｜x｜＋｜y｜＝1的逆時針方向，計算標準答案：知識點解析：暫無解析28、位于點(0，1)的質(zhì)點A對質(zhì)點M的引力大小為(其中常數(shù)k＞0，且r＝｜AM｜)，質(zhì)點M沿曲線L：自點B(2，0)到點(0，0)，求質(zhì)點A對質(zhì)點M所做的功．標準答案：知識點解析：暫無解析29、在變力F＝{yz，xz，xy)的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點M(ξ，η，ζ)，問ξ，η，ζ取何值時，F(xiàn)所做的功最大?求最大的功．標準答案：設(shè)原點O到點M(ξ，η，ζ)的直線為L，L的參數(shù)方程為知識點解析：暫無解析30、質(zhì)點P沿以AB為直徑的半圓從點A(1，2)到點B(3，4)運動，受力F的作用，力的大小等于｜OP｜，方向垂直于線段OP且與y軸的夾角為銳角，求力F所做的功．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：2、積分=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：3、設(shè)f(x)在[a，b]上非負，在(a，b)內(nèi)f’’(x)＞0，f’(x)＜0．I1=[f(b)+f(a)]，I2=f(x)dx，I3=(b-a)f(b)，則I1、I2、I3的大小關(guān)系為()A、I1≤I2≤I3B、I2≤I3≤I1C、I1≤I3≤I2D、I3≤I2≤I1標準答案：D知識點解析：如圖1．3-1所示，I1是梯形AabB的面積，I2是曲邊梯形AabB的面積，I3是長方形A1abB的面積．由于f’(x)＜0，f’’(x)＞0，y=f(x)單調(diào)減少且圖形為凹．由圖1．3-1可知I3≤I2≤I1．4、設(shè)，則()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q標準答案：D知識點解析：x2sin3x是奇函數(shù)，故N=0，x3ex2是奇函數(shù)，故所以P≤N≤Q．5、設(shè)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分中，必為偶函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)(請讀者自己證之．但要注意，偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)只有為奇函數(shù)，因為其它原函數(shù)與此原函數(shù)只差一個常數(shù)，而奇函數(shù)加上一個非零常數(shù)后就不再是奇函數(shù)了)，選項(A)中被積函數(shù)為奇函數(shù)，選項(B)，(C)被積函數(shù)都是偶函數(shù)．選項(D)中雖不能確定為偶函數(shù)，但為非負函數(shù)，故變上限積分必不是偶函數(shù)，應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、將分解為部分分式的形式為_________標準答案：知識點解析：暫無解析7、設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為Inx，則f’(x)=_________標準答案：知識點解析：由題設(shè)，∫fx)dx=lnx+C，f(x)=(lnx+C)’=8、已知函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=，則F(x)=________標準答案：知識點解析：由題意F’(x)=f(x)=9、=______標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：10、積分=__________標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：11、=________標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、若，則f(x)=_________標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：13、=_________標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、計算下列積分：標準答案：(1)因分段函數(shù)[x]=則由定積分的分段可加性得(3)令t=x-2n，則由定積分的分段可加性與分部積分得，知識點解析：暫無解析15、求標準答案：原式知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(sin2x)=標準答案：令u=sin2x，則有知識點解析：暫無解析17、計算定積分標準答案：令1-x=sint，則知識點解析：暫無解析18、計算定積分標準答案：知識點解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)x=x(y)由方程x(y-x)2=y所確定，試求不定積分標準答案：令y-x=t，則(y-t)t2=y，故從而有得t3-3t=A(t3+t2-t-1)+B(t2+2t+1)+C(t3-t2-t+1)+D(t2-2t+1)=(A+C)t3+(A+B-C+D)t2+(-A+2B-C-2D)t-A+B+C+D．比較t的同次冪的系數(shù)得知識點解析：暫無解析20、計算f(t)g(x-t)dt(x≥0)，其中，當x≥0時，f(x)=x，而標準答案：方法一令x=u-t，則g(x)=g(u-t)=于是知識點解析：暫無解析21、已知f(x)連續(xù)，標準答案：令x-t=u，兩邊對x求導(dǎo)，得知識點解析：暫無解析22、計算標準答案：原式知識點解析：暫無解析23、設(shè)，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析24、計算標準答案：由分部積分法可知知識點解析：暫無解析對于實數(shù)x＞0，定義對數(shù)函數(shù)依此定義試證：25、ln=-lnx(x＞0)；標準答案：令ξ=，則有知識點解析：暫無解析26、ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)．標準答案：令t=xξ，則有知識點解析：暫無解析27、計算標準答案：由分部積分可得知識點解析：暫無解析28、計算標準答案：因為，所以x=0不是瑕點．知識點解析：暫無解析29、若f(x)=，試證：f’(0)=0；標準答案：因為知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)f(x)=，則f(x)=()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由題中所給式子變形得2、設(shè)sinxdx(k=1，2，3)，則有()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I2＜I1＜I3標準答案：D知識點解析：首先，由I2=I1+可得I2＜I1．其次，I3=故I3＞I1，從而I2＜I1＜I3，故選(D)．3、積分=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：4、積分=()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：設(shè)x=x6，則5、積分=()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、=______標準答案：其中C為任意常數(shù)知識點解析：7、xx(1+lnx)的全體原函數(shù)為_____標準答案：x2+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：因為(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．8、∫(arcsinx)2dx=__________標準答案：x(arcsinx)2+arcsinx-2x+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：9、=_________標準答案：ln2(tanx)+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：10、若∫f(x)dx=F(x)+C且x=at+b(a≠0)，則∫f(t)dt=________標準答案：F(t)+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：因F’(x)=f(x)，故F’(t)=f(t)，于是∫(t)dt=F(t)+C11、積分=_______標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、設(shè)f’(ex)=1+x，則f(x)=_____標準答案：xlnx+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：設(shè)u=ex，則x=lnu，由f’(ex)=1+x，得f’(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+lnu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+C13、積分=________標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)14、設(shè)f(x)=，求∫f(x)dx．標準答案：當x＞1時，∫f(x)dx=∫2dx=2x+C1；當0≤x≤1時，∫f(x)dx=∫xdx=+C2；當x＜0時，∫f(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C3．因為f(x)在(-∞，1)內(nèi)連續(xù)，所以∫f(x)dx在(-∞，1)內(nèi)存在，因而∫f(x)dx在x=0處連續(xù)可導(dǎo)．因此(-cosx+C3)，C2=-1+C3，C3=1+C2．又因x=1為f(x)的第一類間斷點，所以在包含x=1的區(qū)間內(nèi)f(x)的原函數(shù)不存在，故此處的C1和C2是兩個相互獨立的常數(shù)．知識點解析：暫無解析15、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析16、求不定積分標準答案：知識點解析：暫無解析17、已知f(x)的一個原函數(shù)為(1+sinx)lnx，求∫xf’(x)dx．標準答案：由于∫xf’(x)dx=xf(x)-∫f(x)dx，又由于(1+sinx)lnx為f(x)的一個原函數(shù)，因此f(x)=[(1+sinx)lnx]’=cosxlnx+，且∫f(x)dx=(1+sinx)lnx+C，故∫xf’(x)dx=-(1+sinx)lnx+C．知識點解析：暫無解析18、計算標準答案：知識點解析：暫無解析19、求標準答案：借助圖1．3-3，可得知識點解析：暫無解析20、求標準答案：方法一因為x4+1=(x2+1)2-2x=所以可令知識點解析：暫無解析21、求標準答案：方法一知識點解析：暫無解析22、求標準答案：方法一知識點解析：暫無解析23、求標準答案：知識點解析：暫無解析24、求∫(x5+3x2-2x+5)cosdx標準答案：利用表格的形式所以∫(x5+3x2-2x+5)cosxdx=(x5+3x2-2x+5)sinx+(5x4+6x-2)cosx-(20x3+6)sinx-60x2cosx+120xsinx+120cosx+C．知識點解析：暫無解析25、求標準答案：方法一知識點解析：暫無解析26、計算(a＞0是常數(shù))．標準答案：知識點解析：暫無解析27、設(shè)f(lnx)計算∫f(x)dx．標準答案：設(shè)lnx=t，則x=et，f(t)=知識點解析：暫無解析28、求標準答案：設(shè)x=tanu，則dx=sec2udu，原式知識點解析：暫無解析29、求下列積分：標準答案：(1)本題考查的知識點是不定積分的分部積分法，關(guān)鍵是選好u和dv．(2)本題考查典型的有理函數(shù)的不定積分，首先湊微分，然后將分母配方．(3)因x=-[(1-x)-1]，從而可湊微分法．(4)本題考查定積分的性質(zhì)和定積分的計算，由于是對稱區(qū)間上的定積分，一般利用奇函數(shù)，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上積分性質(zhì)簡化計算，本題還用到了華里士公式．(5)此題計算量大些，考慮用分部積分法．這當然是錯的，錯在哪里呢?因為當t∈[-1，0]時，x=arctant之值不落在原積分區(qū)間上．事實上，補救的辦法是將積分區(qū)間拆開，知識點解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)，則F(x)()A、為正常數(shù)B、為負常數(shù)C、恒為零D、不為常數(shù)標準答案：A知識點解析：因esinxsinx是以2π為周期的周期函數(shù)，所以又esinxcos2x≥0，故選(A)．2、設(shè)f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，則之值()A、僅與a有關(guān)B、僅與a無關(guān)C、與a及k都無關(guān)D、與a及k都有關(guān)標準答案：C知識點解析：因為f(x)是以l為周期的周期函數(shù)，所以故此積分與a及k都無關(guān)．3、設(shè)f(x)是以T為周期的可微函數(shù)，則下列函數(shù)中以T為周期的函數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：當g(x+T)=g(x)時，因為因為f(x)是以T為周期的函數(shù)，所以4個選項中的被積函數(shù)都是以T為周期的周期函數(shù)，但是僅是以T為周期的函數(shù)．4、下列反常積分收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：選項(A)中，5、以下4個命題正確的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個標準答案：A知識點解析：設(shè)f(x)=x，則f(x)是(-∞，+∞)上連續(xù)的奇函數(shù)，且.但是故f(x)dx發(fā)散，這表明命題①，②，④都不是真命題．設(shè)f(x)=x，g(x)=-x，由上面討論可知g(x)]dx收斂，這表明命題③是真命題．故應(yīng)選(A)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(t)dt=x，則f(7)=________標準答案：知識點解析：要從變上限積分得到被積函數(shù)，可以對變限積分求導(dǎo)．等式兩邊對x求導(dǎo)得f(x3-1).3x2=1，f(x3-1)=令x=2，即得f(7)=7、設(shè)=________標準答案：知識點解析：令3x+1=t，x=8、設(shè)，則a=_________標準答案：2知識點解析：9、設(shè)=_______標準答案：知識點解析：10、=_______標準答案：ln3知識點解析：因11、=_______標準答案：，其中C為任意常數(shù)知識點解析：12、設(shè)f’(sinx2)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，則f(x)=________標準答案：-ln(1-x)-x2+C，其中C為任意常數(shù)知識點解析：13、設(shè)y=y’(x)，若，且x→+∞時，y→0，則y=_______標準答案：e-x知識點解析：由已知得，分離變量，兩邊積分，再由已知條件得結(jié)果y=e-x．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)14、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)大于零，并且滿足xf’(x)=f(x)+(a為常數(shù))，又曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍的圖形S的面積值為2．求函數(shù)y=f(x)，并問a為何值時，圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最?。畼藴蚀鸢福河深}設(shè)，當x≠0時，據(jù)此并由f(x)在點x=0處的連續(xù)性，得又由已知條件旋轉(zhuǎn)體的體積為令V’(a)=，故當a=-5時，旋轉(zhuǎn)體體積最?。R點解析：暫無解析15、設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)且y’(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點P(x，y)作該曲線的切線及z軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．標準答案：曲線y=y(x)上點P(x，y)處的切線方程為y-y=y’(X-x)．它與x軸的交點為．由于y’(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是兩邊對x求導(dǎo)并化簡得yy’’=(y’)2．令p=y’，則上述方程可化為注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．知識點解析：暫無解析16、設(shè)有一正橢圓柱體，其底面的長、短軸分別為2a，2b，用過此柱體底面的短軸且與底面成α角的平面截此柱體，得一楔形體(如圖1．3-2)，求此楔形體的體積V．標準答案：方法一底面橢圓的方程為以垂直于y軸的平行平面截此楔形體所得的截面為直角三角形，兩直角邊長分