高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識匯編

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第一部分集合與簡易邏輯

1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？

還是因變量的取值？還是曲線上的點？…；

2.藜形結(jié)令是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋

恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方

法解決，特別是在集合的交、并、補的運算之中。注意。是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集。注意補集思想的應(yīng)用(反證法，對立事件，排除法等)。

3.(1)含n個元素的集合的子集數(shù)為2、真子集數(shù)為2n—l；非空真子集的數(shù)為2<2；

(2)A===注意：討論的時候不要遺忘了A=。的情況;

(3)G(4U5)=(GA)A(G5)；G(ACl8)=(GA)U(GB)。

4.四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則p；

⑶否命題：若「p則「q；⑷逆否命題：若「q則「p

注：原命題與逆否命題等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時常常借助判斷其逆

否命題的真假

5.充要條件的判斷：

(1)定義法—-正、反方向推理；

(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若AqB,則A是B的充分條件或B是A的必

要條件；若人=8,則A是B的充要條件：

6.邏輯連接詞：

⑴且(and)：命題形式pAq；PqPAqPVq「P

⑵或(or)：命題形式pvq；真真真真假

⑶非(not)：命題形式-ip.真假假真：假

假真假真真

假假假假真

7.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞——“所有的”、“任意一個”等，用V表示；

全稱命題P：VxeM,/?(x)；全稱命題p的否定一ip：玉eM,-1P(x)。

⑵存在量詞-……“存在一個”、“至少有一個”等，用三表示；

特稱命題p：特稱命題p的否定-ip：VxeA/，r?(x)；

第二部分函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式

(一)函數(shù)

1.映射：注意①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。

2.函數(shù)定義域的求法：函數(shù)解析式有意義；符合實際意義；定義域優(yōu)先原則

函數(shù)解析式的求法：代入法，湊配法，換元法，待定系數(shù)法，函數(shù)方程法

函數(shù)值域的求法：①觀察法：②配方法；③判別式法：④函數(shù)單調(diào)法;

⑤換元法；⑥不等式法(贏<?<，巴丁);

⑦數(shù)形結(jié)合法(斜率、距離、絕

對值的意義等)；⑧函數(shù)單調(diào)法(J、/、sinx、cosx等)；⑨導(dǎo)數(shù)法

3.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

4.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為[a,b],則

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)Wb解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)

的定義域,相當(dāng)于xW[a,b]時,求g(x)的值域。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)y=/[g(x)]分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)

M=g(x)與外函數(shù)y=/(〃)；②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；③根

據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

注意：外函數(shù)y=/(M)的定義域是內(nèi)函數(shù)“=g(x)的值域。

5.函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必攀條件；

⑵/(x)是奇函數(shù)o*f(―A：)=-f(X)<=>y(—JC)+f(X)=o<=>_—=—i;

/(x)

⑶/(x)是偶函數(shù)U>/(-X)=/(x)<=>f(-x)-/(x)=0=X)=1；

/(x)

⑷奇函數(shù)/(x)在原點有定義，則/(0)=0；

⑸在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；

(6)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(等價變形)，再判斷其奇偶性；

6.函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)性的定義：/(x)在區(qū)間M上是增(減)函數(shù)oVx.weM,當(dāng)％</時

于(X[)-/(x2)<0(>0)o(x,-x2)[/(%1)-/(x2)]>0(<0)

=也匕9>o?o)；

X,—x2

⑵單調(diào)性的判定：①定義法：注意：一般要將式子/(內(nèi))-/(尤2)化為幾個因式作積或作商

的形式，以利于判斷符號；②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分)；③復(fù)合函數(shù)法(見4(2)同增異減);

④圖像法。

注：證明單調(diào)性要用定義法或?qū)?shù)法；求單調(diào)區(qū)間，先求定義域；多個單調(diào)區(qū)間之間不能用

“并集”、“或”；單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示。

7.函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意X,若有/(x+T)=/(x)(其中T為非零常數(shù))，

則稱函數(shù)/(*)為周期函數(shù)，T為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小

正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期0

(2)三角函數(shù)的周期

①y=sinx:T=2?；②y=cosx:T=2乃；③y=tanx:T=〃；④

y-Asm(avc+(p),y=Acos(cox+(p):T=；?y-tanaw:T--^―；

1勿\co\

⑶函數(shù)周期的判定：①定義法(試值)②圖像法③公式法(利用(2)中結(jié)論)

⑷與周期有關(guān)的結(jié)論：①/(%+。)=/(%-。)或/(%-2。)=/(幻3>0)=>f(x)

的周期為2a：②y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,O),S,O)中心對稱二>/(幻周期2卜—母；

③y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=6軸對稱=/(x)周期為2|a—4；

④y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱，直線x=6軸對稱=/(x)周期可“一可；

8.幕、指、對的運算法則：

n,nn

a=\Ja,a=—L-,,6f°=1,logrt1=0,logrta=\,1g2+1g5=1,logex=\nx,

an

iog(b

#=N01嗝N=b(a>0,a于1,N>6,3°品、=N,logb=，

log,a

n

logb"=-log加。

"m

9.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴幕函數(shù)：y=x"(awR)；⑵指數(shù)函數(shù)：y=a*(a>0,a/1)；

⑶對數(shù)函數(shù)：y=log?x(a>0,?1)；⑷正弦函數(shù)：j=sinx；

⑸余弦函數(shù)：y=cosx；(6)正切函數(shù)：y=tanx；⑺一元二次函數(shù)：y^ax1+bx+c；

k

⑻其它常用函數(shù)：①正比例函數(shù)：y=^(ZoO)；②反比例函數(shù)：y=—(k#0)；特別的

x

y=一，函數(shù)y=x+0(a>0)；

xx

10.二次函數(shù):

⑴解析式：①一般式：/(x)=ax1+bx+c；②頂點式：/(x)=a(x-A)2+k,(/?,女)為

頂點；③零點式：/(x)=a(x-%))(x-x2)o

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標(biāo)軸交點;

⑤判別式；⑥兩根符號。⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論。

11.函數(shù)圖象

⑴圖象作法：①描點法(注意三角函數(shù)的五點作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

⑵圖象變換：

①平移變換：iy=/(x)fy=/(x土a),(?>0)------左“+”右

iiy=/(X)fy=/(x)土％,(4>0)------上“+”下

②伸縮變換：

iy=f(x)->y=f(cux),(co>0)-----縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的，倍;

co

iiy=/(x)fy=Af(x),(A>0)-----橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的A倍;

③對稱變換：iy=/(x)y=-/(-x)；iiy=/(x)y=-/(x)；

iiiy=—產(chǎn)>y=/(-x);ivy=/(x)>x=/(y)；

④翻轉(zhuǎn)變換：

iy=/(x)fy=/(|x|)-----右不動，右向左翻(/*)在)，左側(cè)圖象去掉)；

iiy=/(幻-y=1/(X)I-----上不動，下向上翻(I/(X)I在X下面無圖象)；

(3)函數(shù)圖象(曲線)對稱性的證明：

i證明函數(shù)y=/(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)

的對稱點仍在圖像上；

ii證明函數(shù)y=/(x)與y=g(x)圖象的對稱性，即證明y=/(尤)圖象上任意點關(guān)

于對稱中心(對稱軸)的對稱點在y=g(x)的圖象上，反之亦然；

注：①曲線Ci：f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a—x,2b—y)=0;

②曲線C|：f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a—x,y)=0;

③曲線G：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y—a,x+a)=0(或f(—

y+a,—x+a)=0);④f(a+x)=f(b—x)(x￡R)---->y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；

特別地：f(a+x)=f(a—x)(xWR)---->y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；

⑤函數(shù)y=f(x—a)與y=f(b—x)的圖像關(guān)于直線x="^對稱；

2

12.函數(shù)零點的求法：⑴直接法(求/(x)=0的根)；⑵圖象法；⑶二分法.

13.函數(shù)的應(yīng)用。求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題一一認(rèn)真讀題，確切理解題意，

明確問題的實際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模一一通過抽象概括，將實際問

題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；③解模一一求解所得

的數(shù)學(xué)問題；④回歸一一將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實際問題中去。

(二)導(dǎo)數(shù)

14.導(dǎo)數(shù)：⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)記作y，|一，=y，(x。)=lim以上匕3；

I*一?"Ax->oAY

⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

①C'=0；②(x")'=〃/T；③(sinx)'=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(a*)'=a*Ina；⑥(e*)'=e*；⑦(log“x)'=―!—；⑧(lnx)'='?

x\nax

⑶導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：(〃±v)f=u'+v';(“u)'="，+〃此(四)'=

vv

⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：=y'u-u'x-

⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：i所給點是切點嗎？ii所求的是“在”還是“過”該點的

切線？

②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：i/'(x)>0n/(x)是增函數(shù)；

ii/'(x)<On/(x)為減函數(shù)；適/'(x)三On/(x)為常數(shù)；

注：反之，成立嗎？求單調(diào)區(qū)間，先求定義域。

③利用導(dǎo)數(shù)求極值：i求導(dǎo)數(shù)/'(x)：ii求方程/(?=0的根；出列表得極值。

④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：i求的極值；ii求區(qū)間端點值(如果有)；皿得最值。

⑤利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題，證明不等式，解決實際應(yīng)用問題

15.(理科)定積分

⑴定積分的定義：//(x)dx=limg"幺f?.)

Ja與一n

/=1

⑵定積分的性質(zhì)：①，@(x)dx=Z，/(x)dx(左常數(shù))；

②I：【工⑺土力=ff仆)心土￡f2(x)dx；

③//(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx(其中a<c<Z?)。

⑶微積分基本定理(牛頓一萊布尼茲公式)：￡f{x}dx=F(x)|*=F(b)-F(a)

⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：S=J,|/(x)—g(x)|dx；

①求變速直線運動的路程：S=￡v(/)Jr；③求變力做功：W=^F(x)dx.

(三)不等式

16.均值不等式：施W審《產(chǎn)；從

注意：①積定和最小，和定積最大，一正二定三相等；②變形，ab<(-)2V巴士

22

17.一元二次不等式的解集(聯(lián)系圖象)。尤其當(dāng)△=()和△<()時的解集你會正確表示嗎？

設(shè)。>0,是方程?2+Z?X+C=O的兩實根，且玉<々，則其解集如下表：

ax2+區(qū)+。>0ax2+Z?x+c>0ax1+bx+c<Gax2-￥bx+c<0

△>0

VX]或/}或X之工2}{x\x[<x<x2]{x\xl<x<x2}

A=0.b、{x|x=一?}

fR電

2a2a

△<0R

R</>。

18.含卷g不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)

鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。

注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；若按所求變量討論，最后應(yīng)求并集.

提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必用集合的形式表示；

(2)不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。

19.不等式的恒成立,能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)

用函數(shù)方程思想和''分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用

數(shù)形結(jié)合法)

1).恒成立問題

若不等式/(%)>A在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D±/(x)m,n>A

若不等式/(%)<8在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間DEf(x\mx<B

2).能成立問題

若在區(qū)間。上存在實數(shù)X使不等式/(%)>A成立，則等價于在區(qū)間。上

f(x)>A；

若在區(qū)間。上存在實數(shù)％使不等式y(tǒng)(x)<8成立，則等價于在區(qū)間。上的

f(x\.<E.

3).恰成立問題

若不等式/(x)>A在區(qū)間。上恰成立，則等價于不等式/(x)>A的解集為。；

若不等式/(￡<8在區(qū)間。上恰成立，則等價于不等式/(￡<B的解集為。.

20.求解線性規(guī)劃問題的步驟是：

(1)列約束條件；(2)作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)：(3)確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.角的概念的推廣，象限角的概念，終邊相同的角的表示

⑴角度制與弧度制的互化：乃弧度=180',1°=三弧度，1弧度=(世)”57°18‘

1807T

⑵弧長公式：l=8R；扇形面積公式：S=-0R2=-Rl.

22

2.三角函數(shù)定義：角a中邊上任意一點P為(x,y),設(shè)|OP|=r則：

.yxy

sma=J，cosa=—,tana=一；

rrx

3.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；

winv

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2x+cos2x=l;---=tanx；

cosX

5.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；

6.正弦函數(shù)^=5苗］(>6/?)、余弦函數(shù)^=cosx(xeR)的性質(zhì)：

(1)定義域：都是R。

(2)值域：都是［一1,1］,對丁=5皿彳，當(dāng)x=2七？■+'(ZGZ)時，y取最大值1：當(dāng)

元=2女乃+j-(左eZ)時，y取最小值一1；對丫=?05》，當(dāng)x=2攵乃(ZeZ)時，y取最

大值1,當(dāng)x=2左乃+萬(攵eZ)時:y取最小值一1。

特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時，要深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性

(3)周期性：=sinx>y=cosx的最小正周期都是2乃；②/(x)=Asin(<yx+Q)和

2TT

f(x)=Acos(5+°)的最小正周期都是T=—。

(4)奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)了二出口武工6好是奇函數(shù)，對稱中心是

(QT,O)(A￡Z),對稱軸是直線X=Z乃+］(2￡Z)；余弦函數(shù)丁=cos九(XER)是偶

函數(shù)，對稱中心是(反■+￡,O｝Z：€Z),對稱軸是直線x=Qr伏eZ)(正(余)弦型函

數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于％軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的交點)

JTJT

(5)單調(diào)性：y=sinx在2k兀一彳+；(ZwZ)上單調(diào)遞增，在

jriTT

2k7r+—,攵2■+字(keZ)單調(diào)遞減；丫=?05》在［2攵乃,2左左+4］(%€2)上單調(diào)遞減，

在［2攵%+萬,2攵萬+2萬］(左€2)上單調(diào)遞增。特別提醒，別忘了上eZ!

正切函數(shù)y=tanx的圖象和性質(zhì)：

7T

(1)定義域：｛xlxH'+Z乃,&wZ｝。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，注意正切函數(shù)的定義域

(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值；

(3)周期性：是周期函數(shù)且周期是乃，它與直線y=。的兩個相鄰交點之間的距離是

一個周期乃。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析

式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半'切不變.

(4)奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是(、二0)(ZeZ),

特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線

與x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。

(5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間l―5+左肛］+左乃卜人eZ)內(nèi)都是增函數(shù)

函數(shù)y=Asin(6tzx+0)性質(zhì)：類比于研究y=sinx的性質(zhì)，只需將y=Asin(3x+0)

中的。x+e看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(0x+e)的單調(diào)區(qū)間時，要特別注

意A和力的符號，通過誘導(dǎo)公式先將。化正。

7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①sin@±0=sinacos/?土cosasin尸;

tana±tan尸

②cos@±/?）=cosacos/?=Fsinasin/?;③tan0±〃）

1干tanatan，

8.二倍角公式：?sin2a=2sinorcosa；

②cos2a=cos22-sin2a-2cos2a-\-1-2sin2a；③tan2a=「血，。

1一tana

三角函數(shù)的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。

注：（1）asinx+〃cosx=+（其中。角所在的象限由a,b的符號確定，。

角的值由tan6=2確定）在求最值、化簡時起著重要作用。

a

（2）了解幾個重要恒等式（和積互化公式）

cihc

9.正、余弦定理⑴正弦定理——=——=——=2R（2R是AA3C外接圓直徑）

sinAsinBsinC

注：①a:Z?:c=sinA:sinB:sinC；②q=2Rsin=2Hsin8,c=2RsinC；

I}2+c2—a2

⑵余弦定理：9=/9+c?9一2人ccosA等三個；注：cosA=---------------等三個。

2bc

cabca+0+c

——=-----=------=---------------；——O

sinAsinBsinCsinA4-sinB+sinC

特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意4+8+。=乃這個特殊性：

A+8=萬-C,sin（A+8）=sinC,sin"+'=cos—；

22

（2）求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角

互化。

10。幾個公式:⑴三角形面積公式：

S^BC=g"=g"sinC=（〃一〃）（〃一〃）（〃一c）,（〃=g（a+Z?+c））；

coabc

⑵內(nèi)切圓半徑不至g；外接圓直徑2R=—;

a+h+csinAsinnsine

11.已知。涉,4時三角形解的個數(shù)的判定:

其中h=bsinA,（l）A為銳角時:①a<h時,無解；

②a=h時，一解（直角）；③h<a<b時，兩解（一銳角,

一鈍角）；④a?b時，一解（一銳角）。

⑵A為直角或鈍角時：①a?b時，無解；②a>b時，

一解（銳角）。

第四部分平面向量

1.向量有關(guān)概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線

段來表示，注意不能說向量就是有向線段（向量可以平移）。

（2）零向量：注意零向量的方向是任意的：（3）單位向量（4）相等向量：

（5）平行向量（也叫共線向量）：規(guī)定零向量和任何向量平行。（6）相反向量

2.平面向量的基本定理：如果刃和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)

的任一向量有且只有一對實數(shù)4、4，使a=4ei+&02。

3.實數(shù)與向量的積：實數(shù)力與向量々的積是一個向量，記作42,它的長度和方向規(guī)定如

下：⑴河=回同，⑵當(dāng)2>0時，篇的方向與I的方向相同，當(dāng)；1<0時，■的方向

與a的方向相反，當(dāng)7=0時，Aa=0,注意：2aWO。

4.向量的線性運算

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的

向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)荏=2,配=5,那么向量衣叫

做Z與B的和，即=通+圮=/；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)荏=2,/=瓦那么￡—5=通一/=而，

由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。

5.平面向量的數(shù)量積：

（1）兩個向量的夾角：對于非零向量Z，作次=工麗=石，ZAOB=0

（OWSW/r）稱為向量a,B的夾角，當(dāng)0=0時，a,3同向，當(dāng)。=乃時，a,3反向，

7T——

當(dāng)。=—時，a,b垂直。

2

（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量I,h,它們的夾角為6,我們把數(shù)量

|a||引cos。叫做。與否的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積），記作：a?b,即?！?同即056。

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。

（3）Z在】上的投影為|B|COS8,它是一個實數(shù)，但不一定大于0。

（4）2?3的幾何意義：數(shù)量積ZB等于：的模|￡|與3在）上的投影的積。

（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量1，b,其夾角為。，則：

①aJ_B=a“=O；

②當(dāng)a,3同向時，a?b—|o||/?|,特別地，a=a?a=|?|,|tz|=71^；當(dāng)a與3

反向時，a?b=-|o||5|；當(dāng)。為銳角時，a?b>0,且不同向，a%>0是。為銳

角的必要非充分條件；當(dāng)0為鈍角時，a?b<0,且ZB不反向，75<0是。為鈍角的

必要非充分條件；

--q?b一—一一

③非零向量a,b夾角。的計算公式：COS6=E^；?\a?b\^a\\b\.

6.向量的坐標(biāo)運算：設(shè)。=（%],丁1）,1=（々,%），則:

①向量的加減法運算：a+b=（xt+x2,y土必）。

②實數(shù)與向量的積：

③若A（X]，X）,8（工2，%），則加=12^?2個I），即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個

向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。

④平面向量數(shù)量積：a?b=xix2+yxy2（>

⑤向量的模：|a|=+/,q-0j。

⑥兩點間的距離：若4（為,）,3（々,必），則IAB|=庭二了三二77。

⑦向量平行（共線）的充要條件:a//b<^>a=Ab<=>（a-b）2=（|tz||&|）2?？?—%%=°。

⑧向量垂直的充要條件：aLb<^a-b=Q<^\a+b[=\a-b\?特別

7.向量的運算律：（1）交換律：a+h=b+a,4（〃〃）=（切）〃，a^b-b^a；

/、—?—?~?/—?—?\—?—?/—?—?\—?—?——?

（3）分配律：（A+〃）a=4a+〃a,2（a+Z?）=/la+2b,（a+Z?）?c=a?c+6?c。

提醒：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩

邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一

個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除（相約）；（2）向量的“乘法”不

滿足結(jié)合律，即“E?c）w（a?5）c

8.向量中一些常用的結(jié)論：

（1）一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；

（2）||￡|-|6兇2±44￡|+|初，特別地,當(dāng)同向或有。o|￡+方R￡|+|B|

N1|￡|-出11=|￡一引；當(dāng)a、石反向或有°o|24|寸。11I44-41=?+^-；當(dāng)。、萬不

共線a+加〈面已以“海一（這些和實數(shù)比較類似）.

（3）在AA5C中，①若4（石,%）,3（孫必）,。（七,%），則其重心的坐標(biāo)為

G（內(nèi)+￡+jytyjy\

I3'3廣

@PG^^（PA+PB+PC）oG為A4BC的重心，特別地西+而+定=6=P

為AABC的重心；

③可?而=聞?定=定?序o尸為A4BC的垂心；

④向量”粵+■4^）（4。。）所在直線過A4BC的內(nèi)心（是N8AC的角平分線所在

\AB\|AC|

直線）；

（4）向量向、麗、刀中三終點A、B、C共線o存在實數(shù)a、戶使得

年a下且e+￡=l.

附：（理科）P,A,B,（3四點共面00/>=工。4+n。8+20。（且\+丫+2=1）。

第五部分?jǐn)?shù)列

1.數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,n｝)

的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：

(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法=d(d為常數(shù))或4+]=a"一a"_I("N2)。

(2)等差數(shù)列的通項：=弓+(〃-1)4或=am+(n—ni)d。

(3)等差數(shù)列的前〃和：S,="(4+4),5,=叼+必二81。

22

(4)等差中項：若a,A力成等差數(shù)列，則A叫做。與匕的等差中項，且4=@+

2

3.等比數(shù)列的有關(guān)概念：

(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法巴旦=q(g為常數(shù))，其中4/0,q或4a

4a?%

(?>2)o

nm

(2)等比數(shù)列的通項:-"T或a,=amq-。

(3)等比數(shù)列的前〃和：當(dāng)4=1時，s,=叫;當(dāng)4Hl時，s“二%aw)

「q

i-q

特別提醒：等比數(shù)列前〃項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前〃項和時，首先要判斷

公比q是否為1,再由4的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對

q分q=1和q。1兩種情形討論求解。

(4)等比中項：若a,A,6成等比數(shù)列，那么A叫做。與匕的等比中項。

提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個土而

4.等差數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)公差4工0時，等差數(shù)列的通項公式%=4+(“一13=旅+4-4是關(guān)于〃的一

次函數(shù)，且斜率為公差d；前〃和S“=叫+若24=3〃2+(4-乎"是關(guān)于〃的二次

函數(shù)且常數(shù)項為0.

(2)若公差4>0,則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0,則為遞減等差數(shù)列，若公差

"=0,則為常數(shù)列。

(3)當(dāng)〃=p+q時，則有a,“+a“=a?+，％,特別地，當(dāng)〃z+〃=2p時，則有

a“,+a“=2ap.

(4)若｛4｝、也,｝是等差數(shù)列,則｛3“｝、｛kan+pbn｝(k、p是非零常數(shù))、

｛?！?，，"")、5"，邑”—S,,S3”—S2“，…也成等差數(shù)列，而｛〃｝成等比數(shù)列：

若｛?｝是等比數(shù)列，且4>0,則｛1g%｝是等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列｛4｝中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S偶一S奇=nd；項數(shù)為奇數(shù)2〃-1時,

S奇一5偶=9，Sa,r=(2〃-1〉4(這里a中即a“)；S奇5偶*升左。

A

(6)若等差數(shù)列｛a,J、依｝的前〃和分別為4、4，且~^=/(〃)，則

組=(21-l)a“=4“_]=f(2〃-1)

b”(2〃-幽B2?_,”>

(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項和的最大值是所有非負(fù)項之和；“首負(fù)”

的遞增等差數(shù)列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組

-0(或1%<°)確定出前多少項為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前〃項是

K+l<0^V?+1>oj

關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*。

(8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究區(qū),=〃,.

5.等比數(shù)列的性質(zhì)：

(1)當(dāng)機+〃=p+q時，則有篇匚&=ajl4,特別地，當(dāng)機+”=2〃時，則有

2

4”4=%■

(2)若｛a,J是等比數(shù)列，則｛|*｝、｛機J成等比數(shù)列；若

｛《,｝、｛〃｝成等比數(shù)列,則｛%〃｝、｛/｝成等比數(shù)列；若｛4｝是等比數(shù)列,且公比qw—1,

則數(shù)列多，，"一多苫雜一叫,，…也是等比數(shù)列。當(dāng)“=一1,且〃為偶數(shù)時，數(shù)列

5”,S2“-S,,,S3“-S2“，…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.

⑶若4>0闖>1,則｛4｝為遞增數(shù)列;若一<0應(yīng)>1,則｛4｝為遞減數(shù)列;若

q>0,0<q<l,則｛4｝為遞減數(shù)列；若q<0,0<q<l,貝也見｝為遞增數(shù)列；若q<0,

則｛4｝為擺動數(shù)列；若q=l，則｛4｝為常數(shù)列.

nan

(4)當(dāng)qNl時，SH-——q+'-aq+b,這里“+人=0,但。。0,匕。0,

\-ql-q

這是等比數(shù)列前〃項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)S,,判斷數(shù)列｛a,J是否為等比數(shù)

列。

⑸Sg,=Sm+q"'S"=S"+q"S”,

(6)在等比數(shù)列｛%｝中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2〃時，S偶=“S奇；項數(shù)為奇數(shù)2〃-1時，

S奇=4+4%,

(7)如果數(shù)列｛4｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列5“｝是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)

數(shù)列｛4,｝僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。

6.數(shù)列通項的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。

」與(〃=1)

⑵已知5.(即a[+生+???+《,=/(〃))求可，用作差法：??

~\Sn-Sn_i,(n>2y

/⑴,5=1)

已知qO/2口-,Q3,,=./(?)求an>用作商法：a“=</(〃)

(?>2)°

⑶已知條件中既有S,還有外,有時先求5,，再求4；有時也可直接求為。

⑷若?！?1求a“用累加法：aa=(%-q1T)+(%-凡_2)+…+(4-4)

+4(n>2)o

⑸已知也=/(〃)求a,,用累乘法：4=2?也?….生q(〃N2)。

anan-\an-24

⑹已知遞推關(guān)系求風(fēng)，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。

特別地，(1)形如%=ka,i+b、a,=ka.i+b"(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可

以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求見；形如a“=k7,i+〃'的遞

推數(shù)列都可以除以3得到一個等差數(shù)列后，再求qO

(2)形如=a"-'的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。

姐“I+b

(3)形如怎+|=aj的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項.

(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。

(8)當(dāng)遇到a“+I-a,?=d或色包=“時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論，結(jié)果可能是分

段形式。

7.數(shù)列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式。

(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合

并在一起，再運用公式法求和。

(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)

相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前〃和公式

的推導(dǎo)方法).

(4)錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相

乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

(5)裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)

聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

①―L=1__!_；②_=1(1__L)；

n(n+1)nn+\〃(〃+左)k'nn+

1——1(z1—,1i.,11,1---1----------1-------—11

k1-------2k-\k+1kk+1(女+1)女__k2(k—l)k__k-1k

1111n1

④------------------=—[-r-----------------------------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)(n+l)!n\(〃+l)!

⑥2(J〃+1-Jn)=廠2]-----<-L<廠21——=2(冊-Jn-1)

第六部分復(fù)數(shù)

1.概念：

(l)z=a+biGROb=0(a,beR)oz=N<=>z2>0；

(2)z=a+bi是虛數(shù)ObW0(a,bWR)；

⑶z=a+bi是純虛數(shù)Oa=0且b#0(a,b￡R)Oz+z=0(zWO)oz—O；

(4)a+bi=c+di<z>a=c且c=d(a,b,c,d^R)；

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運算：設(shè)Z|=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),則：

(1)zi±Z2=(a+b)±(c+d)i；(2)Zj.Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；⑶

(a+bi)(c-di)_ac+hdbe-ad.(Z2#O)；

(c+di)(c-di)+/+,2+笛?

3.幾個重要的結(jié)論：

2222222

(l)^(+Z2|+|zj-Z2|=2(|Z1|+|Z2|);(2)Z-Z=|Z|=|Z|;(3)(l±0=±2z;(4)111=/;l—；=T；

1：4〃+l?；4n+2；4〃+3/；產(chǎn)用+/+如+

(5)i性質(zhì)：T=4；1,1—I,I，4"+2+,3=0

16一

(6)co=—±—i以3為周期，且g"==1；1+0+口2=0；

22

(7)忖=1=zz=10彳=—。

z

4.運算律：⑴z〃'?z〃=z〃？⑵(2〃')〃=27(3)億?22)'〃=422"("267\0；

5,共施的性質(zhì)：(1)(Z[土z2)=4士z2；(2)ZjZ2=Zj-z2；(3)(五)=芻；(4)z=Zo

Z2Z?

6,模的性質(zhì)：⑴||Z1|-|z211szl±22區(qū)4|+匕|;(2)|Z1Z2|=|ZI||z2I；⑶

第七部分算法初步

1.程序框圖:

終端框(起止況)；②//輸入、輸出框；⑥°連接點。

處理框流程線；

⑵程序框圖分類:

①順序結(jié)構(gòu)：②條件結(jié)構(gòu):乂

—~1

/n不I-素//nl質(zhì)第

注：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：I.當(dāng)型（while型）一一先判斷條件，再執(zhí)行循環(huán)體；