高中三年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)探究　楊輝三角的應(yīng)用》教學(xué)課件

數(shù)學(xué)探究楊輝三角的應(yīng)用《詳解九章算法》中記載的表?xiàng)钶x楊輝三角賈憲中國北宋11世紀(jì)《釋鎖算術(shù)》楊輝中國南宋1261《詳解九章算法》記載之功朱世杰中國元代1299《四元玉鑒》級(jí)數(shù)求和公式阿爾·卡西阿拉伯1427《算術(shù)的鑰匙》阿皮亞納斯德國1527米歇爾．斯蒂費(fèi)爾德國1544《綜合算術(shù)》二項(xiàng)式展開式系數(shù)薛貝爾法國1545B·帕斯卡法國1654《論算術(shù)三角形》其實(shí)，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。數(shù)學(xué)之美：楊輝三角(帕斯卡三角)的奇特性質(zhì)楊輝三角(也稱帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一個(gè)無限對(duì)稱的數(shù)字金字塔，從頂部的單個(gè)1開始，下面一行中的每個(gè)數(shù)字都是上面兩個(gè)數(shù)字的和。楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)。在歐洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。

開方作法本源楊輝《詳解九章算法》追溯歷史，引入“三角”1華羅庚華羅庚賈憲楊輝手算高次方根高階等差級(jí)數(shù)差分方根無窮極數(shù)朱世杰牛頓微積分追溯歷史，引入“三角”1“楊輝三角”探究用計(jì)算器計(jì)算展開式的二項(xiàng)式系數(shù)并填入下表

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)123456通過計(jì)算填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？11121133114641151010511

6

15

20

15

6

1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)611121133114641151010511615201561

從上表可以發(fā)現(xiàn)，每一行中的數(shù)具有對(duì)稱性，除此之外，還有什么規(guī)律呢？為了方便觀察研究，可將上表寫成下面的形式。探究你能借助上面的楊輝三角發(fā)現(xiàn)一些新的規(guī)律嗎？第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+101010=6+41066=3+34=1+34

在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)之和。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：增減性與最大值

由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：增減性與最大值由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

由：

可知，當(dāng)時(shí)，

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，

也就是說,(a+b)n的展開式中的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n？2n賦值法（nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx12210++++++=+LL）令x=1，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3：各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和

一般地，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)時(shí)，

（4）

當(dāng)時(shí)，

利用楊輝三角可得二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性、增減性和最大值;以及各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和。

第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜線和”=

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行

18285670562881

從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和，

這就是著名的斐波那契數(shù)列，也稱為兔子數(shù)列。斐波那契數(shù)列斐波那契（1170

1250）

意大利商人兼數(shù)學(xué)家,他的著作《算盤書》中,首先引入阿拉伯?dāng)?shù)字，將“十進(jìn)制”介紹給歐洲人認(rèn)識(shí)，對(duì)歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算術(shù)之法》中提出：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長成大兔子，再過一個(gè)月就開始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契數(shù)列與“兔子繁殖問題”斐波那契數(shù)學(xué)文化，拓展視野3斐波那契螺旋線數(shù)學(xué)文化，拓展視野3第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜線和”=

就是這個(gè)看上去平平無奇的數(shù)字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文將一一為您揭曉。1．最外層的數(shù)字始終是12．第二層是自然數(shù)列3．第三層是三角數(shù)列什么是三角數(shù)列，看一下圖就明白了，這個(gè)數(shù)列中的數(shù)字始終可以組成一個(gè)完美的等邊三角形。4．三角數(shù)列相鄰數(shù)字相加可得方數(shù)數(shù)列什么又是方數(shù)數(shù)列呢？雷同與三角數(shù)列，就是它的數(shù)字始終可以組成一個(gè)完美的正方形。5．每一層的數(shù)字之和是一個(gè)2倍增長的數(shù)列6.斐波那契數(shù)列沒錯(cuò)，如果按照一定角度將直線上的數(shù)字相加，我們也可以從楊輝三角中找到斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列是指從0，1兩個(gè)數(shù)開始，每一位數(shù)始終是前兩位的和。這個(gè)數(shù)列有個(gè)神秘的特性，即越往后，相鄰兩數(shù)的比值越來越逼近黃金分割數(shù)0.618(或1.618，兩數(shù)互為倒數(shù))。斐波那契數(shù)列和黃金分割數(shù)不但在大自然中處處可見，在人類的藝術(shù)設(shè)計(jì)中也是應(yīng)用非常廣泛。7．素?cái)?shù)素?cái)?shù)是指只能被1和它本身整除的數(shù)字．然而在楊輝三角里，除了第二層自然數(shù)列包含了素?cái)?shù)以外，其他部分的數(shù)字都完美避開了素?cái)?shù)。8．可以被特定數(shù)整除的數(shù)字形成了奇妙的分形結(jié)構(gòu)如果我們把楊輝三角再放大，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些可以被特定數(shù)字整數(shù)的數(shù)的分布非常有規(guī)律，它們會(huì)形成類似分形的圖案。彈球游戲，小球向容器內(nèi)跌落，碰到第一層擋物后向兩側(cè)跌落碰到第二層阻擋物，再向兩側(cè)跌落第三層阻擋物，如此一直下跌最終小球落入底層。根據(jù)具體地區(qū)獲的相應(yīng)的獎(jiǎng)品（AJ區(qū)獎(jiǎng)品最好，BI區(qū)獎(jiǎng)品次之，CH區(qū)獎(jiǎng)品第三，EF區(qū)獎(jiǎng)品最差）。在彈球游戲中的應(yīng)用

ABCDEFGHIJ

1

11

121

1331

1464115101051

16152015611721353521711828567056288193684126126843691

楊輝三角的實(shí)際應(yīng)用“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題．圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？

我們把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)。B處的楊輝三角數(shù)與A到B的走法有什么關(guān)系?

A圖1問：縱橫各有五條路呢？B結(jié)論：有趣的是，B處所對(duì)應(yīng)的數(shù)6，正好是答案(6)。

一般地,每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)。由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系A(chǔ)B111112336ABDCAB1《竹》張南史